线性代数 向量.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,定义,1,分量全为复数的向量称为,复向量,.,分量全为实数的向量称为,实向量,，,一、维向量的概念,例如,n,维实向量,n,维复向量,第,1,个分量,第,n,个分量,第,2,个分量,二、维向量的表示方法,维向量写成一行，称为,行向量,，也就是行,矩阵，通常用等表示，如：,维向量写成一列，称为,列向量,，也就是列,矩阵，通常用等表示，如：,注意,行向量和列向量总被看作是,两个不同的,向量,；,行向量和列向量都按照,矩阵的运算法则,进行运算；,当没有明确说明是行向量还是列向量时，,都当作,列向量,.,向量,解析几何,线性代数,既有大小又有方向的量,有次序的实数组成的数组,几何形象：可随意,平行移动的有向线段,代数形象：向量的,坐标表示式,坐标系,三、向量空间,空间,解析几何,线性代数,点空间,：点的集合,向量空间,：向量的集合,坐标系,代数形象：向量空,间中的平面,几何形象：空间,直线、曲线、空间,平面或曲面,一一对应,叫做,维向量空间,时，维向量没有直观的几何形象,叫做 维向量空间 中的,维超平面,确定飞机的状态，需,要以下,6,个参数：,飞机重心在空间的位置参数,P(x,y,z),机身的水平转角,机身的仰角,机翼的转角,所以，确定飞机的状态，需用,6,维向量,维向量的实际意义,课堂讨论,在日常工作、学习和生活中，有许多问题都,需要用向量来进行描述，请同学们举例说明,四 有限个向量的向量组,1,、矩阵的列向量组合行向量组都是只含有有限个向量的向量组；反之，一个含有有限个向量的向量组总是可以构成一个矩阵,.,m,个,n,维列向量组成的向量组,A,构成 矩阵：,m,个,n,维行向量组成的向量组,B,构成 矩阵：,总之，含有限个向量的有序,向量可以与矩阵对应。,五 向量组的线性组合,定义：给定向量组 ，对于任何一组实数 ，表达式：,称为向量组,A,的一个,线性组合,，称为这个线性组合的系数。,给定向量组 和向量,b,，如果存在一组数 ，使得：,则称向量,B,能由向量组,A,线性表示。,定理,1,向量,b,能由向量组,线性表示的充要条件是矩阵,的秩等于矩阵 的秩。,为了理解和证明定理,1,，引入概念,线性表示,和,向量组等价,.,向量组,B,能由向量组,A,线性表示,，如果向量组,B,中的每个向量都能够由向量组,A,线性表示。,向量组,A,和向量组,B,等价,，如果向量组,A,与向量组,B,能相互线性表示。,证明：,把向量组,A,和,B,所构成的矩阵依次记作,及 ，若,B,组中的每个向量 ，存在数,使得,从而有,这里，,称为这一线性表示的系数矩阵,.,由此，若 ，则矩阵 的列向量组能由矩阵,A,的列向量组线性表示，,B,为这一表示的系数矩阵：,同时,C,的行向量组能由,B,的行向量组线性表示，,A,为这一表示的系数矩阵：,设矩阵,A,与,B,行等价，即矩阵,A,经初等行变换变成矩阵,B,，则,B,的每个行向量都是,A,的行向量组的线性组合，即,B,的行向量组都能由,A,的行向量组线性表示。由初等变换可逆，知矩阵,B,也可以经过初等行变换为,A,，从而,A,的行向量组也能由,B,的行向量组线性表示。,从而，,A,的行向量组与,B,的行向量组等价。,定理,2,向量组 能由向量组,线性表示的充要条件是：,推论：向量组,与向量组,等价的充要条件是：,其中,A,和,B,是向量组,A,和,B,所构成的矩阵。,例,1,设,证明：向量,b,能由向量组 线性表示并求出表示式。,解：根据定理,1,，要证矩阵 与矩阵 的秩相等,.,为此把,B,化成,最简形,可见,向量,b,能由向量组 线性表示。,于是，由上述行最简形，可得方程,的通解为,从而得表示式,其中,c,可任意取值。,向量的表示方法：行向量与列向量；,向量空间：,解析几何与线性代数中向量的联系与区别、,向量空间的概念；,向量在生产实践与科学研究中的广泛应用,四、小结,维向量的概念，实向量、复向量；,若一个本科学生大学阶段共修,36,门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用,思考题,如果我们还需要考察其它指标，,比如平均成绩、总学分等，维数还将增加,思考题解答,答,36,维的,