第三部分-代数结构PPT优秀资料.ppt

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,第三部分 代数结构,一、本部分的主要内容,代数系统,-,二元运算及其性质、代数系统和子代数,半群与群,-,半群、独异点、群,环与域,-,环、整环、域,格与布尔代数,-,格、布尔代数,二、本部分的基本要求,掌握代数系统的基本概念,掌握各种重要的代数系统的定义和性质,了解和使用基本的证明方法,第十章 代数系统,主要内容,二元运算及其性质,一元和二元运算定义及其实例,二元运算的性质,代数系统,代数系统定义及其实例,子代数,与后面各章的关系,是后面典型代数系统的基础,第一节 二元运算及其性质,一、代数运算,设 A 是一非空集合，映射f：A,n,A 称为集合A 上的一个,n元代数运算,，简称n 元运算，正整数n 称为,该运算的阶,.,当n=1时，f：A,A 称为A 上的一个,一元运算,;,当n=2时，f：AA,A 称为A 上的一个,二元运算,.,一元运算，特别是二元运算是以下我们遇到的主要代数运算!,验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点：,(1)S中任何两个元素都可以进行这种运算,且运算的结果是唯一的。,(2)S中任何两个元素的运算结果都属于S,即S对该运算是,封闭的。,例1,(1)自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算,但减法和除法不是。,(2)整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算,而除法不是。,(3)设,M,n,(,R,)表示所有,n,阶(,n,2)实矩阵的集合,即,则矩阵加法和乘法都是,M,n,(,R,)上的二元运算。,(4),S,为任意集合,则,为,S,的幂集P(,S,)上的二元运算,这里和是初级并和初级交。,(5),S,为集合,S,S,为,S,上的所有函数的集合,则函数的复合运算,为,S,S,上的二元运算。,(6)求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上的一元运算。,(7)求一个数的倒数是非零有理数集合Q*,非零实数集合R*上的一元运算。,(8)求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。,二.二元与一元运算的表示,（1）,算符,可以用,*,等符号表示二元或一元运算,称为算符。对于二元运算,如果,x,与,y,运算得到,z,记做,x,y,=,z,；对于一元运算,，,x,的运算结果记作,x,.,(2)表示二元或一元运算的方法,-,解析公式和运算表,例2,设,R,为实数集合,如下定义,R,上的二元运算*：,x,y,R,x,*,y,=,x,.,计算3*4,(-5)*0.2,0*(1/2),解：,3*4=3,(-5)*0.2=-5,0*(1/2),=0,解析公式法,(续),表1,一元运算表的一般形式,表2,二元,运算表,的一般形式,运算表法,例,3,设,S,=1,2,给出,P,(,S,),上的运算,和,的运算表,其中全集为,S,.,解：,所求的运算表如表,3,和表,4.,表3,表4,定义3,设,为,S,上的二元运算,(1)如果对于任意的,x,y,S,有,x,y,=,y,x,则称运算,在,S,上满足,交换律,。,(2)如果对于任意的,x,y,z,S,有(,x,y,),z,=,x,(,y,z,),则称运算在,S,上满足,结合律,。,(3),如果对于任意的,x,S,有,x,x,=,x,则称运算在,S,上满足,幂等律,。,定义4,设 和*为,S,上两个不同的二元运算,(1)如果对于任意的,x,y,z,S,有(,x,*,y,),z,=(,x,z,)*(,y,z,)和,z,(,x,*,y,)=(,z,x,)*(,z,y,),则称,运算 对*运算满足分配律。,(2)如果,和*都可交换,并且对于任意的,x,y,S,有,x,(,x,*,y,)=,x,和,x,*(,x,y,)=,x,则称,和*运算满足吸收律,。,例4,N是自然数几何，在N上定义运算“*”：对于任意的m,n,N,m*n=m+2n.“*”是可交换的吗？“*”适合结合律吗？,解：(1)取m=1,n=2，有,1*2=,1+22=5,2*1=,2+12=4,因为4 5，所以1*2 2*1,所以”*”是不可交换的。,因为 (,m,*,n,)*,l,=(,m,+2,n,)*,l,=(,m,+2,n,)+2,l,=,m,+2,n,+2,l,而,m,*(,n,*,l,)=,m,*(,n,+2,l,)=,m,+2(,n,+2,l,)=,m,+2,n,+4,l,(2)对于任意的,m,n,l,N,由,l,的任意性知,(,m,*,n,)*,l,m,*(,n,*,l,),四.二元运算的特异元素：单位元、零元和逆元,定义5,设,为,S,上的二元运算,(1)如果存在,e,l,（或,e,r,）,S,使得对任意,x,S,都有,e,1,x,=,x,(或,x,e,r,=,x,),则称,e,1,(或,e,r,)是,S,中关于运算的,左(或右)单位元,。若,e,S,关于运算既是左单位元又是右单位元,则称,e,为,S,上关于运算的,单,位元,。单位元也叫做,幺元,。,(2)如果存在,l,（或,r,）,S,使得对任意,x,S,都有,l,x,=,l,(或,x,r,=,r,),则称,l,(或,r,)是,S,中关于运算的,左(或右)零元,。若,S,关于运算既,是左零元又是右零元,则称,为,S,上关于运算的,零元,。,(3),令,e,为,S,中关于运算的单位元,.,对于,x,S,如果存在,y,l,（或,y,r,）,S,使得,y,l,x,=,e,（或,x,y,r,=,e,）,则称,y,l,(,或,y,r,),是,x,的,左逆元,(,或右逆,元,),。若,y,S,既是,x,的左逆元又是,x,的右逆元,则称,y,为,x,的,逆元,。,如果,x,的逆元存在,就称,x,是,可逆的,。,现代科学在研究各种不同现象时，为了探索它们之间的共同特点，常常利用代数系统这个框架进行研究，得出深刻的结果。,例4 N是自然数几何，在N上定义运算“*”：对于任意的m,nN,确定子集是否构成子代数,(3)令e为S中关于运算的单位元.,的单位元和零元都不存在，没有可逆元素.,（2）求出运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元.,定义3 设 为S上的二元运算,用集合名称简单标记代数系统,（1）构成代数系统的成分：,当n=2时，f：AAA 称为A 上的一个二元运算.,例 设V=,令 nZ=nz|zZ,n为自然数，则nZ是V的子代数,(8)求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。,第一节 二元运算及其性质,目前代数系统的理论已在理论物理，生物学，计算机科学以及社会科学中广泛地应用。,环与域-环、整环、域,（2）求出运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元.,定理,1,设为,S,上的二元运算,e,l,和,e,r,分别为,S,中关于运算的左和右单位元,则,e,l,=,e,r,=,e,为,S,上关于运算的唯一的单位元。,证：,e,l,=,e,l,e,r,(,e,r,为右单位元),e,l,e,r,=,e,r,(,e,l,为左单位元),所以,e,l,=,e,r,将这个单位元记作,e,。假设,e,也是,S,中的单位元,则有,e,=,e,e,=,e,。唯一性得证。,定理,2,设为,S,上可结合的二元运算,e,为该运算的单位元,对于,x,S,如果存在左逆元,y,l,和右逆元,y,r,则有,y,l,=,y,r,=,y,，且,y,是,x,的唯一的逆元。,证：,由,y,l,x,=,e,和,x,y,r,=,e,得,y,l,=,y,l,e,=,y,l,(,x,y,r,)=(,y,l,x,),y,r,=,e,y,r,=,y,r,令,y,l,=,y,r,=,y,则,y,是,x,的逆元。假若,y,S,也是,x,的逆元,则,y,=,y,e,=,y,(,x,y,)=(,y,x,),y,=,e,y,=,y,所以,y,是,x,唯一的逆元。,例题5,设,运算为,Q,上的二元运算，,x,y,Q,x,y,=,x,+,y,+2,xy,（1）判断,运算是否满足交换律和结合律，并说明理由.,（2）求出,运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元.,解：,（1）,运算可交换，可结合.,任取,x,y,Q,x,y,=,x,+,y,+2,xy,=,y,+,x,+2,yx,=,y,x,任取,x,y,z,Q,(,x,y,),z,=(,x,+,y,+2,xy,)+,z,+2(,x,+,y,+2,xy,),z,=,x,+,y,+,z,+2,xy,+2,xz,+2,yz,+4,xyz,x,(,y,z,)=,x,+(,y,+,z,+2,yz,)+2,x,(,y,+,z,+2,yz,=,x,+,y,+,z,+2,xy,+2,xz,+2,yz,+4,xyz,说明：,通过运算表可以判断运算性质，也可以求运算的特异元素。,如果运算表的元素关于主对角线成对称分布，那么运算是可交换的，如前面的*和,运算。,如果主对角线元素的排列顺序与表头元素的排列顺序一样，那么运算是幂等的，如上面的,运算。,如果一个元素所在的行和列的元素排列顺序都与表头元素排列顺序一致，那么这个元素就是单位元。如,运算表中的a；,如果一个元素的行和列的元素都是这个元素自身，那么这个元素是零元，,如,运算表中的c。,如果元素x在主对角线中排列的位置与表头中的位置一致，那么这个元素是幂等元。如*运算中的b，,运算中的a,b,c，和,运算中的a,c。,(6)求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上的一元运算。,z(x*y)=(z x)*(z y),则称运算 对*运算满足分配律。,如果x的逆元存在,就称x是可逆的。,（4）真子代数：若B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数.,(3)如果对于任意的xS有x x=x,则称运算在S上满足幂等律。,如果一个元素的行和列的元素都是这个元素自身，那么这个元素是零元，如运算表中的c。,（4）真子代数：若B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数.,代数常数（通常是与运算相关的特异元素：如单位元等）研究代数系统时，如果把运算具有它的特异元素也作为系统的性质之一，那么这些特异元素可以作为系统的成分，叫做代数常数.,集合（也叫载体，规定了参与运算的元素）,(6)求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上的一元运算。,判断给定二元运算的性质和特异元素,解：,（1）*满足交换律，满足结合律，不满足幂等律.,不满足交换律，满足结合律，满足幂等律.,满足交换律，满足结合律，不满足幂等律.,（2）*的单位元为,b,，没有零元，,a,1,=,c,b,1,=,b,c,1,=,a,的单位元和零元都不存在，没有可逆元素.,的单位元为,a,，零元为,c,，,a,1,=,a,，,b,c,不是可逆元素.,第二节 代数系统,一.什么是代数系统？,粗略地说，代数系统是由一个特定的“集合”，以及定义于该集合上的若干“运算”所组成，换言之，它是一个“有组织的集合”。,定义6,非空集合S和S上,k,个一元或二元运算,f,1,f,3,f,k,组成的系统称为一个,代数系统，,简称,代数，,记作,.,现代科学在研究各种不同现象时，为了探索它们之间的共同特点，常常利用代数系统这个框架进行研究，得出深刻的结果。目前代数系统的理论已在理论物理，生物学，计算机科学以及社会科学中广泛地应用。,二.代数系统的成分与表示,（1）构成代数系统的成分：,集合（也叫载体，规定了参与运算的元素）,运算（这里只讨论有限个二元和一元运算）,代数常数（通常是与运算相关的特异元素：如单位元等）研究代数系统时，如果把运算具有它的特异元素也作为系统的性质之一，那么这些特异元素可以作为系统的成分，叫做代数常数,.,例如：代数系统,：集合,Z,运算,+,代数常数,0,代数系统,：集合,P,(,S,),运算和，无代数常数,（2）代数系统的表示,列出所有的成分：集合、运算、代数常数（如果存在）,如,列出集合和运算，在规定系统性质时不涉及具有单位元的性质（无代数常数）,如,用集合名称简单标记代数系统,在前面已经对代数系统作了说明的前提下使用,如代数系统,Z,P,(,B,),三同类型与同种代数系统,（1）如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称它们是,同类型的代数系统,.,（2）如果两个同类型的代数系统规定的运算性质也相同，则称为,同种的代数系统,.,二、子代数系统,1定义,设V=是代数系统，B是S的非空子集，如果B对f1,f2,fk 都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称是,V的子代数系统,，简称,子代数,.有时将子代数系统简记为B.,2实例,N是的子代数，N也是的子代数，N,0是的子代数，但不是的子代数,说明：,子代数和原代数是同种的代数系统,对于任何代数系统V=，其子代数一定存在.,（1）,最大的子代数,：就是,V,本身,（2）,最小的子代数,：如果令,V,中所有代数常数构成的集合是,B,，且,B,对,V,中所有的运算都是封闭的，则,B,就构成了,V,的最小的子代数,（3）,平凡的子代数,：最大和最小的子代数称为,V,的平凡的子代数,（4）,真子代数,：若,B,是,S,的真子集，则,B,构成的子代数称为,V,的真子代数.,例,设,V,=,令,nZ,=,nz,|,z,Z,n,为自然数，则,nZ,是,V,的子代数,当,n,=1和0时，,nZ,是,V,的平凡的子代数，其他的都是,V,的非平凡的真子代数.,例题7.,确定子集是否构成子代数,(1)设V，问3Z,0,V是否为V的子代数系统？为什么？如果是，说明其中哪些是平凡的，哪些是真子代数？,(2)设V,其中AP(1,2,3)，,为集合的对称差，试给出V的所有的子代数，并说明哪些是平凡的子代数？哪些是真子代数？,解：,(1)都是V的子代数，显然 0 和V关于+运算是封闭的，而对于任意的3,m,3,n,3Z,3,m,+3,n,=3(,m,+,n,)3Z,3Z关于+运算也是封闭的，0和V是平凡的，0和3Z是真子代数。,解：,(2)A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3,平凡的：B1=,V,2元的：B2,1,B3,2,B4,3,B5,1,2,B6,1,3,B7,2,3,B8,1,2,3,.,4元的：,B9,1,2,1,2，B10,1,3,1,3，,B11,2,3,2,3,以上子代数中除了V之外，都是真子代数。,第十章 习题课,本章的主要内容及要求,1主要内容,构成代数系统的基本成分：,非空集合,集合上若干个封闭的二元和一元运算,代数常数,二元运算性质和特异元素,同类型的与同种的代数系统,子代数的定义与实例,B8,1,2,3.,所以y是x唯一的逆元。,不满足交换律，满足结合律，满足幂等律.,同类型的与同种的代数系统,(7)求一个数的倒数是非零有理数集合Q*,非零实数集合R*上的一元运算。,(6)求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上的一元运算。,（4）真子代数：若B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数.,=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz,在前面已经对代数系统作了说明的前提下使用,（1）构成代数系统的成分：,对于二元运算,如果x与y运算得到z,记做x y=z；,解：（1）*满足交换律，满足结合律，不满足幂等律.,例4 N是自然数几何，在N上定义运算“*”：对于任意的m,nN,2要求,判断给定集合和运算能否构成代数系统,判断给定二元运算的性质和特异元素,了解同类型和同种代数系统的概念,了解子代数的基本概念,作业 习题十 P192,4，5，6中偶数题目,10,11,14,