多元函数的极限与连续性.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,*,多元函数的极限与连续性,二重极限,累次极限,2007年8月,1,南京航空航天大学 理学院 数学系,与一元函数的极限相类似，二元函数的极限,同样是二元函数微积分的基础,.,但因自变量个数,的增多,导致多元函数的极限有重极限与累次极,限两种形式,而累次极限是一元函数情,形下所不,会出现的,.,返回,2007年8月,2,南京航空航天大学 理学院 数学系,一、二重极限,定义,1,设二元函数,定义在,上,为,D,的,一个聚点,A,是一实数,.,若,使得当,时,都有,则称,在,D,上当,时以,A,为极限,记作,2007年8月,3,南京航空航天大学 理学院 数学系,当,P,分别用坐标,表示时,上式也,常写作,例,1,依定义验证,证,因为,简记为,2007年8月,4,南京航空航天大学 理学院 数学系,不妨先限制在点,(,2,1,),的方邻域,内来讨论,于是有,2007年8月,5,南京航空航天大学 理学院 数学系,当,时,就有,这就证得,所以,2007年8月,6,南京航空航天大学 理学院 数学系,例,2,设,证明,证,(,证法一,),2007年8月,7,南京航空航天大学 理学院 数学系,可知,故,注意,不要把上面的估计式错写成：,2007年8月,8,南京航空航天大学 理学院 数学系,因为,的过程只要求,即,而并不要求,(,证法二,),作极坐标变换,这时,等价于,(,对任何,),.,由于,因此，,对任何,2007年8月,9,南京航空航天大学 理学院 数学系,都有,下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归,结,原则,(,而且证明方法也相类似,).,定理,1,的充要条件是：对于,D,的,任一子集,E,只要,仍是,E,的聚点,就有,2007年8月,10,南京航空航天大学 理学院 数学系,推论,1,若,P,0,是,E,1,的聚点,使,不存在,则,也不存在,推论,2,若,是它们的聚点，使得,都存在，但,则,不存在,2007年8月,11,南京航空航天大学 理学院 数学系,推论,3,极限,存在的充要条件是：,D,中任,一满足条件,它所,对应的函数列,都收敛,下面三个例子是它们的应用,例,3,讨论,当,时是,否,存在极限,(,注,:,本题结论很重要,以后常会用到,.),解,当动点,(,x,y,),沿着直线 而趋于定点,(0,0),2007年8月,12,南京航空航天大学 理学院 数学系,时，由于,因此有,这说明动点沿不同斜率,m,的直线趋于原点时,对应,的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在,2007年8月,13,南京航空航天大学 理学院 数学系,如图,16-15,所示,当,(,x,y,),沿任何直线趋于原点时,相应的,都趋于,0,但这并不表明此函数在,2007年8月,14,南京航空航天大学 理学院 数学系,时的极限为,0.,因为当,(,x,y,),沿抛物线,趋于点,O,时,将趋于,1.,所,以极限,不存在,.,例,5,讨论,在,时不,存在极限,解,利用定理,1,的推论,2,需要找出两条路径,沿,着,此二路径而使,时,得到两个相异,的极限,2007年8月,15,南京航空航天大学 理学院 数学系,第一条路径简单地取,此时有,第二条路径可考虑能使,的分子与,分母化为同阶的无穷小,导致极限不为,0.,按此思路,的一种有效选择,是取,此时得到,2007年8月,16,南京航空航天大学 理学院 数学系,这就达到了预期的目的,(,非正常极限,),的定义,定义,2,设,D,为二元函数,f,的定义域，,是,D,的一个聚点,.,若,使得,则称,f,在,D,上当,时,有,非正常极限,记,作,下面再给出当,时,2007年8月,17,南京航空航天大学 理学院 数学系,或,仿此可类似地定义：,例,6,设,.,证明,证,此函数的图象见后面的图,.,2007年8月,18,南京航空航天大学 理学院 数学系,2007年8月,19,南京航空航天大学 理学院 数学系,因,故对,只需取,这就证得结果,二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿,特,同,这里不再一一叙述,.,看作点函数,别把,时,相应的证法也相,2007年8月,20,南京航空航天大学 理学院 数学系,不存在,.,观察,播放,2007年8月,21,南京航空航天大学 理学院 数学系,二、累次极限,是以任何方式趋于,这种极限也称为,重,极限,.,下面要考察,x,与,y,依一定的先后顺序,相继趋,在上面讨论的,中,自变量,于,与,时,f,的极限,这种极限称为,累次极限,.,定义,3,2007年8月,22,南京航空航天大学 理学院 数学系,如果进一步还存在极限,累次极限,记作,则称此,L,为,先对,后对,的,它一般与,y,有关,记作,2007年8月,23,南京航空航天大学 理学院 数学系,类似地可以定义,先对,y,后对,x,的累次极限,:,注,累次极限与重极限是两个不同的概念,两者之间,没有蕴涵关系,.,下面三个例子将说明这一点,.,例,7,设,.,由例,3,知道,当,时的重极限不存在,.,但当,时,有,2007年8月,24,南京航空航天大学 理学院 数学系,从而又有,同理可得,这说明,f,的两个累次极限都存在而且相等,.,累次极限分别为,例,8,设,它关于原点的两个,2007年8月,25,南京航空航天大学 理学院 数学系,当沿斜率不同的直线,时,有,诉我们,这个结果是必然的,.),因此该函数的重极限不存在,.,(,下面的定理,2,将告,2007年8月,26,南京航空航天大学 理学院 数学系,例,设,它关于原点的两,个累次极限都不存在,.,这是因为对任何,时,f,的第二项不存在极限,.,同理,f,的第一,项当 时也不存在极限,.,但,是由于,故按定义知道 时,f,的重极限存在,且,2007年8月,27,南京航空航天大学 理学院 数学系,下述定理告诉我们,:,重极限与累次极限在一定条件,下也是有联系的,.,定理,2,若,f,(,x,y,),的重极限 与,累次极限,都存在,则两者必定相等,.,证,设,则,使得当,时,有,2007年8月,28,南京航空航天大学 理学院 数学系,的,x,存在极限,另由存在累次极限之假设,对任一满足不等式,回到不等式,(1),让其中,由,(3),可得,故由,(2),(4),两式,证得,即,2007年8月,29,南京航空航天大学 理学院 数学系,由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论,.,推论,1,若重极限,和累次极限,都存在,则三者必定相等,.,推论,2,若累次极限,都存在但不相等,则重极限,必定,不存在,.,2007年8月,30,南京航空航天大学 理学院 数学系,请注意,:,(i),定理,2,保证了在重极限与一个累次,极限都存在时,它们必相等,.,但对另一个累次极限的,存在性却得不出什么结论,(ii),推论,1,给出了累次极限次序可交换的一个充分,条件,.,(iii),推论,2,可被用来否定重极限的存在性,(,如例,8).,2007年8月,31,南京航空航天大学 理学院 数学系,例,10,设,试证明,:,2007年8月,32,南京航空航天大学 理学院 数学系,证,2007年8月,33,南京航空航天大学 理学院 数学系,根据柯西准则,证得,利用条件,(ii),与结论,2007年8月,34,南京航空航天大学 理学院 数学系,又有,这就证得,2007年8月,35,南京航空航天大学 理学院 数学系,注,本例给出了二累次极限相等的又一充分条件,.,与,定理,16.6,的推论,1,相比较,在这里的条件,(i),与,(ii),成立时,重极限,未必存在,.,2007年8月,36,南京航空航天大学 理学院 数学系,复习思考题,试问累次极限,是否就是动点,2007年8月,37,南京航空航天大学 理学院 数学系,2007年8月,38,南京航空航天大学 理学院 数学系,不存在,.,观察,2007年8月,39,南京航空航天大学 理学院 数学系,观察,不存在,.,2007年8月,40,南京航空航天大学 理学院 数学系,观察,不存在,.,2007年8月,41,南京航空航天大学 理学院 数学系,观察,不存在,.,2007年8月,42,南京航空航天大学 理学院 数学系,观察,不存在,.,2007年8月,43,南京航空航天大学 理学院 数学系,观察,不存在,.,2007年8月,44,南京航空航天大学 理学院 数学系,观察,不存在,.,2007年8月,45,南京航空航天大学 理学院 数学系,观察,不存在,.,2007年8月,46,南京航空航天大学 理学院 数学系,观察,不存在,.,2007年8月,47,南京航空航天大学 理学院 数学系,观察,不存在,.,2007年8月,48,南京航空航天大学 理学院 数学系,观察,不存在,.,2007年8月,49,南京航空航天大学 理学院 数学系,观察,不存在,.,2007年8月,50,南京航空航天大学 理学院 数学系,