行列式习题课.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,行列式习题课,1.,复习主要内容,2.,习题举例,3.,学生练习,4.,测试题,一、复习主要概念,1,行列式的定义,2,行列式的性质,3,行列式的计算,用定义计算行列式,用上（下）三角形行列式计算行列式,利用行列式的展开法计算行列式,利用,Vandermonde,行列式计算行列式,用,Laplace,定理计算特殊的阶数大的行列式递推法、加边法、归纳法等等,.,4.,Cramer,法则,行列式的定义,行列式的等价定义,其中,行列式的性质,上（下）三角行列式的值为其所有对角元之积,将行列式,某,行（列）乘以常数,c,则行列式值为原来的,c,倍；即行列式,某,行（列）的公因子可以提到行列式外面,互换行列式任意两行（列），行列式值改号,行列式两行（列）对应元素成比例，则行列式值为,0,将行列式的一行（列）乘以某个常数,c,加到另一行（列）上去，行列式值不变,行列式的某一行（列）是两阻数的和,那么这个行列式就等于两个行列式的和,.,行列式展开公式,:,行列式的值等于任意一行,(,列,),元素与它的代数余子式乘积之和,.,行列式的一行,(,列,),元素与另外一行,(,列,),元素的代数余子式乘积之和恒等于零,.,归纳法（对行列式阶数）,验证结论对,n,=1,或,n=2,时成立,;,归纳假设对任意满足命题条件的,n,1,阶,(,小于,n,阶,),行列式命题成立,利用,2,）的假设证明命题对,n,阶行列式也成立,k,阶子式、余子式、代数余子式,Laplace,定理,设,A,是,n,阶行列式，在,A,中任取,k,行（列），那么含于这,k,行（列）的全部,k,阶子式与它们对应的代数余子式的乘积之和等于,A,.,即若取定,k,个行：,用定义计算（证明）,EXA1,用行列式定义计算,二习题举例,：,解,注意,EXA 2,设行列式,D=,求,2,用化三角形行列式计算,EXA3,计算,解,提取第一列的公因子，得,注,本题利用行列式的性质，采用,“,化零,”,的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为,1,；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的,3,用降阶法计算,EXA5,计算,解,注,本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低,1,阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用,4,利用范德蒙行列式计算,EXA3,计算,利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。,解,上面等式右端行列式为,n,阶范德蒙行列式，由,范德蒙行列式知,注,本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式,5,用递推法计算,EXA7,计算,解,由此递推，得,如此继续下去，可得,评注,6,用数学归纳法,例,证明,证,对阶数,n,用数学归纳法,求值,7,用展开、递推法,一题多解,计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变,换后，再考察它是否能用常用的几种方法,A,三、练习,1,判断 是不是,6,阶行列式的项，若是,带什么符号？,2,设行列式,求,A,43.,5.,计算下列行列式的值,6,证明：,7,用范德蒙行列式计算,8.,设行列式,求第,1,列元素的代数余子式之和。,10,设,a,1,a,2,a,3,a,4,互不相同，,证明线性方程组；,有唯一解，并求出其解。,11,设线性方程组,有非零解，求,m,的值。,