一些新的2-3混合水平的近似正交设计.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一些新的,2-3,混合水平的近似正交设计,陆璇 谢描,清华大学数学科学系,正交设计的优点,因子的主效应的估计之间是相互独立的。,有效性,(,D-,和,D,s,-,等),达到最大。,对于强度为,t,的正交设计，当投影到任一只包含,t,个因子的子模型时，构成完全试验的若干次重复。（保证任一包含,t,个因子的子模型可以完全分析。）,数据分析（参数估计、假设检验等）简单易行。,使用正交设计时遇到的问题,对试验次数的要求非常严格,某些正交设计是不饱和的,强度高于,2,的正交设计很少,混合水平的正交设计不多,以上问题限制了正交设计的实用价值,一个例子,考虑一个试验，要考察,7,个三水平因子，假定：,1,）所有的交互效应都不存在；,2,）受条件限制，最多只能作,15,次试验。,显然，正交设计的条件不满足。（最小的正交设计需要作,18,次试验。）,近似正交设计的提出是由于实践的需要。,近似正交设计的一些文献,J.C.Wang&C.F.J Wu(1992),Nearly Orthogonal Arrays with Mixed Levels and Small Runs,Nam-,Ky,Nguyen(1996),A Note on the Construction of Near-Orthogonal Arrays with Mixed Levels and Economic Run Size,Chang-Xing Ma&Kai-Tai Fang&,Erkki,Liski,(2000),A New Approach in Construction Orthogonal and Nearly Orthogonal Arrays“,Hong,Quan,Xu,(2002),An,Algorithom,for Constructing Orthogonal and Nearly Orthogonal Arrays with Mixed Levels and Small Runs“,Lu,Fang,Xu,and Yin(2002),“Balance Pattern and BP-optimal Designs”(HKBU Technical Report),近似正交设计应满足的性质,t-,投影性质,：对于,强度为,t,的,近似正交设计，当模型投影到任一个只包含,t,个因子的子模型时，包含一个完全试验。（,保证任一个包含,t,个因子的子模型是可以完全分析的,。）,近似正交性质,：对于强度为,t,的近似正交设计，任意,t,个因子之间在一个适当的度量下偏离正交性最少。,高的有效性,:,如,D,有效性。,其它性质,：如不正交列对的数目（用于存在不饱和正交设计的场合）。,强度为,t,的,近似正交设计：,NOA,(,n,2,k,3,l,t,),偏离正交性的度量,设计,:,D,(,n,2,k,3,l,),偏离强度,t,的正交性的度量,B,(,t,)：,任意,t,个因子之间的各种水平组合出现的次数偏离平均值的平均平方和。,B,(,t,),越小越好。,（一般性的定义见：,Lu,Fang,Xu,and Yin(2002),HKBU technical report）,例：一个,D,(6,2,2,3,1,),的,B,(2),B,12,(2)=6(1-1),2,=0,B,13,(2)=,2,(1-1),2,+2(2-1),2,+2(0-1),2,=4,B,23,(2)=,2,(1-6/4),2,+2(2-6/4),2,=1,B,(2)=,B,12,(2)+,B,13,(2),+,B,23,(2)/3=5/3,1,2,3,1,0,0,0,2,0,1,0,3,1,0,1,4,1,1,1,5,2,0,1,6,2,1,0,关于,B,(,t,),的一些理论结果,Lu,Fang,Xu,and Yin,得到了,B,(,t,),的两个下界,.,其中一个与设计的行之间的,Hamming,距离有关，称为“基于行的下界”。,当行之间的,Hamming,距离都相等时，对所有的,t,=1,2,B,(,t,),达到此下界。达到此下界的因子设计对应着一个可分解的平衡不完全区组设计,(,RBIBD)。,这类设计包括：饱和的正交设计，最优的超饱和设计。,类似的结果：,Lu,et al,(2003),JSPI,Fang,et al,(2000).（,在超饱和设计的构造方面）,关于,B,(,t,),的一些理论结果（续）,另一个下界是：当任意,t,个因子之间的各种水平组合出现的次数最多只相差,1,时，,B,(,t,),的值。此下界称为“基于列的下界”。,当此下界达到，同时设计满足,t-,投影性质（任意,t,个因子之间的各种水平组合至少出现一次）时，设计最接近于强度为,t,的正交设计，从而具有最高的有效性。,构造方法,基本算法,：最小化,B,(,t,)，,采用在设计构造中常用的“列,-,对”置换法。基本步骤如下：,Step 1：,产生一个初始设计,D,0，,Step 2：,选,D,0,中一列，当它去掉后,B,(,t,),减小幅度最大，,Step 3：,对此列中的元素作随机置换，使,B,(,t,),达到最小，记设计为,D,1，,Step 4：,对,D,1,重复,Step 2,3，,以上,4,步反复进行，直到无法改进，或迭代步达到指定值。,产生多个初始设计，重复以上过程，从中选择一个最理想的设计（达到或接近两个下界之一）。,构造方法（续）,保证所构造的设计具有,t-,投影性质是非常重要的。一般,t,=2,3。,当行数和列数（包括,2,水平因子数和,3,水平因子数）选择适当时，构造出的设计通常满足,t-,投影性质。,当行数和列数选择不适当时，经过大量的计算也得不到,t-,投影性质。此时要减少因子数，再计算。,还尝试了其它几种不同的算法。效果有好有坏。,例1：NOA(15,3,7,2),(,Table 14),任意两个因子处于最佳组合状态：所有水平组合各出现,1或2,次。,B,(2)=2（,达到基于列的下界）,当要考察,7,个三水平因子，而最多只能作,15,次试验时，可用此设计。,例2,：,NOA(36,2,5,3,3,3),(,Table 27),任意三列,(2-2-2,2-2,3,2-3-3,3-3-3),包含一个完全试验。（具有,3-,投影性质）,而一个强度为,3的2,5,3,3,正交设计至少需要,2,3,3,3,=216,次试验。,结论：要保证高维的投影性质，用近似正交设计可以大大节省试验成本,。,一些,NOA,的列表,NOA,(,n,2,k,3,1,2)：,n,=0(mod 6),n,6,.,取,n,=12,k,=9,8,7.(Table 1-6.,其中,k,=9,的有四个，具有不同的非正交对结构,.),NOA,(,n,2,k,3,l,2)：,l,2.,n,=0(mod 6),n,9,.,取,n,=12,(,k,l,)=(7,2),(6,2),(4,2),(4,3),(3,4),(1,5)(Table 7-12),n=18,(,k,l,)=(1,8)(Table 16).,NOA,(,n,3,l,2):,n,=0(mod 3),n,9,.,取,n,=12,l,=6 (Table 13),n=15,l,=8(Table 14),n=21,l,=10(Table 19),n=24,l,=11(Table 20).,一些,NOA,的列表（续）,NOA,(,n,2,k,3,1,3)：n=0(mod 6),n,12,.,当,n,=12，,存在一个唯一的,OA(12,2,3,3,1,3),取,n,=18,k,=9,(Table 17),n,=24,k,=10(Table 21),n,=30,k,=12(Table 23),n,=36,k,=16(Table 25).,NOA,(,n,2,k,3,2,3)：n=0(mod 6),n,18,.,取,n,=18,k,=4(Table 18),n,=24,k,=7(Table 22),n,=30,k,=8(Table 24),n,=36,k,=9(Table 26).,NOA,(,n,2,k,3,3,3)：,n,=0(mod 6),n,30,.,取,n,=30,k,=4(Table 25),n,=36,k,=5(Table 27).,NOA,(12,2,9,3,1,2),的比较,W-W,用不正交列对的数量来衡量偏离正交性的程度。以下是一些结果的比较。,设计,D,B,(2),不正交列对,W-W type I,0.87,4/5,11(2-2),W-W type II,0.91,1/11,5(2-3),Nguyen,0.93,32/55,8(2-2),Our Table 2,0.93,24/55,4(2-2),2(2-3),Our Table 3,0.90,28/55,6(2-2),1(2-3),Our Table 4,0.93,32/55,8(2-2),NOA,与,UD,的关系,UD,强调的是试验点在试验区域内散布的均匀性。,NOA,强调的是因子水平组合出现的均衡性。二者之间有一定的联系。,在,UD,中，有一类设计称为,U-,型设计，要求试验点只出现在格子点上。,两个常用的均匀性度量：,CD,2,和,WD,2,.,Fang,Lu and Winker(2003),证明了：对于,2,水平的,U-,型设计，,CD,2,2,可以表示为,B,(1),B,(,k,),的凸函数；对于,2或3,水平的,U-,型设计，,WD,2,2,可以表示为,B,(1),B,(,k,),的凸函数,.,NOA,与,UD,的关系（续）,根据上述关系，得到了：对于,2,水平的,U-,型设计，,CD,2,2,的两个下界；对于,2或3,水平的,U-,型设计，,WD,2,2,的两个下界。,用上述的下界作为,bench mark，,最优化,CD,2,2,或,WD,2,2,，,得到了一批具有均匀性的,2或3,水平的,U-,型设计。,我们的,NOA,设计可以看成是具有均匀性的,U-,型设计，,同时还具有指定的投影性质,。,NOA,设计的分析,我们构造的,NOA,绝大部分是饱和或接近饱和的，个别是轻微超饱和的（超,1,个自由度）。,对于饱和或接近饱和的,NOA,的分析，可以由一阶模型出发，用基于最小二乘的方法进行分析。,如果只有,t,个有效因子，且,NOA,具有强度,t,，,则可以对此,t,个有效因子进一步作全面分析。,如果,NOA,的强度,t,t,，,则可以对此,t,个有效因子作部分分析（例如，去掉可以忽略的交互效应或平方效应等）。,Thank You!,