第八章多元函数微分学8.1 多元函数的极限与连续.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第八章 多元函数微分学,可以用一次的想法是诀窍，如果它可以用两次以上，那他就成为一种方法了。波利亚（美国数学家）,缺乏必要的数学知识，就无法理解最简单的自然现象；若要深入洞察自然奥秘，那就非得同时研究数学方法不可。杨格（美国数学家）,主题词：多元函数、极限、连续、偏导数、全微分、方向导数、梯度、曲面的切平面与法线、曲线的切线与法平面、拉格朗日乘数法,第八章 多元函数微分学,8.1 多元函数的极限与连续,8.2 偏导数,8.3 全微分,8.4 多元复合函数微分法,8.5 隐函数的微分法,8.6 多元函数微分法在几何上的应用,8.8 多元函数的极值,8.9 最小二乘法,选读：偏微分在经济分析中的应用 数学家：雅科比,8.1.1 平面点集的知识,（1）邻域,8.1 多元函数的极限与连续,x,y,O,(x,y),x,y,（2）区域,例如，,即为开集,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,是有界闭区域；,是无界开区域,例如，,（3）聚点,(,a),内点一定是聚点；,说明：,(,b),边界点可能是聚点；,例,(0,0)既是,边界点也是聚点,(,c),点集,E,的聚点可以属于,E，,也可以不属于,E,边界上的点都是聚点也都属于集合,n,维空间中邻域、区域等概念,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,邻域：,8.1.2 多元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,例,1,求 的定义域,解,所求定义域为,二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,又例如,球面,图形如右图.,例如,可确定两个二元函数,对于三元（及其多于三个自变量）函数,没有明显的几何意义。,8.1.3 多元函数的极限,说明：,（2）定义中 的方式是任意的；,（3）二元函数的极限也叫二重极限,（4）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例2,求证,证,当 时，,原结论成立,例3,求极限,解,其中,证,例5,证明 不存在,取,其值随,k,的不同而变化，,故极限不存在,不存在.,观察,播放,确定极限,不存在,的方法：,利用点函数的形式有,8.1.4 多元函数的连续性,定义3,结论,：多元初等函数在其定义域内的任一区域上是连续的。,例6,讨论函数,在(0,0)处的连续性,解,取,故函数在(0,0)处连续.,当 时,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域,D,上的多元连续函数，在,D,上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域,D,上的多元连续函数，如果在,D,上取得两个不同的函数值，则它在,D,上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,（3）一致连续性定理,在有界闭区域,D,上的多元连续函数必定在,D,上一致连续,例,解,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（,注意趋近方式的,任意性,）,小 结,多元函数的定义,思考题,思考题解答,不能.,例,取,但是 不存在.,原因为若取,练 习 题,练习题答案,不存在.,观察,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,