线性代数第1章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,授课教师：周世军,安徽工业大学经济学院,E-mail:,zhousj,教材及参考书,教材：,赵树嫄,线性代数,（第四版）中国人民大学出版社，,2008,参考书：,同济大学数学教研室编,线性代数,（第三版）,线性代数,简介,线性代数是研究有限维空间中线性关系的理论和方法的数学。线性代数是代数的一个分支，由于,费马和笛卡儿,的工作而起源于十七世纪。,历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的,矩阵论,(,英国数学家凯莱,A.Cayley,1821-1895),和,行列式理论,(,瑞士数学家克莱姆,、,法国数学家范德蒙及柯西等人,),的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。,由于线性问题的广泛存在于技术科学的各个领域。某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，也常“离散化”为有限维问题来处理，因此线性代数的理论与方法已经渗透到现代科学、技术、经济、管理的各个领域，提供描述、处理问题的思想和方法。,第一章：行列式,1.1.1,二阶行列式,对于二元一次方程组,定义二阶行列式,则当,时上述二元一次方程组有唯一解,并且通过带入消元法方程,组的解为,1.1,二阶与三阶行列式,即可用二阶行列式表示为,例,1,解二元一次方程组,解,1.1.2,三阶行列式,定义三阶行列式为,则三元一次方程组,当,时方程组的解可用三阶行列式表示为,例,2,计算行列式,解,1.2,逆序与对换,1.2.1,排列与逆序,自然数,组成的有序数组称为一个,元排列,记为,.,规定按从小到大的顺序排列的叫做标准排列（自然排列）,.,为标准排列,.,即排列,定义,1,在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列,中逆序的总数就称为这个排列的逆序数,.,排列,的逆序数记为,计算排列逆序数的方法,:,对于排列,其逆序数为每个元素的逆序数之和,.,中元素,，如果比,大且排在,前面的元素有,个，就说,的逆序数为,全体元素的逆序数之和为,即对于排列,即,例,3,求排列,536214,的逆序数,.,解：,在排列,536214,中,定义,2,：逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的,排列称为奇排列,.,1.2.2,对换,定义,3,：把一个排列中某两个数的位置互换而其余的数不动,就得到另一个排列,这样一个变换称为一个对换,.,对换改变排列的,奇偶性,.,将一个奇排列变成标准排列需要奇数次对换,将一个偶排列,变成标准排列需要偶数次对换,.,n,阶行列式的定义,定义,4,由,个数组成数表,从中选取处在不同行不同列的,个元素相乘,其中,为,的一,个全排列,并冠以符号,则,为,阶行列式,记作,称和,或简记为,其中,表示处在第,行,第,列位置的元素,.,例,4,计算行列式,其中未写出部分全为零,.,解,在行列式的展开式中共有,个乘积,显然如果,则,必为零,从而这个项也必为零,因此只须考虑,的项,.,同理只须考虑,也即行列式的展开式,中只有,(,其他的项乘积均为零,),而,因而其符号为正,.,因此,定义,5,对角线以上（下）的元素全为零的行列式称为,下（上）三角行列式,.,由例,4,还可得出关于上、下三角行列式的如下结论,:,例,5,计算行列式,解,在行列式的展开式中共有,个乘积,显然如果,则,必为零,从而这个项也必为零,因此只须考虑,的项,.,同理只须考虑,也即行列式的展,开式中只有,(,其他的项乘积均为零,),而,因而其符号为,，因此,由例,5,还可得出下三角行列式的如下结论：,以上各种形式是计算行列式的常用形式,应该对这几种形式,加以注意并加强对它们的理解和应用,.,1.3,行列式的性质,行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题,.,对于,阶行列式,当,很大时直接从行列式的定义进行行列式的计算,几乎是不可能的,.,为此有必要对行列式的性质进行研究,从而简,化行列式的计算,.,记,称行列式,为行列式,的转置行列式,.,性质,1,行列式与其转置行列式相等,即,性质,2,互换行列式的两行,(,列,),元素,则行列式变号,.,推论,1,若行列式中某两行元素对应相等,则行列式的值为零,.,性质,3,行列式某行元素都乘以数,k,等于用,k,乘以行列式,即,推论,2,由性质,3,知若行列式中某行,(,列,),元素含有公因数,可以,将数,提到行列式外,.,则,推论,3,若行列式的某两行,(,列,),元素对应成比例,则此行列式的,性质,4,若行列式的某一行,(,列,),是两组数之和,则这个行列式可,值为零,.,以写成两个行列式的和,即,此性质可以推广到某一行元素为多组数之和的形式,.,性质,5,把行列式中某行,(,列,),元素的,倍加到另外一行,(,列,),的,对应元素上去,行列式的值不变,.,即,例,6,计算行列式,的值,其中,解,例,7,计算行列式,的值,其中,解法一 分别将行列式的第二行、第三行、第四行加到第,一行得,解法二 利用行列式的性质将行列式的第一行和第四行互换可得,例,8,计算行列式,的值,其中,解,例,9,计算行列式,的值,其中,解,把前一列乘以,加到后一列上去得,再将第三列乘以,加到第四列上去，第二列乘以,加到,第三列上去得,由于此时行列式的第三列和第四列相等，因此由行列式的,性质可得,1.4,行列式按行（列）展开,1.4.1,余子式与代数余子式,定义,6,在,阶行列式,中划去元素,所在的第,行和第,列的元素,剩下的,个元素按原来的排法构成一个,阶的行列式,称为元素,的余子式,记作,.,对,冠以,符号,后称为元素,的代数余子式,记为,即,1.4.2,行列式按行（列）展开,引理,设,是一个,阶行列式，如果其中第,行所有元素除,外都为零，那么这个行列式的值等于,乘以它的代数,，即,余子式,定理,1,行列式的值等于其某行（列）元素与其代数余子式乘,积之和,即,这个定理称为行列式按行,(,列,),展开法则,例,10,算行列式,的值,其中,解,例,11,计算行列式,的值，其中,解,例,12,设行列式,D,为,求,的值,.,解,为行列式,按第二行的展开式,因此,的值等于行列式,.,而,因此,作为定理,1,的推论,我们有,推论,:,n,阶行列式,D,的,的任意一行,(,列,),的各元素与另一行,(,列,),对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即,或,综合定理,1,及其推论，我们有关于代数余子式的下述性质：,或,思考题,:,证明,(,其中,),三对角行列式,:,1.5,克莱姆法则,1.5.1,克莱姆（,Cramer,）法则,现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题,.,在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形,.,定理,2,如果线性方程组,的系数构成的行列式,那么线性方程组,(1),有解,并且解是惟一的,解可以由下式给出,其中,是行列式,D,中第,j,列换成方程组的常数项,而得到的行列式,.,此定理称为克莱姆法则,克莱姆法则主要解决方程个数,与未知量个数相等的方程组的求解问题，而这类方程组又,是非常特殊、非常重要的方程组,.,例,17,解方程组,解 方程组的系数行列式,由克莱姆法则得,所以方程组的唯一解为,.,定理,3,如果,齐次,线性方程组,的系数构成的行列式,那么它只有零解,.,1.5.2,克莱姆法则的推论,定理,4,若非齐次线性方程组无解或有多个解，,则其系数,行列式,D=0,.,推论,:,如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式,D=0,.,例,18,为何值时,方程组,有非零解,.,解 由以上推论知,当齐次线性方程组有非零解时它的系数,行列式,即,所以,.,不难验证,当,时方程组确有非零解,.,费马和笛卡儿简介,1.,费马（,Pierre Simon de Fermat,法国数学家,1601-1665,）,费马最初学习法律，最后以图卢兹议会的议员终其一生。他博览群书，精通多国文字和多门自然科学，成果累累。在,“,数论,”,、,“,解析几何,”,、,“,概率论,”,等方面都有重大贡献，被誉为,“,业余数学家之王,”,。费马特别爱好,“,数论,”,，他证明或提出许多命题，最有名的是,“,费马大定理,”,。,2.,笛卡儿（,Descartes,Ren,）,1596,年,3,月,31,日生于法国都兰城。笛卡儿是伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家，解析几何的创始人。是西方近代资产阶级哲学奠基人之一。被誉为“近代科学的始祖”。,