第五讲 Matlab优化工具箱简介.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,五讲,Matlab,优化工具箱简介,-optimization,toobox,1.,线性优化,2.,非线性优化,3.,极小化极大,（,Minmax,）,问题,4.,曲线拟合与插值,线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题，,MATLAB7.0,解决的线性规划问题的标准形式为,min,sub.to,：,其中,f,、,x,、,b,、,beq,、,lb,、,ub,为向量，,A,、,Aeq,为矩阵,.,其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式,.,在,MATLAB5.x,以上版中，线性规划问题,Linear Programming,已用函数,linprog,取代了,MATLAB5.x,版中的,lp,函数,.,当然，由于版本的向下兼容性，一般说来，低版本中的函数在,7.0,版中仍可使用,.,5.1,线性优化,函数,linprog,格式,x=,linprog(f,A,b,),%,求,min f *x,sub.to,线性规划的最优解,.,x=,linprog(f,A,b,Aeq,beq,),%,等式约束，若没有不等式约束，则,A=,，,b=.,x=,linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,).,%,指定,x,的范围，若没有等式约束，则,Aeq,=,，,beq,=.,x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0),%,设置初值,x0.,x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options),%options,为指定的优化参数,.,x,fval,=,linprog,(),%,返回目标函数最优值，即,fval,=f *x.,x,lambda,exitflag,=,linprog,(),%lambda,为解,x,的,Lagrange,乘子,.,x,lambda,fval,exitflag,=,linprog,(),%,exitflag,为终止迭代的错误条件,.,x,fval,lambda,exitflag,output,=,linprog,(),%output,为关于优化的一些信息,.,说明,:,若,exitflag,0,表示函数收敛于解,x,，,exitflag,=0,表示超过函数估值或迭代的最大次数，,exitflag,f=-5;-4;-6;%,写成行向量亦可！,A=1-1 1;3 2 4;3 2 0;,b=20;42;30;,lb=zeros(3,1);,x,fval,exitflag,output,lambda,=,linprog(f,A,b,lb,),结果为：,x=%,最优解,0.0000,15.0000,3.0000,fval,=%,最优值,-78.0000,exitflag,=%,收敛,1,output=,iterations:6%,迭代次数,cgiterations,:0,algorithm:,lipsol,%,所使用规则,lambda=,ineqlin,:3x1 double,eqlin,:0 x1 double,upper:3x1 double,lower:3x1 double,lambda.ineqlin,ans,=,0.0000,1.5000,0.5000,lambda.lower,ans,=,1.0000,0.0000,0.0000,表明：不等约束条件,2,和,3,以及第,1,个下界是有效的,.,请写出下面线性规划的,Matlab,程序,.,c=-0.4-0.28-0.32-0.72-0.64-0.6;,A=0.01 0.01,0.01,0.03,0.03,0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08;,b=850;700;100;900;,Aeq,=;,beq,=;,vlb,=0;0;0;0;0;0;,vub,=;,x,fval,=,linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,),MATLAB,求解优化问题的主要函数,优化函数的输入变量,优化函数的输出变量,5.2,非线性优化,5.2.1,有约束的一元函数的最小值,单变量函数求最小值的标准形式为,sub.to,函数,fminbnd,格式,x=fminbnd(fun,x1,x2)%,返回自变量,x,在区间上函数,fun,取最小值时,x,值，,fun,为目标函数的表达式字符串或,MATLAB,自定义函数的函数柄,.,x=fminbnd(fun,x1,x2,options),x,fval,=,fminbnd,(),x,fval,exitflag,=,fminbnd,(),x,fval,exitflag,output,=,fminbnd,(),例,5-2,计算下面函数在区间,(0,，,1),内的最小值,.,解：,x,fval,exitflag,output,=fminbnd(x3+cos(x)+x*log(x)/exp(x),0,1),x=,0.5223,fval,=,0.3974,exitflag,=,1,output=,iterations:9,funcCount,:9,algorithm:golden section search,parabolic interpolation,例,5-3,在,0,，,5,上求下面函数的最小值解：,先自定义函数：在,MATLAB,编辑器中建立,M,文件为：,function f=,myfun(x,),f=(x-3).2-1;,保存为,myfun.m,，然后在命令窗口键入命令：,x=fminbnd(myfun,0,5),则结果显示为：,x=,3,5.2.2,无约束多元函数最小值,多元函数最小值的标准形式为,其中：,x,为向量,.,命令 利用函数,fminsearch,求无约束多元函数最小值,.,函数,fminsearch,格式,x=fminsearch(fun,x0)%x0,为初始点，,fun,为目标函数的表达式字符串或,MATLAB,自定义函数的函数柄,.,x=fminsearch(fun,x0,options)%options,查,optimset,.,x,fval,=,fminsearch,()%,最优点的函数值,.,x,fval,exitflag,=,fminsearch,()%,exitflag,与单变量情形一致,.,x,fval,exitflag,output,=,fminsearch,()%output,与单变量情形一致,.,例,5-4,求 的最小值点,.,解：,X=fminsearch(2*x(1)3+4*x(1)*x(2)3-10*x(1)*x(2)+x(2)2,0,0),结果为,X=,1.0016 0.8335,或在,MATLAB,编辑器中建立函数文件,.,function f=,myfun(x,),f=2*x(1)3+4*x(1)*x(2)3-10*x(1)*x(2)+x(2)2;,保存为,myfun.m,，在命令窗口键入,X=,fminsearch,(,myfun,0,0),或,X=,fminsearch(myfun,0,0),结果为：,X=,1.0016 0.8335,5.2.3,有约束的多元函数最小值,非线性有约束的多元函数的标准形式为：,sub.to,其中：,x,、,b,、,beq,、,lb,、,ub,是向量，,A,、,Aeq,为矩阵，,C(x,),、,Ceq(x,),是返回向量的函数，,f(x,),为目标函数，,f(x,),、,C(x,),、,Ceq(x,),可以是非线性函数,.,在,MATLAB5.x,中，它的求解由函数,constr,实现,.,函数,fmincon,格式,x=fmincon(fun,x0,A,b),x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq),x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub),x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon),x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options),x,fval,=,fmincon,(),x,fval,exitflag,=,fmincon,(),x,fval,exitflag,output,=,fmincon,(),x,fval,exitflag,output,lambda,=,fmincon,(),x,fval,exitflag,output,lambda,grad,=,fmincon,(),x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian,=,fmincon,(),参数说明：,fun,为目标函数，它可用前面的方法定义；,nonlcon,的作用是通过接受的向量,x,来计算非线性不等约束和等式约束分别在,x,处的估计,C,和,Ceq,，通过指定函数柄来使用，如：,x=fmincon(myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,mycon),，先建立非线性约束函数，并保存为,mycon.m,：,function,C,Ceq,=,mycon(x,),C=%,计算,x,处的非线性不等约束的函数值,.,Ceq,=%,计算,x,处的非线性等式约束的函数值,.,lambda,是,Lagrange,乘子，它体现哪一个约束有效,.,output,输出优化信息；,grad,表示目标函数在,x,处的梯度；,hessian,表示目标函数在,x,处的,Hessian,值,.,例,5-5,求下面问题在初始点（,0,，,1,）处的最优解,min,sub.to,解：约束条件的标准形式为：,sub.to,先在,MATLAB,编辑器中建立,非线性约束函数,文件：,function c,ceq,=,mycon,(x),c=(x(1)-1)2-x(2);,ceq,=;%,无等式约束,.,然后，在命令窗口键入如下命令或建立,M,文件：,fun=x(1)2+x(2)2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2);,%,目标函数,.,x0=0 1;,A=-2 3;,%,线性不等式约束,.,b=6;,Aeq,=;,%,无线性等式约束,.,beq,=;,lb=;,%x,没有下、上界,.,ub,=;,x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian,=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,mycon),则结果为,x=3 4,fval,=-13,exitflag,=1,%,解收敛,.,output=,iterations:2,funcCount,:9,stepsize,:1,algorithm:medium-scale:SQP,Quasi-Newton,line-search,firstorderopt,:,cgiterations,:,lambda=,lower:2x1 double,%x,下界有效情况，通过,lambda.lower,可查看,.,upper:2x1 double,%x,上界有效情况，为,0,表示约束无效,.,eqlin,:0 x1 double,%,线性等式约束有效情况，不为,0,表示约束有效,.,eqnonlin,:0 x1 double,%,非线性等式约束有效情况,.,ineqlin,:2.5081e-008,%,线性不等式约束有效情况,.,neqnonlin,:6.1938e-008,%,非线性不等式约束有效情况,.,grad=,%,目标函数在最小值点的梯度,.,1.0e-006*-0.1776,hessian,=,%,目标函数在最小值点的,Hessian,值,.,1.0000 -0.0000,-0.0000 1.0000,5.2.4,二次规划问题,二次规划问题（,quadratic programming,）的标准形式为：,sub.to,其中，,H,、,A,、,Aeq,为矩阵，,f,、,b,、,beq,、,lb,、,ub,、,x,为向量,其它形式的二次规划问题都可转化为标准形式,.,MATLAB5.x,版中的,qp,函数已被,6.0,版中的函数,quadprog,取代。,函数,quadprog,格式,x=,quadprog(H,f,A,b,)%,其中,H,f,A,b,为标准形中的参数，,x,为目标函数的最小值,.,x=,quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,)%,Aeq,beq,满足等约束条件,.,x=,quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,)%,lb,ub,分别为解,x,的下界与上界,.,x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)%x0,为设置的初值,x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)%options,为指定的优化参数,.,x,fval,=,quadprog,()%,fval,为目标函数最优值,.,x,fval,exitflag,=,quadprog,()%,exitflag,与线性规划中参数意义相同,.,x,fval,exitflag,output,=,quadprog,()%output,与线性规划中参数意义相同,.,x,fval,exitflag,output,lambda,=,quadprog,()%lambda,与线性规划中参数意义相同,.,例,5-6,求二次规划的最优解,max f(x,1,x,2,)=x,1,x,2,+3,sub.to x,1,+x,2,-2=0,解：化成标准形式：,sub.to,x,1,+x,2,=2,在,Matlab,中实现如下：,H=0,-1;-1,0;,f=0;0;,Aeq,=1 1;,b=2;,x,fval,exitflag,output,lambda,=,quadprog(H,f,Aeq,b,),结果为：,x=,1.0000,1.0000,fval,=-1.0000,exitflag,=4,output=,iterations:1,algorithm:large-scale:projective preconditioned conjugate gradients,f,irstorderopt,:0,cgiterations,:1,message:Optimization terminated:local minimum found;the solution is singular.,lambda=,eqlin,:1.0000,ineqlin,:,lower:,upper:,5.3,极小化极大,（,Minmax,）,问题,sub.to,其中：,x,、,b,、,beq,、,lb,、,ub,是向量，,A,、,Aeq,为矩阵，,C(x,),、,Ceq(x,),和,F(x,),是返回向量的函数，,F(x,),、,C(x,),、,Ceq(x,),可以是非线性函数,.,函数,fminimax,格式,x=fminimax(fun,x0),x=fminimax(fun,x0,A,b),x=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq),x=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub),x=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon),x=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options),x,fval,maxfval,=,fminimax,(),x,fval,maxfval,exitflag,=,fminimax,(),x,fval,maxfval,exitflag,output,=,fminimax,(),x,fval,maxfval,exitflag,output,lambda,=,fminimax,(),例,5-7,求下列函数最大值的最小化问题,其中：,解：先建立目标函数文件，并保存为,myfun.m,：,function f=,myfun(x,),f(1)=2*x(1)2+x(2)2-48*x(1)-40*x(2)+304;,f(2)=-x(1)2-3*x(2)2;,f(3)=x(1)+3*x(2)-18;,f(4)=-x(1)-x(2);,f(5)=x(1)+x(2)-8;,然后，在命令窗口键入命令：,x0=0.1;0.1;%,初始值,x,fval,=fminimax(myfun,x0),结果为：,x=,4.0000,4.0000,fval,=,0.0000 -64.0000 -2.0000 -8.0000 -0.0000,5.4,曲线拟合与插值,在大量的应用领域中，人们经常面临用,一个解析函数描述数据,(,通常是测量值,),的任务,.,对这个问题有两种方法,.,插值,：,在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况,.,曲线拟合,：曲线拟合或回归是人们设法找出某条光滑曲线，它,最佳地拟合数据,，但不必要经过任何数据点,.,标有,o,的是数据点；连接数据点的实线描绘了,线性内插,，虚线是数据的,最佳拟合,.,曲线拟合的两个基本问题：,1.,最佳拟合意味着什么？,2.,应该用什么样的曲线？,可用许多不同的方法定义最佳拟合，并存在无穷数目的曲线,.,当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的,.,数学上，称为,多项式的最小二乘曲线拟合,.,1,Matlab,曲线拟合,虚线和标志的数据点之间的垂直距离是在该点的误差,.,对各数据点距离求平方，并把平方距离全加起来，就是误差平方和,.,这条虚线是使,误差平方和尽可能小的曲线,，即是,最佳拟合,.,最小二乘这个术语仅仅是使误差平方和最小的省略说法,.,Matlab,曲线拟合和插值命令,曲 线 拟 合 和 插 值 函 数,polyfit(x,y,n),对描述,n,阶多项式,y=,f(x,),的数据,进行最小二乘曲线拟合,interp1(x,y,xo),1,维线性插值,interp1(x,y,xo,spline,),1,维,3,次样条插值,interp1(x,y,xo,cubic),1,维,3,次插值,interp2(x,y,Z,xi,yi,),2,维线性插值,interp2(x,y,Z,xi,yi,cubic),2,维,3,次插值,interp2(x,y,Z,xi,yi,nearest),2,维最近邻插值,x=0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1;,y=-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2;,n=2;,p=,polyfit(x,y,n),ezplot,(,-9.8108*x*x+20.1293*x-0.0317,),%,二次多项式系数,%,既是,p,的输出，该命令为画出拟合曲线,.,xi=linspace(0,1,100);%x-axis data for plotting,z=,polyval(p,xi)%,求出多项式在,xi,点处的取值,.,plot(x,y,o ,x,y,xi,z,:),xlabel,(x),ylabel,(y=,f(x,),title(Second Order Curve Fitting),多项式阶次的选择是任意的,.,两点决定一直线或一阶多项式,.,三点决定一个平方或,2,阶多项式,.,按此进行，,n+1,数据点唯一地确定,n,阶多项式,.,于是，在上面的情况下，,有,11,个数据点，我们可选一个高达,10,阶的多项式,.,然而，高阶多项式给出很差的数值特性，人们不应选择比所需的阶次高的多项式,.,此外，随着多项式阶次的提高，近似变得不够光滑，因为较高阶次多项式在变零前，可多次求导,.,原始数据标以,o,，,2,阶曲线拟合是虚线,，,10,阶拟合是实线,.,注意，在,10,阶拟合中，在左边和右边的极值处，数据点之间出现大的纹波,.,当企图进行高阶曲线拟合时，这种纹波现象经常发生,.,显然，,越多就越好,的观念在这里不适用,.,2,插值命令,插值定义为对数据点之间函数的估值方法,，这些数据点是由某些集合给定,.,当人们不能很快地求出所需中间点的函数值时，插值是一个有价值的工具,.,例如，当数据点是某些实验测量的结果或是过长的计算过程时，就有这种情况,.,最简单插值的例子是,MATLAB,的作图,.,按缺省，,MATLAB,用直线连接所用的数据点以作图,.,这个,线性插值猜测中间值落在数据点之间的直线上,.,当然，当数据点个数的增加和它们之间距离的减小时，线性插值就更精确,.,例如,:,x1=linspace(0,2*pi,60);,x2=linspace(0,2*pi,6);,plot(x1,sin(x1),x2,sin(x2),-),xlabel,(x),ylabel,(,sin(x,),title(Linear Interpolation),一个在数据点之间用,60,个点，它比另一个只用,6,个点更光滑和更精确,.,如曲线拟合一样，插值要作决策,.,根据所作的假设，有多种插值,.,而且，可以在一维以上空间中进行插值,.,即如果有反映两个变量函数的插值，,z=,f(x,y),，那么就可在,x,之间和在,y,之间，找出,z,的中间值进行插值,.MATLAB,在一维函数,interp1,和在二维函数,interp2,中，提供了许多的插值选择,.,为了说明一维插值，考虑下列问题，,12,小时内，一小时测量一次室外温度,.,数据存储在两个,MATLAB,变量中,.,hours=1:12;%index for hour data was recorded,temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;%,recorded temperatures,plot(hours,temps,hours,temps,+)%view,temperatures,title(Temperature),xlabel,(Hour),ylabel,(Degrees Celsius),正如上图看到的，,MATLAB,画出了,数据点线性插值的直线,.,为了计算在任意给定时间的温度，人们可试着对可视的图作解释,.,另外一种方法，可用函数,interp1.,t=interp1(hours,temps,9.3)%estimate temperature at hour=9.3,t=22.9000,t=interp1(hours,temps,4.7)%estimate temperature at hour=4.7,t=22,t=interp1(hours,temps,3.2 6.5 7.1 11.7)%find temp at many points!,t=,10.2000,30.0000,30.9000,24.9000,interp1,的缺省用法是由,interp1(x,y,xo),来描述，这里,x,是独立变量,(,横坐标,),，,y,是应变量,(,纵坐标,),，,xo,是进行插值的一个数值数组,.,另外，该缺省的使用假定为线性插值,.,若不采用直线连接数据点，我们可采用某些,更光滑的曲线来拟合数据点,.,最常用的方法是用一个,3,阶多项式，即,3,次多项式，来对相继数据点之间的各段建模，每个,3,次多项式的头两个导数与该数据点相一致,.,这种类型的插值被称为,3,次样条或简称为样条,.,函数,interp1,也能执行,3,次样条插值,.,t=interp1(hours,temps,9.3,spline,)%estimate temperature at hour=9.3,t=,21.8577,t=interp1(hours,temps,4.7,spline,)%estimate temperature at hour=4.7,t=,22.3143,t=interp1(hours,temps,3.2 6.5 7.1 11.7,spline,),t=,9.6734,30.0427,31.1755,25.3820,interp1,二个强约束,:,（,1,）人们不能要求有独立变量范围以外的结果，例如，,interp1(hours,temps,13.5),导致一个错误，因为,hours,在,1,到,12,之间变化,.,（,2,）独立变量必须是单调的,.,即独立变量在值上必须总是增加的或总是减小的,.,二维插值是基于与一维插值同样的基本思想,.,然而，正如名字所隐含的，二维插值是对两变量的函数,z=,f(x,y),进行插值,.,3.,非线性数据（曲线）拟合,非线性曲线拟合是已知输入向量,xdata,和输出向量,ydata,，并且知道输入与输出的函数关系为,ydata,=,F(x,xdata,),，但不知道系数向量,x.,今进行曲线拟合，求,x,使得下式成立：,函数,lsqcurvefit,格式,x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata),x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options),x,resnorm,=,lsqcurvefit,(),x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,=,lsqcurvefit,(),x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian,=,lsqcurvefit,(),resnorm,=sum(fun(x,xdata)-ydata).2),，即在,x,处残差的平方和；,residual=,fun(x,xdata)-ydata,，即在,x,处的残差；,exitflag,为终止迭代的条件；,output,为输出的优化信息；,lambda,为解,x,处的,Lagrange,乘子；,jacobian,为解,x,处拟合函数,fun,的,jacobian,矩阵,.,例,5-8,求解如下最小二乘非线性拟合问题,已知输入向量,xdata,和输出向量,ydata,，且长度都是,n,，拟合函数为,即目标函数为,其中：,初始解向量为,x0=0.3,0.4,0.1,。,解：先建立拟合函数文件，并保存为,myfun.m,function F=,myfun(x,xdata,),F=x(1)*xdata.2+x(2)*,sin(xdata,)+x(3)*xdata.3;,然后给出数据,xdata,和,ydata,xdata,=3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.8 1.3 7.9 10.0 5.4;,ydata,=16.5 150.6 263.1 24.7 208.5 9.9 2.7 163.9 325.0 54.3;,x0=10,10,10;%,初始估计值,x,resnorm,=lsqcurvefit(myfun,x0,xdata,ydata),结果为：,Optimization terminated successfully:,Relative function value changing by less than,OPTIONS.TolFun,x=,0.2269 0.3385 0.3021,resnorm,=,6.2950,4,非线性最小二乘,非线性最小二乘（非线性数据拟合）的标准形式为,:,其中：,L,为常数,设,则目标函数可表达为,其中：,x,为向量，,F(x,),为函数向量,.,函数,lsqnonlin,格式,x=lsqnonlin(fun,x0)%x0,为初始解向量；,fun,为 ，,i=1,2,m,，,fun,返回向量值,F,，而不是平方和值，平方和隐含在算法中，,fun,的定义与前面相同,.,x=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options)%options,为指定优化参数，若,x,没有界，则,lb=,，,ub,=.,x,resnorm,=,lsqnonlin,()%,resnorm,=sum(fun(x).2),，即解,x,处目标函数值,.,x,resnorm,residual,=,lsqnonlin,()%residual=,fun(x,),，即解,x,处,fun,的值,.,例,5-9,求下面非线性最小二乘问题,初始解向量为,x0=0.3,0.4,。,解：先建立函数文件，并保存为,myfun.m,，由于,lsqnonlin,中的,fun,为向量形式而不是平方和形式，因此，,myfun,函数应由建立：,k=1,2,10,function F=,myfun(x,),k=1:10;,F=2+2*,k-exp(k,*x(1)-exp(k*x(2);,然后调用优化程序：,x0=0.3 0.4,；,x,resnorm,=lsqnonlin(myfun,x0),x=,0.2578,0.2578,resnorm,=%,求目标函数值,124.3622,实际问题求解,（,任务分配问题,）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为,800,和,900,，三种工件的数量分别为,400,、,600,和,500,，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？,解,设在甲车床上加工工件,1,、,2,、,3,的数量分别为,x1,、,x2,、,x3,，在乙车床上加工工件,1,、,2,、,3,的数量分别为,x4,、,x5,、,x6,。可建立以下线性规划模型：,f=13 9 10 11 12 8;,A=0.4 1.1 1 0 0 0,0 0 0 0.5 1.2 1.3;,b=800;900;,Aeq,=1 0 0 1 0 0,0 1 0 0 1 0,0 0 1 0 0 1;,beq,=400 600 500;,vlb,=zeros(6,1);,vub,=;,x,fval,=,linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,),程序详解：,见,example5.m,The end,