《28.1 锐角三角函数》.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部,10,米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为,30,度，并已知目高为,1,米然后他很快就算出旗杆的高度了,1,米,10,米,?,你想知道小明怎样算出的吗？,【,知识与技能,】,1,了解三角函数的概念，理解正弦、余弦、正切的概念；,2,掌握在直角三角形之中，锐角三角函数与两边之比的对应关系；,3,掌握锐角三角函数的概念并会求一个锐角的三角函数值,教学目标,【,过程与方法,】,1,通过经历三角函数概念的形成过程,丰富自己的数学活动经验；,2,渗透数形结合的数学思想方法,【,情感态度与价值观,】,1,感受数学来源于生活又应用于生活，体验数学的生活化经历；,2,培养主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神,重点：,锐角三角函数的概念,难点：,锐角三角函数概念的形成,教学重难点,某商场有一自动扶梯，其倾斜角为,30,，高为,7m,，扶梯的长度是多少,?,B,A,C,30,7m,实际问题,解,:,这个问题可以归结为，在,RtABC,中，,C=90,，,A=30,，,BC=7,m,，求,AB,在直角三角形中，由于,A=30,所以,可得,AB=2BC=7,2,14,m,所以，扶梯的长度是,14,m,在上面的问题中，如果高为,10m,，那么需要准备多长的水管？,解,:,这个问题可以归结为，在,RtABC,中，,C=90,，,A=30,，,BC=10m,，求,AB,在直角三角形中，由于,A=30,所以,想一想,可得,AB=2BC=10,2,20m,所以,扶梯的长度是,20m,已知等腰直角三角形,ABC,，,C=90,，计算,A,的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？,A,B,C,解：因为,ABC,是等腰直角三角形，,C=90,，所以,A=45,由勾股定理得,A,B,C,即直角三角形中，当一个角等于,45,时，这个角的对边与斜边的比都等于 ,因此,在,RtABC,中,C,90,当,A,30,时,当,A,45,时,固定值,固定值,对于锐角,A,的每一个确定的值，其对边与斜边的比值也是惟一确定的 吗？,所以,_,_,RtAB,1,C,1,RtAB,2,C,2,RtAB,3,C,3,所以，在,RtABC,中，在直角三角形中，当锐角,A,的度数一定时，不管三角形的大小如何，,A,的对边与斜边的比是一个固定值,观察右图中的,RtAB,1,C,1,、,RtAB,2,C,2,和,RtAB,3,C,3,，,A,的对边与斜边有什么关系？,直角三角形,ABC,可以简记为,RtABC,，直角,C,所对的边,AB,称为斜边，用,c,表示，另两条直角边分别叫,A,的对边与邻边,，用,a,、,b,表示,C,A,B,斜边,c,邻边,对边,a,b,C,A,B,C,A,B,在,RtABC,中，,C=90,，我们把锐角,A,的对边与斜边的比叫做,A,的,正弦,（,sine,），记作,sinA,，即,一个角的正弦表示,定值,、,比值,、,正值,知识要点,正弦,【,例,1】,如图，在,RtABC,中，,C=90,，求,sinA,和,sinB,的值,A,B,C,A,B,C,6,8,(1),(2),A,B,C,6,8,(1),解,:,设如图所示,在,RtABC,中,因此,A,B,C,(2),解,:,设如图所示,在,RtABC,中,因此,如图，求,sinA,和,sinB,的值,A,B,C,A,B,C,10,(1),(2),26,9,40,小练习,对于锐角,A,的每一个确定的值，其邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的吗？,想一想,RtAB,1,C,1,RtAB,2,C,2,RtAB,3,C,3,所以,_,_,观察右图中的,RtAB,1,C,1,、,RtAB,2,C,2,和,RtAB,3,C,3,，,A,的邻边与斜边、,A,的对边与邻边之间有什么关系？,_,_,在,RtABC,中，在直角三角形中，当锐角,A,的度数一定时，不管三角形的大小如何，,A,的,A,的邻边与斜边的比、,A,的对边与邻边的比都是一个固定值,在,RtABC,中，在直角三角形中，当锐角,A,的度数一定时，不管三角形的大小如何，,A,的对边边与斜边的比、,A,的邻边与斜边的比、,A,的对边与邻边的,比都是一个固定值,归纳,在,RtABC,中，,C=90,，我们把锐角,A,的邻边与斜边的比叫做,A,的,余弦,（,cosine,），记作,cosA,，即,一个角的余弦表示,定值,、,比值,、,正值,知识要点,余弦,在,RtABC,中，,C=90,，我们把锐角,A,的对边与邻边的比叫做,A,的,正切,（,tangent,），记作,tanA,，即,一个角的余切表示,定值、比值、正值,知识要点,正切,在,RtABC,中，,C=90,，我们把锐角,A,的邻边与对边的比叫做,A,的余切，记作,cotA,，即,一个角的余切表示,定值、比值、正值,知识要点,余切,tan30=,?,A,B,C,锐角,A,的正切值可以等于,1,吗？为什么？,可以大于,1,吗？,tan 45=,tan 60=,?,?,锐角三角函数,锐角,A,的正弦、余弦、正切、余切都叫做,A,的,锐角三角函数,（,trigonometric function of acute angle,）,知识要点,1,sinA,、,cosA,、,tanA,、,cotA,是在,直角三角形,中定义的，,A,是,锐角,(,注意,数形结合,，构造直角三角形,),2,sinA,、,cosA,、,tanA,、,cotA,是一个,比值,（,数值,）,3,sinA,、,cosA,、,tanA,、,cotA,的大小只与,A,的大小,有关，而与,直角三角形的边长,无关,归纳,【,例,2】,如图，在,RtABC,中，,C=90,，,BC=24,，,sinA,=,，求,cosA,、,tanB,的值,A,B,C,24,解,：,又,A,B,C,24,分别求出下列直角三角形中的锐角的正弦值、余弦值和正切值、余切值,A,B,C,（,1,）,A,B,C,5,（,2,）,25,7,小练习,如图,在,RtABC,中,锐角,A,的邻边和斜边同时扩大,100,倍，,tanA,的值（）,A,扩大,100,倍,B,缩小,100,倍,C,不变,D,不能确定,A,B,C,C,如图,观察一副三角板,:,它们其中有几个锐角,?,分别是多少度,?,分别求出这几个锐角的三角函数,A,B,C,30,1,2,sin30=,cos30=,tan30=,cot30=,A,B,C,45,1,1,sin45 =,cos45=,tan45=,cot45=,1,1,A,C,B,60,1,2,sin60=,cos60=,tan60=,cot60=,30,45,60,sin,cos,tan,cot,特殊角的三角函数值表,自变量,的取值范围是,：,各因变量的取值范围是：,0,90,正弦,0,sin,1,余弦,0,cos,1,正切,tan,0,余切,cot,0,根据上面表格，思考以下问题：,各个函数值随着自变量,的增大而怎样变化？,tan,与,cot,有怎样的关系？,sin,、,tan,随着自变量,的增大而增大,cos,、,cot,随着自变量,的增大而减小,tan,cot,=1,当两角互余时，这两角的正弦和余弦有怎样的关系？正切和余切呢？,sin,=,cos,（,90,）,cos,=,sin,（,90,）,tan,=,cot,（,90,）,cot,=,tan,（,90,）,sin,2,+,cos,2,=1,【,例,3】,求下列各式的值：,解：,(1),sin,60,+,cos,45,;,(2),sin,2,30,+,cos,2,45,+,tan,60,解,:(1),sin,30,+cos,45,(2),sin,2,60,+,cos,2,60,-,cot,45,小练习,如果知道一个角的三角函数的数值，你能求出这个角是多少度吗？,(1),已知,，,则,A,_;,(2),已知 ，则,B,_;,(3),已知 ，则,C,_;,(4),已知 ，则,D,_;,30,60,60,30,由锐角的三角函数值反求锐角,A,=,A=,A,=,A,=,A,=,A,=,A,=,A,=,A,=,【,例,4】,如图,:,一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为,2.5m,，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为,60,，且两边摆动的角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差,(,结果精确到,0.01m),最高位置与最低位置的高度差约为,0.34m,AOD OD=2.5m,解,:,如图,根据题意可知,AC=2.5-2.1650.34(m),如图，在,RtABC,中,C,=90,A,，,B,，,C,的对边分别是,a,，,b,，,c,求证,:,sin,2,A,+,cos,2,A,=1,证明：,小练习,b,A,B,C,a,c,如图,当登山缆车的吊箱经过点,A,到达点,B,时，它走过了,200,m,已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为,=17,，那么缆车垂直上升的距离是多少,?,解：在,RtABC,中,C,=90,BC,=,ABsin,17,你知道,sin,17,等于多少吗,?,用科学计算器求锐角的三角函数值：,sin,cos,tan,用计算器求,sin,18,，,cos,53,，,tan,72,cot,65,和,sin,72,38,25,的三角函数,按键的顺序,显示结果,sin,18,cos,53,tan,72,cot,62,sin,72,38,25,sin,1,8,0.309 016 994,cos,5,3,0.601 815 023,tan,7,2,3.732 050 808,sin,7,2,3,8,2,5,0.954 450 312,=,=,=,=,cot,6,2,=,0.531 709 432,用计算器求三角函数值时,结果一般有,10,个数位本书约定,如无特别声明,计算结果一般精确到万分位,所以我们可以用计算器求得缆车上升的垂直距离：,BC,=,ABsin,172000.292458.48,（,m,）,如图，为了方便行人，市政府在,10,m,高的天桥两端修建了,40,m,长的斜道这条斜道的倾斜角是多少,?,如图，在,RtABC,中,A,是多少度,?,A,B,C,40m,10m,如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤在接受放射性治疗时,为了最大限度地保证疗效,并且防止伤害器官,射线必需从侧面照射肿瘤已知肿瘤在皮下,6.3cm,的,A,处,射线从肿瘤右侧,9.8cm,的,B,处进入身体，求射线的入射角度,解,:,如图，在,Rt,ABC,中，,AC,=6.3cm,，,BC,=9.8cm,B32,4413,因此，射线的入射角度约为,32,4413,小练习,已知三角函数值求角度,要用到三个键,和第二功能键 和 ,sin,cos,tan,按键的顺序,显示结果,sinA,=0.9816,cos,A,=0.8607,tan,A,=0.1890,tan,A,=56.78,shift,sin,-1,0,sin,-1,=0.9816,=78.99184039,shift,cos,-1,0,cos,-1,=0.8607,=30.60473007,shift,tan,-1,0,tan,-1,=0.1890,=10.70265749,shift,tan,-1,5,6,7,8,tan,-1,=56.78,=88.99102049,9,8,1,=,sin,-1,cos,-1,tan,-1,shift,8,1,6,=,6,0,7,=,8,9,0,=,上表的显示结果是以度为单位的,再按 键即可显示以,“,度,分,秒,”,为单位的结果,dms,根据下列条件计算器求,的大小,:,(1)tan,=2.9888;,(2)sin,=0.3957;,(3)cos,=0.7850;,(4)tan,=0.8972,小练习,71.5,23.3,38.3,41.9,1,锐角,A,的,正弦、余弦、正切、余切函数,，统称为 锐角,A,的三角函数,2,30,、,45,、,60,角的三角函数值,3,锐角,的三角函数值的取值范围,4,三角函数的增减性：,正弦,0,sin,1,正切,tan,0,余弦,0,cos,1,余切,cot,0,sin,、,tan,随着自变量,的增大而增大,cos,、,cot,随着自变量,的增大而减小,课堂小结,tan,cot,（,90-,）,=1,sin,2,+,cos,2,（,90-,）,=1,sin,=,cos,（,90-,）,cos,=,sin,（,90,-,）,tan,=,cot,（,90,-,）,cot,=,tan,（,90,-,）,5,三角函数的几个重要关系式,1,当,A,为锐角，且,tanA,的值大于,时，,A,（）,A,小于,30 B,大于,30,C,小于,60 D,大于,60,D,随堂练习,2,当,A,为锐角，且,cotA,的值小于 时，,A,（）,A,小于,30 B,大于,30,C,小于,60 D,大于,60,D,当,A,为锐角，且,cosA,=,那么（）,A,0,A,30 B,30,A,45,C,45,A,60 D,60,A,90,D,4,当锐角,A45,时，,sinA,的值（）,A,小于,B,大于,C,小于,D,大于,B,A,小于,B,大于,C,小于,D,大于,5,当锐角,A30,时，,cotA,的值（）,C,6,计算：,(1)2,sin,30+3,cos,30+,cot,45,(2),cos,2,30+,tan,60,sin,30,0,3cosA=,7,已知,3tanA =0,求锐角,A,的度数,解：,3tanA,=0,cosA,=,A=60,8,求出如图所示的,RtABC,中,A,的四个三角函数值,解,：,sinA,=,cosA,=,tanA,=,cotA,=,17,15,8,C,B,A,9,如图，在直角坐标平面中，,P,是第一象限的点，其坐标是（,3,，,y,），且,O,P,与,x,轴的正半轴的夹角,a,的正切值是 ，求：,（,1,）,y,的值；（,2,）,a,的正弦值,（,1,）,y,=4,（,2,）,sin,a,=,O,x,y,P,(3,，,y,),（,1,）,sinA,=,，,cosA,=,，,tanA,=,，,sinB,=,，,cosA,=,，,tanB,=,，,2.,确定,.,因为一个锐角确定的直角三角形都相似,.,习题答案,