第二章逻辑代数.ppt

第二章,逻辑代数基础,2.1,逻辑代数中的三种基本运算,2.2,逻辑代数的基本公式和常用公式,下一页,前一,页,退出,2.3,逻辑代数的基本定理,2.4,逻辑函数及其表示方法,2.5,逻辑代数的化简,2.1,逻辑代数的三种基本运算,变量的取值：,逻辑,0,、逻辑,1,。,与运算,或运算,非运算,变量的表示：,用字母表示,1,、三种基本逻辑运算,一、逻辑变量,二、基本逻辑运算与基本逻辑门,逻辑,0,和逻辑,1,不代表,数值大小,，仅表示相互矛盾、相互对立的,两种逻辑状态,下一页,前一,页,退出,逻辑表达式,F=A,B=AB,与逻辑真值表,与逻辑关系表,1,）与逻辑,开关,A,开关,B,灯F,断 断,断 合,合 断,合 合,灭,灭,灭,亮,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,0,0,1,0,A,B,F,逻辑符号,只有决定某一事件的,所有条件,全部具备，这一事件才能发生,与逻辑运算符，也有用“,”、,“”、“”、“,&”,表示,运算规则：见,0,为,0,全,1,为,1,逻辑表达式,F=A,+,B,或逻辑真值表,2,）或逻辑,A,B,F,1,逻辑符号,决定某一事件结果的,任意条件成立时候,，结果发生发生,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,1,1,1,0,N,个输入：,F=A,+,B,+.+N,或逻辑运算符，也有用“”、“”表示,运算规则：见,1,为,1,全,0,为,0,下一页,前一,页,退出,3,）非逻辑,当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生,，,非逻辑真值表,逻辑符号,A,F,1,A,F,0,1,1,0,逻辑表达式,F=A,“,-”,非逻辑运算符,2,、复合逻辑运算,与非逻辑运算,F,1,=AB,或非逻辑运算,F,2,=A+B,与或非逻辑运算,F,3,=AB+CD,1,）异或运算,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,1,1,0,0,A,B,F,=1,逻辑符号,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,0,0,1,1,2,）同或运算,逻辑表达式,F=A,B=,A,B,A,B,F,=1,逻辑符号,3,、其他常见运算,运算规则：相同为,0,相异为,1,运算规则：相同为,1,相异为,0,下一页,前一,页,退出,逻辑表达式,F=A,B=AB+AB,A,B,F,1 0,0 1,0 0,0,0,0,1 1,1,A,B,F,V,L,V,L,V,L,V,L,V,H,V,L,0,A,B,F,0 1,0 0,1 0,1 1,1,1,1,V,L,V,H,V,H,V,L,V,H,V,H,电平关系,正逻辑,负逻辑,高电平,V,H,用逻辑,1,表示，低电平,V,L,用逻辑,0,表示,4,、正逻辑与负逻辑,（与门）,（或门）,高电平,V,H,用逻辑,0,表示，低电平,V,L,用逻辑,1,表示,下一页,前一,页,退出,逻辑符号：,&,=1,=,A,B,Y,A,B,Y,A,B,Y,A,B,Y,Y,B,A,Y,B,A,Y,B,A,Y,B,A,国外符号：,下一页,前一,页,退出,2.2,逻辑代数的基本公式和常用公式,1,、,基本公式,公理,交换律,结合律,分配律,0,0=0,0,1=1 0=0,1,1=1,0,+0=0,0,+1=1+0=1,1,+1=1,A,B=B A,A,+B=B+A,(A,B)C=,A,(B C),(A,+B)+C=,A,+(B+C),A,(,B+C)=,A,B+,A,C,A,+B C=(,A,+B)(,A,+C),0-1,律,重叠律,互补律,自等律,A,0=0,A,+1=1,A,1=A,A,+0=A,A,A=0,A,+A=1,A,A=A,A,+A=A,A,=A,还原律,下一页,前一,页,退出,A,B=A+B,A,+B=AB,反演律,吸收律,A+A,B=A,某乘积项的部分因子恰好是另一乘积项的全部，则该乘积项多余,下一页,前一,页,退出,A,（,A,+,B,）,=A,2,、,常用公式,AB,+,ABC,=AB+C,某乘积项的部分因子恰好是另一乘积项的补，则该部分因子多余,例：,A,+,A B,=A+B,消因律,AB,+,A,C+BC=,AB,+,A,C,(A+B)(,A+,C)(B+C)=(,A+B)(A,+C),包含律,若两个乘积项的部分因子恰好互补，而第三个乘积项含有前两项剩余因子之积，则第三个乘积项多余,AB,+,A,C+BCD=,AB,+,A,C,下一页,前一,页,退出,证明方法,利用真值表,例：用真值表证明反演律,A B,AB,A+B,A,B,A+B,0,0,0,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,A,B=A+B,A,+B=AB,下一页,前一,页,退出,等式右边,例：证明包含律,成立,利用基本定律,下一页,前一,页,退出,2.3,逻辑代数的基本定理,1,、,代入定理,代入规则,：,任何一个含有某变量的等式，如果,等式,中所有出现此,变量,的位置均代之以一个,逻辑函数式,，则此等式依然成立,例：,A,B,=A+,B,BC,替代,B,得,由此反演律能推广到,n,个变量：,利用反演律,下一页,前一,页,退出,反演规则,：,对于任意一个逻辑函数式,F,，,做如下处理：,若把式中的运算符“,.,”,换成“,+,”,“,+,”,换成“,.,”;,常量“,0,”,换成“,1,”,，“,1,”,换成“,0,”,；,原,变量换成,反,变量，,反,变量换成,原,变量,那么得到的,新函数式,称为原函数式,F,的,反函数式,。,注：,保持原函数的运算次序,-,先与后或，必要时适当地加入括号,不属于单个变量上的非号有两种处理方法,非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换,将非号去掉，而非号下的函数式保留不变,例：,F(A、B、C),其反函数为,或,下一页,前一,页,退出,2,、,反演定理,对偶式,：,对于任意一个逻辑函数，做如下处理：,1,）若把式中的运算符“,.,”,换成“,+,”,，“,+,”,换成“,.,”,；,2,）常量“,0,”,换成“,1,”,，“,1,”,换成“,0,”,得到新函数式为原函数式,F,的对偶式,F,，,也称对偶函数,对偶规则：,如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即 若,F,1,=F,2,则,F,1,=F,2,。,使公式的数目增加一倍。,求对偶式时,运算顺序不变,，且它只,变换运算符和常量,，其,变量是不变,的。,注：,函数式中有“,”和“”运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符“,”换成“,”，“,”换成“,”。,例：,其对偶式,下一页,前一,页,退出,3,、,对偶定理,2.4,逻辑函数,及其表示方法,F,=f,（,A,、,B,、,C,、,.,）,称为逻辑函数。,1,、逻辑函数式,2,、,逻辑图,输入变量,输出变量,例：,F=AB F=A+B,A,B,F,1,下一页,前一,页,退出,一、逻辑函数及其表示方法,F=A B+C,A,B,1,C,F,描述逻辑函数各个变量取值组合和函数值对应关系的表格,真值表的写法：,列出所有变量的取值组合及相应的输出函数值,n,个变量有,2,n,种组合,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,0,0,1,1,3,、真值表,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,0,0,1,1,下一页,前一,页,退出,4,、波形图,反映输入和输出波形变化的图形又叫时序图,例：,A,B,C,F,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1,断“,0”,合“,1”,亮“,1”,灭“,0”,C,开，,F,灭,0,0,0,0,C,合，,A,、,B,中有一个合，,F,亮,1,1,C,合，,A,、,B,均断，,F,灭,0,真值表到函数式,挑出函数值为,1,的项,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,每个函数值为,1,的输入变量取值组合写成一个,乘积项,这些乘积项作,逻辑加,输入变量取值为,1,用原变量表示,;,反之，则用反变量表示,ABC,、,ABC,、,ABC,F=,ABC+ABC+ABC,下一页,前一,页,退出,二、各种表示方法间的相互转换,F=,ABC+ABC+ABC,乘积项,用,与门,实现，,和项,用,或门,实现,下一页,前一,页,退出,函数式到逻辑图,1,1,1,A,B,C,逻辑图到函数式,C,BC,A,B,A,B+,BC,A,B+,BC,F=,真值表到波形图,A,B,C,F,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1,0,0,0,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,C,A,B,三、逻辑函数的标准形式,1,、函数表达式的常用形式,一个逻辑函数可以写成几种不同类型的形式。,例如：,F(A,、,B,、,C),“与非,与非”式,“或,与”式,“或非,或非”式,“与,或,非”式,上述式为“与,-,或”表达式，也称“积之和”表达式；,式为“或,-,与”表达式也称“和之积”表达式；,两者为逻辑函数的基本形式,“与,或”式,下一页,前一,页,退出,最小项：,n,个变量有,2,n,个最小项，记作,m,i,3,个变量有,2,3,（,8,）,个最小项,m,0,m,1,000,001,0,1,m,2,m,3,m,4,m,5,m,6,m,7,010,011,100,101,110,111,2,3,4,5,6,7,n,个变量的逻辑函数中，包括,全部,n,个变量的,乘积项,（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）,1,）,最小项,和,最大项,乘积项,和项,最小项,二进制数,十进制数,编号,最小项编号,i,-,各输入变量取值看成二进制数，对应的十进制数,2,、逻辑函数的标准形式,下一页,前一,页,退出,0 0 1,A B C,0 0 0,m,0,m,1,m,2,m,3,m,4,m,5,m,6,m,7,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,三变量的最小项,最小项的性质：,同一组变量取值任意,两个不同,最小项的,乘积,为,0,。即,m,i,m,j,=0 (i,j),全部,最小项之,和,为,1,，即,任意一组变量取值，,只有一个,最小 项的值为,1,，其它最小项的值均为,0,具有相邻性的两个最小项之和可合并成一项并消去一个因子。,相邻性：,两个最小项仅有一个因子不同,例：,ABC+ABC =AB,2,）,标准积之和,(,最小项）表达式,式中的每一个乘积项均为最小项,F(A、B、C、D),例：,求函数,F(A,、,B,、,C),的标准积之,和表达式,解：,F(A,、,B,、,C),利用反演律,利用互补律，补上所缺变量,C,下一页,前一,页,退出,A B C,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,m,i,0,1,2,3,4,5,6,7,F,M,i,0,1,2,3,4,5,6,7,0,0,0,1,0,1,1,1,例：,已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式,从真值表找出,F,为,1,的对应最小项,解,:,0 1 1,3,3,1,1 0 1,5,5,1,1 1 0,6,6,1,1 1 1,7,7,1,然后将这些项逻辑加,F(A、B、C),下一页,前一,页,退出,3,）最大项,n,个变量有,2,n,个最大项，记作,i,n,个变量的逻辑函数中，包括,全部,n,个变量的,和项,（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）,同一组变量取值任意,两个不同,最大项的,和,为,1,。即,M,i,+,M,j,=1 (i,j),全部,最大项之,积,为,0,，即,任意一组变量取值，,只有一个,最大项的值为,0,，其它最大项的值均为,1,最大项：,最大项的性质：,下一页,前一,页,退出,4,）,最小项与最大项的关系,相同编号的最小项和最大项存在互补关系,即,:,m,i,=,M,i,M,i,=,m,i,若干个最小项之和表示的表达式,F,，,其反函数,F,可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。,例：,m,1,m,3,m,5,m,7,=,=,下一页,前一,页,退出,2.5,逻辑函数的化简,函数的简化依据,逻辑电路所用门的数量少,每个门的输入端个数少,逻辑电路构成级数少,逻辑电路保证能可靠地工作,降低成本,提高电路的工作速度和可靠性,下一页,前一,页,退出,方法：,并项：利用,将两项并为一项，,且消去一个变量,B,消项：利用,A+AB=A,消去多余的项,AB,配项：利用,和互补律、,重叠律先增添项，再消去多余项,BC,消元：利用,消去多余变量,A,一、公式法的化简,下一页,前一,页,退出,例：试简化函数,解：,利用反演律,配项加,AB,消因律,消项,AB,下一页,前一,页,退出,k,图为矩形图。,n,个变量的函数,-k,图有,2,n,个小方格，分别对应,2,n,个最小项,；,k,图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，,1,、,卡诺图（,K,图）,三变量,K,图,二变量,K,图,四变量,K,图,A,B,1,0,1,0,m,0,m,1,m,2,m,3,A,BC,0,1,00,01,11,10,m,0,m,1,m,2,m,3,m,4,m,5,m,6,m,7,00,01,11,10,00,01,11,10,m,0,m,1,m,2,m,3,m,4,m,5,m,6,m,7,m,12,m,13,m,14,m,15,m,8,m,9,m,10,m,11,AB,CD,二、图形法的化简,K,图,的,特,点,k,图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，图中几何相邻的最小项在,逻辑上相邻。,有三种几何相邻：,邻接、相对（行列两端）和对称,00,01,11,10,00,01,11,10,m,0,m,1,m,2,m,3,m,4,m,5,m,6,m,7,m,12,m,13,m,14,m,15,m,8,m,9,m,10,m,11,AB,CD,四,变,量,K,图,2,、,卡诺图的特点,上下左右几何相邻的方格内，只有一个因子不同,下一页,前一,页,退出,1,、已知函数为最小项之和表达式,(,最大项之积表达式），存在的最小（大）项对应的格填,1,（,0,），其余格均填,0,（,1,）。,2,、,若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为,1,的那些最小项对应的方格填,1,，其余格均填,0,。,例子,3,、,函数为一个复杂的运算式，则先将其变成,与或式,(,或与式,),，再用直接法填写。,例子,3,、用卡诺图表示逻辑函数,下一页,前一,页,退出,例子,4,、用卡诺图化简逻辑函数,（,1,）画圈,相邻的,1,圈在一起，圈为矩形。,圈中,1,的个数为,2,n,个,圈越大越好,所有的,1,必须圈完,1,可以重复圈，但每个圈中至少有一个未被圈过的,1,下一页,前一,页,退出,（,2,）合并最小项,每个圈一项保留未变化的因子,01,00,01,11,10,00,11,10,CD,AB,例：,Y=AB+AC+BC+CD,AB,1,1,1,1,AC,1,1,1,1,BC,1,1,1,1,CD,1,1,1,1,Y=C+D+AB,最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式,下一页,前一,页,退出,01,00,01,11,10,00,11,10,CD,AB,例：,Y=A+D,Y=ABC+ABD+CD +ABC+ACD +ACD,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,例：,Y=ABC+AB+AD +C+BD,01,00,01,11,10,00,11,10,CD,AB,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,Y=C+D+B,下一页,前一,页,退出,01,00,01,11,10,00,11,10,CD,AB,例：,1,1,1,1,1,1,1,Y=ABC D+ABD+ACD +ABCD,Y=AC+BD,01,00,01,11,10,00,11,10,CD,AB,例：,Y=A B C D+A B C D+A B C D +A B C D+A B C D,+A B C D,1,1,1,1,1,1,Y=BC+BD,下一页,前一,页,退出,例：,Y=M(5,7,13,15),下一页,前一,页,退出,01,00,01,11,10,00,11,10,CD,AB,0,0,0,0,1 1 1 1,1 1,1 1,1 1 1 1,Y=b +d,A,B,5,、具有无关项的逻辑函数的化简,（,1,）约束项,约束,：,对输入变量所加的限制，这组变量叫做具有约束的变量,例：,水塔中装有两个水位检测传感器，当水位高于传感器时，输出为,1,，否则为,0,，当水位高于,A,时，水位溢出报警器,Y1,输出为,1,，当水位低于,B,时，水位过低报警器,Y2,输出为,1,。,A,B,Y1,Y2,0 0,0 1,0 1,0 0,1 0,1 1,1 0,约束项：,不会出现的变量取值所对应的最小项,下一页,前一,页,退出,如果在输入变量的某些取值下，不管函数值是,0,还是,1,都不影响逻辑电路的功能；那末，在这些变量取值下，其值等于,1,的最小项称为任意项,.,约束项和任意项统称为无关项,.,（,2,）任意项,（,3,）无关项,（,4,）无关项的表示,无关项可用,d,(,）表示。,例：,d,(m,2,，,m,5,，,m,7,）,约束项也可表示为,m,2,m,5,m,7,0,下一页,前一,页,退出,或,d,（,m,2,+m,5,+m,7,）,A,B,（,6,）具有无关项的逻辑函数的化简,例：,水塔中装有两个水位检测传感器，当水位高于传感器时，输出为,1,，否则为,0,，当水位高于,A,时，水位溢出报警器,Y1,输出为,1,，当水位低于,B,时，水位过低报警器,Y2,输出为,1,。,A,B,Y1,Y2,0 0,0 1,0 1,0 0,1 0,1 1,1 0,在卡诺图和真值表中，无关项对用的取值用,（,）表示,A,B,1,0,1,0,A,B,1,0,1,0,Y1,Y2,0,0,1,1,0,0,Y1=A,Y2=B,可圈可不圈,例：,已知函数,：,求其最简与或式,01,00,01,11,10,00,11,10,CD,AB,解：,填函数的卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,化简,不考虑约束条件时：,考虑约束条件时：,01,00,01,11,10,00,11,10,CD,AB,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,下一页,前一,页,退出,作业,:,P59 2-4,P60,2-7,解：,01,00,01,11,10,00,11,10,CD,AB,图形法化简函数,下一页,前一,页,退出,用卡诺图表示,F,（,a,b,c,d,）,=,M,(5,7,13,15),0,0,0,0,1 1 1 1,1 1,1 1,1 1 1 1,例：,将,F(A,、,B,、,C,、,D),用卡诺图表示,解：,01,00,01,11,10,00,11,10,CD,AB,AB,1,1,1,1,1,1,B CD,1,1,ACD,ABC,1,1,AC,1,1,1,1,m14,m15,两次填,1,0,0,0,0,图形法化简函数,下一页,前一,页,退出,解：,01,00,01,11,10,00,11,10,CD,AB,图形法化简函数,下一页,前一,页,退出,0 0,0 0,1 1 1 1,1 1,0 0 0 0,用卡诺图表示,F,（,a,b,c,d,）,=(a+,b)(a,+c),1 1 1 1,例：图中给出输入变量,A,、,B,、,C,的真值表，填写函数的卡诺图,A,B,C,F,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,0,0,1,0,1,1,1,0,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0,0,A,BC,0,1,00,01,11,10,1,1,1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,1,0,图形法化简函数,下一页,前一,页,退出,例：,将,F(A,、,B,、,C,、,D),化为最简与非,与非式,解：,01,00,01,11,10,00,11,10,CD,AB,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,AC,AD,BC,BD,A B C,化简得：,最简与非,与非式为：,图形法化简函数,下一页,前一,页,退出,