BS期权定价模型及其应用.pptx

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020-01-05,*,#,单击此处编辑母版标题样式,Black-Scholes 期权定价模型,王春雷,1,引 言,二叉树期权定价模型：,变量离散、时间离散,当股价的变动是一个连续的运动过程,变量连续、时间连续,如何对以它为标的资产的衍生品定价？,本节讨论的问题,2,1、股票价格的运动过程,：股票的瞬间收益率,：股票的期望瞬间收益率,：股价收益率的瞬间标准差,3,波动率估计,1 观测证券价格的历史数据S0、S1、Sn，观测时间间隔为t以年为单位,2 计算每期以复利计算的回报率,uiLn(Si/Si-1),i=1,n,3 计算回报率的标准差s,4 波动率估计,4,2、伊藤引理Itos lemma,假设 x 的运动过程，利用伊藤引理能够推知函数 G(x,t)的运动过程,由于任何衍生品价格均为其标的资产价格及时间的函数，因而可利用伊藤引理推导衍生品价格的运动过程,5,伊藤引理Ito，1951,假设随机过程 x 遵循伊藤过程：,那么G(x,t)将遵循如下伊藤过程：,6,股价运动是一种简单的伊藤过程：,以股票为标的资产的衍生品价格,f,(,S,t,)，,其运动过程可通过伊藤引理得到：,7,例1：伊藤引理的运用,假设 ，那么,该微分方程的解为：,8,3、,Black-Scholes 微分方程,1原理,衍生品与标的资产股票价格不确定性的来源相同,与二叉树期权定价模型的思想类似，我们,通过构造股票与衍生品的组合来消除这种,不确定性,9,2假设条件,股价遵循几何布朗运动,股票交易连续进行，且股票无限可分,不存在交易费用及税收,允许卖空，且可利用所有卖空所得,在衍生品有效期间，股票不支付股利,在衍生品有效期间，无风险利率保持不变,所有无风险套利时机均被消除,10,3B-S微分方程的推导,股票及衍生品的运动过程分别为：,为消除不确定性，构造投资组合：,衍生品,：1,；股票：,11,投资组合的价值为：,投资组合的价值变动为：,价值变动仅与时间,dt 有关，因此该组合,成功消除了 dz 带来的,不确定性,12,根据无套利定价原理，组合收益率应等于无风险利率 r(无套利时机)：,此即,Black-Scholes,微分方程,。,13,任意依赖于标的资产 S 的衍生品价格 f 应,满足该方程,衍生品的价格由微分方程的边界条件决定,例：欧式看涨期权的边界条件为：,C(0，t)0,C(ST,T)=maxST K，0,理论上通过解B-S微分方程，可得 Call 的价格。,问题：微分方程难于求解！,14,4、风险中性定价方法,观察B-S微分方程及欧式Call 的边界条件发现：,C(S,t)与 S、r、t、T、以及 K 有关，而与股票,的期望收益率无关。这说明欧式Call 的价格与,投资者的风险偏好无关。,在对欧式Call 定价时，可假设投资者是风险中,性的对所承担的风险不要求额外回报，所有证,券的期望收益率等于无风险利率,15,用风险中性方法对欧式,Call,定价,假设股价期望收益率为无风险利率 r，那么：,欧式 Call 到期时的期望收益为：,将该期望收益以无风险利率折现，得到欧式 Call 价格：,16,得：,其中：,此即,Black-Scholes 期权定价公式,。,17,如何理解B-S期权定价公式,1 可看作证券或无价值看涨期权的多头；可看作K份现金或无价值看涨期权的多头。,2可以证明，。为构造一份欧式看涨期权，需持有 份证券多头，以及卖空数量为 的现金。,18,Black-Scholes 期权定价公式用于不支付股利的,欧式看涨期权的定价通过 Call-Put 平价公式,可计算欧式看跌期权的价值。,注意：该公式只在一定的假设条件下成立，如市场完美无税、无交易本钱、资产无限可分、允许卖空、无风险利率保持不变、股价遵循几何布朗运动等。,19,例：Black-Scholes公式的运用,假设一种不支付红利股票目前的市价为42元，,某投资者购置一份以该股票为标的资产的欧式,看涨期权，6个月后到期，执行价格为40元。假设该股票年波动率为20%，6月期国库券年利率为10%，问：该份期权价格应为多少元？,解：由上述条件知：,S=42,K=40,T-t=0.5,=0.2,r=0.1,20,21,根据,Call-Put,平价公式,有：,计算得到欧式,看跌期权价格为：P=0.81(元),22,影响欧式看涨期权价格的因素,当,期股价,S,越高，期权价格越高,到期执行价格,K,越高，期权价格越低,距离到期日时间,T-t,越长，期权价格越高,股价波动率,越大，期权价格越高,无风险利率,r,越高，期权价格越高,23,B-S期权定价公式的扩展：红利,股价运动过程,风险中性定价,仅需要将,S,t,变成,S,t,e,-,q(T-t),，带入原来的B-S微分方程即可,24,B-S期权定价公式的运用,1对公司负债及资本进行估值,一家公司A发行两种证券：普通股100万股及,1年后到期的总面值8000万元的零息债券。,公司总市值为1亿元，问：公司股票及债券如何,定价？,令V为当前A公司资产市场价值，E为A公司资,本市场价值，D为A公司债券市场价值。,V=E+D,25,考虑股东1年之后的收益：当A公司价值V,T,大于,债券面值时，收益为V,T,-8000；当A公司价值小于,债券面值时，收益为0。股东相当于持有一个执行,价格为8000万元的欧式,Call,标的资产为公司价值.,当前资本价值为：,给出其它具体数值，公司价值的波动率为,0.3,无风险利率为8%，根据B-S公司得到E=2824万元.,公司负债价值D=V-E=7176万元。,26,2确定贷款担保价值或担保费用,假设某银行为公司发行的债券提供了信用担,保。1年之后，假设公司价值VT大于债券面值时，,银行无须支付；假设公司价值VT小于债券面值时,银行须支付 VT B。这相当于银行出售了一个欧,式put,标的资产仍为公司价值，执行价格为债券,面值B。,利用上面的例子，可采用B-S看跌期权定价公,式或看涨看跌期权平价公式，得到欧式put 的价值,为209万元，A公司应支付209万元的担保费。,27,3带有可转化特征的融资工具的定价,认股权证指赋予投资者在某一时期以约定价格,向发行人购置公司新股的权利。,假设公司有N股流通股，M份流通欧式认股权,证，一份认股权证使持有人在时刻T以每股K的价,格购置x股新股的权利。,28,设时期T公司权益价值为ET，假设持有人选择执,行认股权，公司权益价值变为 ET+MxK，股票数,量变为 N+Mx。执行认股权证后瞬间，股价变为,(ET+MxK)/(N+Mx)。只有当这一股价大于执行价,格 K 时，持有人才会执行认股权。,29,1当ET/NK时，持有人执行，其收益为：,2当ET/NK时，持有人不执行，其收益为0。,一份认股权证的价值为：,其中C是基于公司股票价格的欧式Call，执行,价格为K。利用B-S公式得一份认股权证的价值。,30,谢 谢,1月-26,11:48:41,11:48,11:48,1月-26,1月-26,11:48,11:48,11:48:42,1月-26,1月-26,11:48:43,2026/1/28 周三 11:48:44,