离散2-5-商代数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,-吴扬扬-,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,-吴扬扬-,*,-吴扬扬-,1,主要内容：,商代数,定义,性质,:,同态三角关系,-吴扬扬-,2,7.4,商代数与积代数,1.,商代数,(1),定义：设,R,为代数系统,A=,上的同余关系，,称,A/R=,为,A,关于,R,的商代数。,其中：*,i,(a,1,R,a,ni,R,)=*,i,(a,1,a,ni,),R,例,1:,m,是,A=,上的同余关系，,A/,m,=,其中：,I/,m,=0,m,m-1,m,:i,m,j,m,I/,m,i,m,j,m,=i+j,m,:i,m,j,m,I/,m,i,m,j,m,=ij,m,若,m=2,则,A/,2,=,其中,:I/,2,=0,2,1,2,0,2,=,-4,-2,0,2,4,1,2,=,-3,-1,1,3,1,2,1,2,=1+1,2,=0,2,1,2,0,2,=10,2,=0,2,0 1,0 0 1,1 1 0,0 1,0 0 0,1 0 1,分析例,1,性质,1,证明,-吴扬扬-,3,7.4,商代数与积代数,1.,商代数,(2),同余关系是代数系统的定义域中的等价关系，并且,在代数系统的运算的作用下，能够保持“关系”。,若,a,k,R,=b,k,R,k=1,2,n,i,则,a,k,Rb,k,k=1,2,n,i,若,R,是同余关系,则,(*,i,(a,1,a,2,a,ni,)R(*,i,(b,1,b,2,b,ni,),*,i,(a,1,a,2,a,ni,),R,=*,i,(b,1,b,2,b,ni,),R,即,:,如果用与,a,k,等价的任何其它元素,b,k,代换,a,k,(1kn,i,),则所求的结果位于同一等价类之中。,分析,例,1,取,1,2,和,0,2,其他元素作为代表元，和运算不变,.,例,2:,考虑,I,上等价关系,(,非,A,的同余关系,)R:,i,jI,iRj iff|i|=|j|,同余关系能保证运算,*,i,与同余类的代表元素无关,(,良定的,).,-吴扬扬-,4,性质,:,定理,7.4.1:,设,R,为代数系统,A=,上的同余关系，,定义函数,f:S,S/R,aS,f(a)=a,R,则,f,是从,A,到商代数,A/R,的满同态映射，称为自然同态。,证明：,7.4,商代数与积代数,1.,商代数,(3),设,A/R=,为,A,关于,R,的商代数。,i1,n,设*,i,的阶为,n,i,a,1,a,n,i,S,f(*,i,(a,1,，,a,ni,)=*,i,(a,1,a,n,i,),R,=*,i,(a,1,R,a,n,i,R,),=*,i,(f(a,1,),f(a,n,i,),又,a,R,S/R,有,aS,使,f(a)=a,R,f,是满同态映射。,（,商代数运算定义,）,f,是,从,A,到商代数,A/R,同态映射,.,-吴扬扬-,5,定理,7.4.2:,设,h,为,A=,到,A=,同态映射,R,为,A,上,h,诱导的同余关系,(,定义为,:,x,yS,xRy iff h(x)=h(y),，,f,是从,A,到,A/R,的自然同态,(,aS,f(a)=a,R,),则,存在从,A/R,到,h(A),的同构映射,g,使,gof=h,。,7.4,商代数与积代数,1.,商代数,(4),S,A,h(S),S,A,S/R,A/R,h,R,f,g,分析,到,的,同态映射,h:IN,m,h(i)=i mod m,推论：设,h,为,A=,到,A=,的满同态映射，,R,为,A,上由,h,诱导的同余关系，,则,A/R,A,。,g(x,R,)=h(x),证双射,证同构,同态三角关系,-吴扬扬-,6,证明：定义,g:S/R,h(S),x,R,S/R,g(x,R,)=h(x),则,(1)G,是函数,(,每个同余类对应的,h(x),是唯一，与代表元无关,),。,a,R,b,R,S/R,若,a,R,=b,R,由等价类的性质得：,aRb,h(a)=h(b),(2)g,是单射的,a,R,b,R,S/R,如果,g(a,R,)=g(b,R,),则,h(a)=h(b),aRb(,由,R,的定义）,(3)g,是满射的,yh(S),h,是,A,到,A,的,同态映射,有,x,R,S/R,，使,g(x,R,)=h(x)=y,定理,证同构,7.4,商代数与积代数,1.,商代数,(5),a,R,=b,R,xS,使,h(x)=y,-吴扬扬-,7,g(*,i,(a,1,R,a,ni,R,),=g(*,i,(a,1,a,n,i,),R,),(4)g,关于*,i,和*,i,(i=1,n),保持运算,i1,n,设*,i,的阶为,n,i,a,1,R,a,ni,R,S/R,商代数运算的定义,=h(*,i,(a,1,a,n,i,),g,的定义,=*,i,(h(a,1,),h(a,ni,),h,是同态映射,=*,i,(g(a,1,R,),g(a,ni,R,),g,的定义,g,是从,A/R,到,h(A),的同构映射,且,xS,gof(x)=g(f(x),=g(x,R,),=h(x),故,gof=h,7.4,商代数与积代数,1.,商代数,(6),定理,-吴扬扬-,8,作业,:pp,.,156,1,