(前5节)复习第9章_多元函数微分法及其应用(1).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,音乐,第九章,多元函数微分法及其应用,1,上册讨论的函数都只有一个自变量,称,一元函数,.但在实际问题中,往往牵涉到多方面的因素,反映到数学上,就是一个变量依赖于多个变量的情形,这就提出了,多元函数,以及多元函数微积分问题.本章将在一元微积分的基础上,讨论多元函数的微分法及其应用.主要讨论,二元,的情况.,2,一、平面点集,n,维空间,1.平面点集,平面上具有某种性质,P,的点的集合,称为平面点集,记作,例如,平面上,以,原点为中心、,r,为半径的圆内所有点的集合可表示为,第一节 多元函数的基本概念,3,(1)邻域,4,（2）区域,例如，,即为开集,5,6,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,7,有界闭区域；,无界开区域,例如，,8,（3）聚点,内点一定是聚点；,说明：,边界点可能是聚点；,例,(0,0)既是,边界点也是聚点,(0,0)孤立边界点,9,点集,E,的聚点可以属于,E,，,也可以不属于,E,例如,(0,0),是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,10,2.,n,维空间,说明：,n,维空间的记号为,n,维空间中两点间距离公式,特殊地当,n,=1,2,3,时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,设两点为,11,n,维空间中邻域、区域等概念,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,邻域：,12,类似地可定义三元及三元以上函数,多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.,二、多元函数的概念,13,解,所求定义域为,求,的定义域,例1,14,二元函数的图形通常是一张,曲面,.,二元函数 的图形,15,再如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,16,三、多元函数的极限,定义,17,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限.,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,18,证,求证,所以原结论成立,例2,19,例,3,例,4,20,确定二重极限,不存在,的方法：,21,例,5,解,沿,x,轴考察,沿,y,轴考察,22,四、多元函数的连续性,定义,23,讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随,k,的不同而变化，极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,例,6,24,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,例9,所以对多元初等函数来说,可以用“,代入法,”求极限.,例10,25,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域,D,上的多元连续函数，必定在,D,上有界，且能取得它的最大值和最小值,在有界闭区域,D,上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,26,第二节 偏导数,一、偏导数的定义及其计算法,或,27,偏导函数,:,记为,或,或,2.偏导数,的概念可以推广到二元以上函数.,说明:,1.偏导数实质上仍然是一元函数的微分问题.,28,解,例1,29,证,所以原结论成立,例2,30,解,例3,31,解,例4,32,求分界点、不连续点处的偏导数要用,定义,求.,解,例5,同理,33,偏导数的几何意义,得的曲线,34,多元,函数中在某点偏导数存在,连续，,偏导数存在与连续的关系,一元,函数中在某点可导,连续，,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,35,混合偏导数,二、高阶偏导数,36,解,例6,37,解,例7,求二阶偏导数.,以后如无特别说明,均假定如此.,38,证,例8,39,第三节 全微分,回顾:,能表示成,实际上,即,40,二元函数的可微和全微分,定义,如果可以表示为,41,事实上,即,证明,可微,连续,42,证,同理可得,可微,可偏导,43,注,：逆定理不成立,即可偏导不一定可微,见下面反例.,所以,44,习惯上，记全微分为,45,解,例1,例2,解,46,多元函数连续、可导、可微的关系,函数可微,函数连续,偏导数连续,函数可偏导,47,证略,第四节 多元复合函数的求导法则,一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形,48,以上公式中的导数 称为,全导数,.,49,解,例1,50,二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形.,链式法则如图示,51,二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形.,链式法则如图示,52,53,三、中间变量既有一元函数又有多元函数的情形.,即,又如,其中,54,注意两者的区别,55,解,例1,56,解,例2,57,解,例3,或用求导法则，,58,第五节 隐函数的求导公式,一、一个方程的情形,一元隐函数存在定理,(证略),59,例,1,解,则,所以,注,:,用一元隐函数求导法更简单,:,方程两边关于,x,求导,得,解得,60,二元隐函数存在定理,(证略),61,解法一,令,则,例,2,62,二、方程组的情形,向量值隐函数存在定理,63,64,65,Cramer,法则：,线性方程组,66,则方程组有唯一解,67,对,x,求偏导,得,推导：,由,Cramer,法则,由于系数行列式,可以解出上述结果.,68,解法一,直接代入公式，此法麻烦.,解法二,运用公式推导的方法，,解方程组,将所给方程的两边对,x,求导并移项,例,3,69,将所给方程的两边对,y,求导，用同样方法得,70,例5,解,解方程组得,71,（分以下几种情况）,隐函数的求导法则,小结,72,