第三章 立体的投影及表面交线.ppt

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,基本体的三视图,3.1,体的投影,3.2,基本体的形成及视图,V,W,H,一、体的投影,体的投影，实质上是构成该体的所有表面的投影总和。,3.1,体的投影,视图,二、三面投影与三视图,1.,视图的概念,主视图,体的正面投影,俯视图,体的水平投影,左视图,体的侧面投影,2.,三视图之间的度量对应关系,三等关系,长,高,宽,宽,俯视左视宽相等且对应,宽相等,主视左视高相等且平齐,高平齐,视图就是将物体向投影面投射所得的图形。,主视俯视长相等且对正,长对正,3.,三视图之间的方位对应关系,上,下,左,右,后,前,上,下,前,后,左,右,主视图反映：上、下 、左、右,俯视图反映：前、后 、左、右,左视图反映：上、下 、前、后,3.2,基本体的形成及其三视图,常 见的基本几何体,平面 基本体,曲面,基本体,点的可见性规定：,若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。,由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。,一、平面基本体,1.,棱柱,棱柱的三视图,棱柱面上取点,a,a,a,(,b,),b,棱柱的组成,b,由,两个底面和几个侧棱面,组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，,侧棱线相互平行,。,先画反映底面形状的视图。,A,(B),s,2.,棱锥,棱锥的三视图,在棱锥面上取点,k,k,k,b,a,c,a,b,c,a,(,c,),b,s,n,n,棱锥的组成,由,一个,底面和,几个,侧棱面组成。侧棱线交于有限远的,一点,锥顶,。,同样采用平面上取点法。,棱锥处于图示位置时，其底面,ABC,是水平面，在俯视图上反映实形。侧棱面,SAC,为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平面,。,S,A,B,C,K,N,n,s,二、回转体,1.,圆柱体,圆柱体的三视图,圆柱面上取点,a,a,a,圆柱体的组成,A,1,A,O,O,1,a,母线,转向轮廓线,底面投影的积聚性,转向轮廓线,素线的投影,与曲面的可见性的判断,利用,45,线作图,k,k,k,a,a,a,在图示位置，俯视图为一圆。另两个视图为等边三角形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条轮廓素线的投影。,圆锥面是由直线,SA,绕与它相交的轴线,OO,1,旋转而成。,S,称为,锥顶,，,直线,SA,称为母线,。,圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的,素线,。,O,1,O,圆锥体的组成,s,s,2.,圆锥体,圆锥体的三视图,轮廓线素线的投影与,曲面的可见性的判断,圆锥面上取点,k,辅助直线法,辅助圆法,(,n,),s,n,k,(,n,),k,由,圆锥面和底面,组成。,S,A,如何在圆锥面上作直线？,过锥顶作一条素线。,圆的半径？,母线,三个视图分别为三,个和圆球的直径相等的,圆，它们分别是圆球三,个方向轮廓线的投影。,3.,圆球,圆母线以它的直径为轴旋转而成。,圆球的三视图,轮廓线的投影与曲,面可见性的判断,圆球面上取点,k,辅助圆法,k,k,圆球的形成,圆的半径？,n,n,n,3.2,平面与平面立体表面相交,一、概述,1,、几个概念,截交：用平面截切立体。,截平面：用来截切立体的平面。,截交线：立体被平面截切所产生的表面交线。,截断面：立体被平面截切后所产生的平面。,截交线,截断面,截平面,2,、截交线的性质,1,共有性,：截交线为截平面与立体表面的共有线。,2,封闭性,：由于立体是有形而又有限的，故截交线应是封闭的多边形或包含曲线的平面图形。,3,、截交线的形状,截交线的形状取决于立体的几何性质与截平面的相对位置：,（,1,）截平面与平面立体相交：,截交线为封闭的平面折线（多边形）。,（,2,）截平面与曲面立体相交：,截交线为封闭的平面曲线或包含直线段和曲线的平面图形。,4,、截交线的作图方法和步骤,求截交线的问题，就是求截平面与立体表面的全部共有点的,集合问题。,求作共有点的一般方法：,积聚性法,:,充分利用立体表面或截平面的积 聚投影,棱线法,:,求各棱线与截平面的交点,棱面法,:,求各棱面与截平面的交线,求截交线的步骤：,一般作图步骤：,（,1,）求作截交线上的所有特殊点（最高、最低、最左、最右、,最前、最后点）；,（,2,）求出若干一般点（点的数量根据作图需要而定）；,（,3,）判断可见性；,（,4,）顺次连接各点。,二、平面立体的截交线,平面立体的截交线为多边形，多边形的每条边,都是截平面与立体表面的交线，因此求作平面立体,截交线的问题可以归结为求作直线与平面的交点和,平面与平面交线的问题。,求,截交线的实质是求两平面的交线,截交线多边形的边数,=,截平面截到的棱面数,关键是正确地画出截交线的投影。,求截交线的步骤：,分析截平面与立体的相对位置,分析截平面与投影面的相对位置,确定截交线,的投影特性,确定截交,线的形状,空间及投影分析,画出截交线的投影,分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形（,将同一棱面的交点依次相连,）。,例,1,：求,六棱柱被截切,后的水平投影和侧面投影,1,2,1,2,2,2,2,7,7,5,6,5,6,1,2,3,4,5,6,7,3,4,3,4,我们采用的是哪种解题方法？,积聚法！,例,2,：补全被截切六棱柱的水平投影和侧面投影,1,2(3),4(5),6(7),6”,7”,1”,3”,2”,5”,4”,6,7,注意：,要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。,例,3,：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。,3,2,1,(4,),1,2,4,3,1,2,4,交线的形状？,3,投影分析,求截交线,分析棱线的投影,检查,类似性,截平面与立体的几个棱面相交,?,截交线与投影面的位置关系,?,例,4,：求做三棱锥被截切后的投影,1,2,3(4),1”,3”,4”,1,2,4,3,2”,截交线在俯、左视图上的形状？,例,5,：,求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。,、,两点分别同时位于三个面上。,三面共点：,1,2,1,(2,),2,1,2.,平面与,回转,体相交,截交线是截平面与回转体表面的,共有线,。,截交线的形状取决于回转体表面的形状及,截平面与回转体轴线的相对位置。,截交线一般是,封闭的平面曲线,或,平面曲线与直线围成的平面图形。,求截交线的方法：,求截平面与回转体表面的,共有点,。,截交线的性质：,画出截交线的投影,当截交线的投影为非圆曲线或直线时，其作图步骤为：,将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。,先找特殊点，再补充中间点,。,求截交线的步骤：,空间分析和投影分析,分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的,相对位置，以,确定截交线的形状,。,分析截平面投影面的相对位置，,明确截交线的,投影特性，,如积聚性、类似性等。,找出,截交线的,已知,投影，,预见未知,投影。,(1),平面与圆柱相交,圆柱切割后截交线的形状,取决于,截平面与圆柱轴线的相对位置,。,垂直,圆,椭圆,平行,两平行直线,倾斜,例,4-,5,求平面与圆柱的交线的投影。,分析：,空间分析与投影分析；,找特殊点,作图步骤,：,补全基本体投影,1,2,3,4,1,2,(4),3,1,2,3,4,图5,-,27,例,4-6,求平面与圆柱的交线的投影。,分析：,空间分析与投影分析；,找特殊点,作图步骤,：,补全基本体投影,5,6,7,8,(6),5,7,(8),6,5,7,8,作一般点,光滑连线,完成截断体的轮廓,图5,-,27,椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变而改变。,45,什么情况下投影为圆呢,?,截平面与轴线成,45,夹角,时,例,4-7,根据,给定的形体的两面投影，求作侧面投影。,图,4,-,10,圆柱体开出一方槽的投影,空间分析与投影分析；,作图,步骤,：,作圆柱的侧面投影；,找点,、,、,、,的投影；,1,2,(3),(4),1,(2),3,1,2,3,4,5,5,(4),5,图,4,-,12,圆柱体开出一方槽的投影,1,2,(3),(4),1,(2),3,1,2,4,5,5,(4),5,判断可见性，连线、加深,3,图,4,-,13,圆柱体开出一方槽的投影,检查、完成。,例,4-8,求左视图,空间及投影分析,利用,积聚性,求截交线,分析圆柱体轮廓素线的投影,截平面与体的相对位置,截平面与投影面的相对位置,解题步骤：,同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。,例,4-9,求左视图,例,4-10,补画出立体的左视图,2.,作左切面上的投影,1.,作圆柱的左视图,3.,作下部通槽的投影,4.,判别可见性,5.,整理并擦除多余的线,完成作图,.,例,4-12,求左视图,虚实分界点,(2),平面与圆锥相交,=90,90,90,过锥顶,两相交直线,圆,椭圆,抛物线,双曲线,4-13,已知一直立圆锥被正垂面截切，求作截交线，完成其水平投影和侧面投影。,图,4,-,16,平面截切圆锥,空间分析与投影分析；,找特殊点,作图步骤：,补全基本体投影,1,2,3,4,1,2,3,4,2,4,3,5,5,5,作一般点,光滑连线,完成截断体的轮廓,1,4-14,已知一直立圆锥被正垂面截切，求作截交线，完成其水平投影和侧面投影。,图,4,-,18,平面截切圆锥,检查、完成。,e,c,a,d,b,4-15,圆锥被一与其轴线平行的截平面切割，试完成截交线的正面投影。,E,D,C,A,B,图,4,-,19,平面截切圆锥,d,c,e,a,b,P,W,(2),求一般点；,1,”,1,1,2,”,2,2,3,”,3,3,5,5,5,”,4,”,4,4,7,”,7,6,”,6,6,7,作图：,(1),求特殊点,（底圆上点,与,、最左点,及最前素线上点,）；,(3),判断可见性，连线。,例,4-16,求侧垂面,P,与圆锥体的截交线。,平面与球面的交线总是圆,(3),平面与圆球相交,图,4,-,20,平面与球面交线的基本作图,4-16,已知半球上通槽的正面投影，试完成其另两面投影。,空间分析与投影分析,;,Q,P,作图,:,完成平面,P,的投影,完成平面,Q,的投影,a）,b）,图,4,-,21,平面截切球,(4),平面与组合回转体相交,图,4,-,22,连杆头的截交线,分析,:,连杆头是由轴线垂直于侧面的圆柱体、圆弧回转体和球（具有贯通圆柱孔）组成的同轴组合回转体，被平行于轴线的前、后两个对称的正平面,P,切去两块而形成。,截交线由圆弧和平面曲线组成,，两段线相切。,只需画出截交线的正面投影,首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，,然后,分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。,例,4-17,求作顶尖的俯视图,例,4-18,试完成连杆头的截交线的投影。,作图步骤：,图,4,-,23,连杆头的截交线,最左点,I,、,环面和球面的分界点,II,、,III,作特殊点的投影：,一般位置点,IV,、,V,(,转向线上的点,VI,、,VII,),VII,5,4,5,2,1,6,7,4,6,2,7,3,3,1,1,图,4,-,24,连杆头的截交线,判别可见性，连线,VII,5,4,5,2,1,6,7,4,6,2,7,3,3,1,1,例,7-15,圆锥截交线,b,1,1,b,b,a,a,a,2,2,1,2,概 述,平面体与平面体相交,平面体与回转体相,贯,回转体与回转体相,贯,立体与立体相交,平面体与回,转体相贯,回转体与回,转体相贯,多体相贯,一,.,相贯的形式,两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做,相贯线,。,平面体与平,面体相贯,5.1,概 述,二,.,相贯线的主要性质,表面性,封闭性,共有性,一,.,两平面体相交,两平面体的交线在一般情况下为,封闭折线,。,二,.,互贯与全贯,三,.,求两平面体交线的方法,1.,棱线法,棱线与棱面的交点,2.,棱面法,各棱面的交线,（,A,）互贯,（,B,）全贯,5.2,平面体与平面体相交,Pv,Qv,2,=3,1,=4,5,=7,6,=8,1,2,4,3,6,5,8,7,2=9,3=11,4=12,5,6,7,8,1=10,9,=,11,10,=12,12,11,9,10,例,1,：已知三棱锥被四棱柱孔前后贯穿后的主,视图，试完成其俯视图并作主视图。,完成后的三视图,：,一,.,相贯线的性质,相贯线是,由若干段平面曲线（或直线）所组成的,空间折线,，每一段是平面体的,棱面,与回转体,表面,的交线。,二,.,作图方法,分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确,定交线的形状。,求出各棱面与回转体表面的截交线,。,连接各段交线，并判断可见性,。,求交线的实质是,求各棱面与回转面的截交线,。,5.3,平面体与回转体相贯,例,2,：,补全主视图,空间分析：,四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧。,投影分析：,由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上。,a,c,b,a,b,c,3,1,2,3,7,1,5,6,8,5,2,7,8,6,例,3,求三棱柱与半球,的相贯线,S,H,T,H,R,H,1,5,一,.,相贯线的性质,相贯线一般为,光滑封闭,的空间曲线，它是两回转体,表面的共有线,。,二,.,作图方法,面上取点法,辅助平面法,找特殊点,确定交线的范围,三,.,作图过程,补充中间,确定交线的弯曲趋势,5.4,回转体与回转体相贯,交线分析,空间分析：,相交两立体的表面形状，形体大小及相对位置，,预见交线的形状,。,投影分析：,是否有积聚性投影？,找出,相贯线 的,已知投影,，,预见未知投影，选择解题方法。,作图,最,上,点、最,下,点、最,左,点、,最,右,点、最,前,点、最,后,点、,轮廓线上的点等。,找点,连线,检查、加深,尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。,找特殊点,补中间点,四,.,面上取点法,例,4,：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。,空间及投影分析：,小圆柱轴线垂直于,H,面，水平投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影即为该圆。大圆柱轴线垂直于,W,面，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影在该圆上。,求相贯线的投影：,利用积聚性，采用表,面取点法。,找特殊点,补充中间点,光滑连接,完成后的三视图：,当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势：,交线为两条平面,曲线（椭圆）,交线总向大圆,柱的轴线弯曲,