线性代数—逆矩阵.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节,逆矩阵,1,则矩阵 称为,A,的逆矩阵.,在数的运算中，,当数 时，,有,其中 为,a,的倒数，,（或称,a,的逆）；,单位阵,E,类似于1在数的乘法运算中的地位.,那么，对于矩阵,A,，,如果存在一个矩阵 ,使得,对方阵,有,AE=EA=A,2,定义,例,设,设,A,是,n,阶方阵，如果存在,n,阶方阵，使得,则称,A,为可逆矩阵，而,B,称为,A,的逆矩阵，记为,说明,(1)只有方阵才可能可逆;,(2)逆阵若存在,则必唯一.,证,设,B,和,C,都是,A,的可逆矩阵，则,3,问题:,(1)什么条件下,A,才可逆?,(2)如果可逆,如何求?,若,A,可逆,两边取行列式,若,则称,A,是,非奇异,的(或,非退化,的);,否则称,A,为奇异的(或退化的)。,是,A,可逆的必要条件.,下面说明这个条件也是充分的.,4,定义,性质,证明,为,A,的,伴随矩阵,.,代数余子式,称矩阵,回忆行列式按行展开公式:,5,类似有,6,矩阵,A,是可逆的充分必要条件是,A,非奇异。当,A,可逆时，有,定理,证,充分性:,由,若,则,推论,证,7,求方阵 的逆矩阵.,例1,逆矩阵的求法,解,8,同理可求得,对于3阶以上的矩阵，用,伴随矩阵法,求逆矩阵很麻烦，以后将给出另一种求法-,初等变换法,。,9,例2,故,A,可逆的充分必要条件是,且,例如，,10,例3,对角阵,可逆的充分必要,条件是,且,例如，,11,例4,解,(1),方程两端左乘矩阵,12,13,例5,解,14,例6,证,15,逆矩阵的运算性质,证,证,16,注意,A,，,B,可逆，,A,+,B,不一定可逆，,即使可逆，一般,可逆阵,A,若对称(反对称),，,则 也对称(反对称),.,对称;,反对称.,对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立。,证,17,线性方程组,写成矩阵形式,其中,此即克莱姆法则。,18,例7,证,所以,19,例8,证,20,例9,解,21,练习：,P69,习题二,补充题,22,补充题,证,23,