第三章4-5刚体运动方程与转动惯量.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章,刚 体 力 学,导读,空间力系和平行力系的求和,刚体运动微分方程和平衡方程,简单转动惯量的计算,转动惯量的计算,1,力系的简化,将所有空间力作用点都迁移到一点,.,3.4,刚体运动方程与平衡方程,力是滑移矢量,力可沿作用线移动，不能随意移动,设,F,为作用在刚体,A,点上的一个力,P,为空间任意一点,但不在,F,的作用线上,.,F,r,A,P,F,1,F,2,在,P,点添上两个与,F,的作用线平行的力,F,1,及,F,2,且,这样,F,可以化为过,P,点的力,F,1,和,F,及,F,2,所组成的一个力偶,.,方向：永远垂直于力偶的作用面,大小：与,o,点无关。,因此：力偶矩是一自由矢量，可以平行于,自身任意移动位置，不影响其效应。,力偶,所以可以把所有空间力化为过一点的力和力偶,.,主矢使刚体平动状态发生变化,主矩使刚体转动状态发生变化,P,点叫,简化中心,力的矢量和叫,主矢,力偶矩的矢量和叫对简化中心的,主矩,.,P172,，思考题,3.4,2,刚体运动微分方程,如果,r,i,代表刚体中任一质点,P,i,对静止系,S,原点,O,的位矢,r,C,为质心,C,对,O,的位矢,而,r,i,为,P,i,对质心,C,的位矢,动坐标系,S,随质心作平动,其原点与质心,C,重合,.,则刚体质心,C,的运动方程为,刚体在动坐标系,S,中的相对运动对质心,C,的总角动量满足,对固定坐标系中的定点,O,上式仍有效,只需将,J,改,J,(,对定点,O,的总角动量,),，,M,改,M,.,刚体的运动分解随质心的平动绕质心的转动,六个独立的方程,刚体有六个独立变,量,.,故,质心运动,及,绕质心转动,两组方程式恰好确定刚体的运动情况,.,也可应用动能原理，作为一个辅助方程来代替方程中的任意一个,.,注意,:,这时刚体内力所作元功之和为零,故刚体动能的微分等于刚体在运动过程中外力所作的,元,功之和,.,3,刚体平衡方程,如为共面力系,且设诸力均位于,xy,平面内,则平衡方程简化为,若刚体处于平衡状态：,M,x,，,M,y,=,？,例,1,、,一,根,均匀的,棍,子、重为,P,长为2,l.,今将其一端置于,粗,糙地面上，又以其上的,C,点，,靠,在,墙,上，墙离地面的高度为,h,.,当棍子与地面的角度,为最小值,0,时,棍子在上述位置仍处于平衡状态，求棍与地面的摩擦系数,解：,受力分析知,本题是一共面力系的平衡问题,取棍子所在的平面为,xy,平面,则,对,A,点,A,x,y,B,C,h,O,l,l,P,N,2,N,1,0,f,刚体以,作定点转动,其中质点,P,i,对定点的位矢是,r,i,则质点对定点的动量矩为,整个刚体对定点的动量矩为,动量矩一般不与刚体角速度共线,.(,动量与速度总共线,),1,刚体的动量矩,3.5,刚体转动惯量,(,重点,）,在直角坐标系下,所以,引入符号,则刚体动量矩表达式简化为,刚体对各轴的转动惯量,惯量积,（,3.5.5,，,6,）,刚体以,作定点转动,对定点的转动动能为,2,刚体的转动动能,（,3.5.8,）,刚体对定点的转动动能也可以写为,z,上式中,i,为,P,i,的位矢,r,i,与角速度矢量,之间的夹角,i,为自,Pi,至转动瞬轴的垂直距离，而,I,称为刚体绕转动瞬轴的,转动惯量,.,对于质量均匀,(,或按一定规律）分布，且形状规则的刚体，则把求和变成积分。,认为在转动中，刚体的质量,m,等效于集中于某一点，该点到轴线的距离为,k,则该点对该轴线的转动惯量,mk,2,等于刚体对此轴线的转动惯量,I,，即有,3,刚体的转动惯量,I,回转半径,物体的转动惯量决定于物体的,质量分布,情况,又决定于,转动轴的位置,.,转动轴不同,即使是同一物,体,转动惯,量,也不同,.,平行轴定理,若刚体,对过质心的轴,的转动惯量为,I,c,，则刚体对与该轴相距为,d,的平行轴,z,的转动惯量,I,z,是,P172,思考题,3.5,质量为,m,长为,l,的细棒绕通过其端点合质心的垂直轴的转动惯量,o,x,z,dx,dm,x,质量为,m,半径为,R,的均匀圆盘,通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量,o,r,dr,R,4,惯量张量和惯量椭球,对形状规则的刚体，将转动惯量写为积分形式,(3.5.13,14),轴转动惯量,惯量积,过,o,点有无穷多个轴，如何来计算绕这些轴的转动惯量？,对通过空间某一点,O,的轴线,为转动瞬轴相对于坐标轴的,方向余弦,则,一次算出轴转动惯,量,和惯量积,通过,O,点,的,任一轴线的转动惯量,都,可,得,出,.,（,3.5.15,）,三个轴转动惯量和六个惯量积作为统一的一个物理量,代表刚体转动的惯性的量度，可以写为矩阵的形式,叫,做,惯量张量,元素叫惯量张量的组元,或,惯量系数,.,利用矩阵乘法,得,惯量系数是点坐标的函数,所以用静止的坐标系时,刚体转动时,惯量系数随之而变,.,通常选取固着在刚体上、并随着刚体一同转动的动坐标系,这样,惯量系数都是常数,显然可以把惯量积通过选取坐标轴的方向而消除,如在转动轴上,截取线段,I,为刚体绕该轴的转动惯量,则,Q,点的坐标将是,因过,O,点有很多转轴,则有很多的,Q,点，这些点的轨迹是,这是一个中心在,O,点的椭球,通常叫,惯量椭球,如,O,为质心,又叫,中心惯量椭球,.,椭球有三个主轴,如坐标轴选取与之重合,则惯量积消失,.,I,1,I,2,I,3,称为,O,点上的主转动惯量,.,此时有,在力学里,大都是对称的均匀刚体,而这种刚体的惯量主轴,则可根据对称性很方便地求出,.,对任意转轴的转动惯量：,求惯量主轴的方法,（,重点,）,均匀刚体，且具有对称轴，那么此轴就是惯量主轴；,如有对称面,(x-y,面），则垂直于对称面的,Z,轴就是惯量主轴。,例题,均匀长方形薄皮边长为,a,b,，质量为,m,求绕其对角线转动时的转动惯量,解题要点,求出主转动惯量。,求出转动轴和主轴的夹角，利用公式,对任意转轴的转动惯量：,即,小结,力系的简化规则,刚体运动微分方程,刚体的运动分解随质心的平动绕质心的转动,六个独立的方程,转动惯量,惯量椭球与惯量主轴,