第4讲、倒格子和晶体的对称性.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四讲、倒格子和,晶体的对称性,第一章 晶体结构,一、倒格子,二、正交变换,、对称素,三、周期性对对称性的影响,四、基本的点对称操作,1,一、倒格子,晶格具有周期性，一些物理量具有周期性,势能函数,势能函数是以,为周期的三维周期函数,此外，格点密度、质量密,度、电子云密度等都是周,期函数。,2,晶体中任一处 的物理量 ，具有周期性，今可写为：,将 展开成傅立叶级数：,原胞体积,于是,3,令,则有,于是有：,不能为零,4,定义：,对于,Bravais,晶格中所有格矢 ，满足,或,的全部 端点的集合构成的新格子，称为正格子,(Direct lattice),的倒格子,(Reciprocal lattice),。,m,是整数,于是：,5,根据原胞基矢定义三个新的矢量,倒格子基矢量,以 为基矢构成一个倒格子,倒格子每个格点的位置,倒格子矢量,(,倒格矢,),倒格子基矢的性质,6,所以：,因为：,倒格子空间是正格子的倒易空间。,7,倒格子与正格子间的关系,1),倒格子原胞体积反比于正格子原胞体积,8,2,）正格子中一簇晶面 和 正交,可以证明,与晶面族正交,9,3,）倒格子矢量 为晶面 的法线方向,晶面方程,各晶面到原点的距离,面间距,即：,10,对于每一簇晶面都有一点,P,，以,OP,为该方向的周期，把,P,平移，得出一个新的点阵。这个新格子称为原来的晶格的,倒格子,，而把原来的晶格称为,正格子,。,倒格子的物理意义,布里渊区：倒格子空间中的,WS,原胞称为,布里渊区,(,Brillouin,Zone),原点,O,引晶面簇,ABC,的法线,ON,在法线上截取一段,=,OP,，使,d,=,2,d,是晶面簇,ABC,的面间距,11,二、正交变换,首先讨论以宏观的角度如何描写一个几何图形的对称性。,第一章 晶体结构,要描述一个几何图形的对称性，一般采用几何变换的方法。,例：比较以下图形的对称性。,(a),(b),(c),(d),12,为比较图形的对称性，规定：在作几何变换时，图形中有一点固定不动。,(a),A,B,C,D,一个对称轴，旋转,角度。一种几何变换。,(b),(1),(2),(3),(1),旋转,角度 （,2,）旋转,角度,(3),旋转,/2,、,、,3/2,角度,五种几何变换。,(c),无穷多种变换。,(d),无几何变换,可见，几何变换越多，对称性越高。,第一章 晶体结构,13,对称操作,物体在一定几何变换下不变，,称这个变换为物体的,对称操作,。,对于晶格点阵而言，对称操作即为操作前后点阵不变。,正交变换,在几何变换中若任意两点间的,距离不变，称这种变换为,正交变换,。,在数学上可用正交矩阵表示。,第一章 晶体结构,14,一般几何变换可用矩阵表示。,一矢量 在,oxy,平面旋转,角度，得到矢量,例：,第一章 晶体结构,x,y,o,与 的关系为,旋转,角度可表示,为,矩阵,15,正交矩阵的性质,即,第一章 晶体结构,16,几种简单操作的变换矩阵：,(1),、绕,Z,轴转动,(2),、中心反映,第一章 晶体结构,17,(3),、镜像反映,(,对称面为,oxy,平面,),第一章 晶体结构,18,几个三维的实例,1),绕三个立方轴转动：,/2,，,，,3,/2,，共有,9,个对称操作,2),绕,6,条面对角线轴转动,，共有,6,个对称操作,1,、立方体的对称操作,第一章 晶体结构,19,3),绕,4,个立方体对角线轴转动,2,/3,，,4,/3,，共有,8,个对称操作,4),正交变换 也是一个对称操作；,第一章 晶体结构,5),以上,24,个对称操作加中心反演仍是对称操作,立方体的对称操作共有,48,个,20,2,、正四面体的对称操作,1),、绕三个立方轴转动,，共有,3,个对称操作；,2),、绕,4,个立方体对角线轴转,2,/,3,4,/,3,，共有,8,个对称操作；,3),、正交变换 也是一个对称操作；,4),、绕三个立方轴转动：,/2,，,3,/2,，加上中心反演，共有,6,个对称操作；,5),、绕,6,条面对角线轴转动,，加上中心反演，共有,6,个对称操作；,因此正四面体的对称操作共有,24,个。,四个原子位于正四面体的四个顶角上，显然正四面体的对称操作包含在立方体操作之中。,第一章 晶体结构,21,3,、正六面柱,(,六角晶体,),的对称操作,1),绕中心轴线转动,5,个,第一章 晶体结构,3,个,3,个,2),绕对棱中点连线转动,3),绕相对面中心连线转动,4),正交变换,5),以上,12,个对称操作加中心,反演仍是对称操作,正六面柱的对称操作有,24,个,1,个,22,“,对称素,”,简洁明了地概括一个物体的对称性,“,对称素,”,一个物体的旋转轴、旋转反演轴,*,对称素,第一章 晶体结构,一个物体绕某一个转轴转动 加上中心反演的联合操作，以及其联合操作的倍数不变时,该轴为物体,n,重旋转反演轴，计为,一个物体绕某一个转轴转动 ，以及其倍数不变时,该轴为物体,n,重旋转轴，计为,23,立方体,第一章 晶体结构,立方轴 为,4,重轴，计为,4,同时也是,4,重旋转反演轴，计为,面对角线 为,2,重轴，计为,2,同时也是,2,重旋转反演轴，计为,体对角线轴 为,3,重轴，计为,3,同时也是,3,重旋转反演轴，计为,24,正四面体,体对角线轴是,3,重轴,不是,3,重旋转反演轴,立方轴是,4,重旋转反演轴,不是,4,重轴,面对角线是,2,重旋转反演轴,不是,2,重轴,第一章 晶体结构,25,第一章 晶体结构,对称素 的含义,先绕轴转动，再作中心反演,A,点实际上是,A,点在通过中心垂直于转轴的平面,M,的镜像，表明对称素 存在一个对称面,M,一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群,对称素为镜面,用,or,表示,26,三、周期性对对称性的影响,晶格点阵的周期性排列会对对称操作有所限制。,第一章 晶体结构,设,AB,为晶体中某一晶面上的一条晶列。,由于周期性存在，有,同族晶列格点的周期性相等,(,m,为整数,),(,m,为整数,),从图中可知,27,所以,(,m,为整数,),m,cos,0,-1,1,0,1 0,2,3 -1,4,不可能,但是,n,只能取：,n,=1,2,3,4,6,第一章 晶体结构,虽然,28,旋转对称操作：,晶格围绕一固定轴,(,二维：通过格点而且垂直平面；三维：晶向,),转动角度,或,-,以后，晶格保持不变。,由于晶格满足平移对称性，所以，不存在,5,重轴。,第一章 晶体结构,将晶体绕某轴转动 ，称为晶体绕,n,度轴旋转，用,C,n,表示。,29,四、基本的点对称操作,3,、,i,(,中心反演,),1,、,E (,不变,),2,、,C,n,(,n,度轴转动,),n,：,2 3 4 6,C,2,C,3,C,4,C,6,(,熊夫利符号,),第一章 晶体结构,对应,n,=1,，即没有操作,4,、,(,n,度旋转轴，作,n,度旋转后再作中心反映,),(,m,),(,S,4,),最基本的点对称操作：,E,、,C,2,、,C,3,、,C,4,、,C,6,、,i,、,m,、,S,4,共,8,种,(,形成,32,种点群,),30,C,n,(,n,度轴转动,),n,：2 3 4 6,C,2,C,3,C,4,C,6,（轴 的 符号）,(,n,度旋转轴，作,n,度旋转后再作中心反映,),第一章 晶体结构,(,m,),(,S,4,),31,m,：,垂直于旋转轴的一个对称面,(,是基本的点对称操作，称镜像反映面,),第一章 晶体结构,：,实际上是中心反演,(,不是基本的点对称操作,),1,3,2,2,4,13,5,5,4,6,6,S,4,：,是一个新的对称操作,(,是基本的点对称操作，称,4,度旋转,反演轴,),2,3,4,1,1,3,4,2,：,是,C,3,、,m,的组合,(,不是基本的点对称操作,),1,1,2,4,3,5,6,4,2,3,5,32,预告：下次课内容：,点群、空间群和表面几何结构,相当于,1-6,、,7,、,8,节的内容,33,