一圆周角定理.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,一,圆周角定理,1,.,圆周角定理,(1),圆周角定义,:,顶点在,圆,上,并且两边和圆相交的角叫做圆周角,.,(2),圆周角定理,:,圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的,圆心角,的一半,.,名师点拨,圆周角定理揭示了圆周角与圆心角的关系,把角和弧两种不同类型的图形联系起来,.,在几何证明的过程中,圆周角定理为我们解决角和弧之间的转化问题提供了一种新方法,.,【做一做,1,】,如图,点,A,B,P,在圆,O,上,若,APB=,65,则,AOB=,.,解析,:,由圆周角定理,得,AOB=,2,APB=,130,.,答案,:,130,2,.,圆心角定理,(1),圆心角定义,:,顶点在,圆心,的角叫做圆心角,.,(2),圆心角定理,:,圆心角的度数等于,它所对弧,的度数,.,名师点拨,1,.,在圆心角定理中,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但不能说,“,圆心角等于它所对的弧,”,.,2,.,圆心角的度数等于它所对的弧的度数,它与圆的半径无关,.,也就是说,在大小不等的两个圆中,相同度数的圆心角,它们所对的弧的度数相等,;,反过来,弧的度数相等,它们所对的圆心角的度数也相等,.,【做一做,2,】,如图是两个同心圆,圆心为点,O,点,C,D,在大圆上,A,B,M,在小圆上,.,若,AMB=,40,则劣弧,的度数等于,(,),A.20B.40C.80D.70,解析,:,因为,AMB=,40,所以,AOB=,80,从而劣弧,的度数为,80,.,答案,:,C,3,.,圆周角定理的推论,(1),推论,1:,同弧或等弧所对的,圆周角,相等,;,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也,相等,.,(2),推论,2:,半圆,(,或直径,),所对的圆周角是,直角,;90,的圆周角所对的弦是,直径,.,特别提醒,1,.,“,相等的圆周角所对的弧也相等,”,的前提条件是,“,在同圆或等圆中,”,.,2,.,在推论,1,中,若将,“,同弧或等弧,”,改为,“,同弦或等弦,”,则结论不一定成立,.,因为一条弦所对的圆周角有两种可能,所以在一般情况下是不相等的,.,【做一做,3,】,如图,若,D,是劣弧,的中点,则与,ABD,相等的角的个数是,(,),A.7B.3C.2D.1,解析,:,由同弧或等弧所对的圆周角相等,知,ABD=,CBD,=,ACD=,DAC,故与,ABD,相等的角有,3,个,.,答案,:,B,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画,“,”,错误的画,“,”,.,(1),在同圆或等圆中,圆周角等于圆心角的一半,.,(,),(2),在同圆或等圆中,圆心角等于它所对的弧,.,(,),(3),同弦或等弦所对的圆周角相等,.,(,),(4),在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弦也相等,.,(,),答案,:,(1),(2),(3),(4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,角、弦、弧等的计算,问题,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解析,:,(1),D=,60,B=,D=,60,答案,:,(1)60,(2)2,.,5,cm,反思感悟,和圆周角、圆心角有关的角、弦、弧的计算,一方面可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段,另一方面,还可以通过成比例线段以及相似比来计算,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练,1,如图,点,A,B,C,是圆,O,上的点,且,AB=,4,ACB=,30,则圆,O,的面积等于,(,),A.4,B.8,C.12,D.16,解析,:,连接,OA,OB,ACB=,30,AOB=,60,.,又,OA=OB,AOB,为等边三角形,.,AB=,4,OA=OB=,4,S,O,=,4,2,=,16,.,答案,:,D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,角、弦、弧关系的证明问题,【例,2,】,如图,AB,是,O,的一条弦,ACB,的平分线交,AB,于点,E,交,O,于点,D.,求证,:,AC,CB=DC,CE,.,分析,:,通过圆周角定理与圆心角定理证明,ACE,与,DCB,相似,得到比例式,再转化为等积式,.,证明,:,连接,BD,在,ACE,与,DCB,中,EAC,与,BDC,是同弧所对的圆周角,EAC=,BDC.,又,CE,为,ACB,的平分线,ACE=,DCB,ACE,DCB,故,AC,CB=DC,CE.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟利用圆中角的关系证明时应注意的问题,1,.,分析已知和所求,找好所在的三角形,并根据三角形所在圆上的特殊性,寻求相关的圆周角作为桥梁,;,2,.,当圆中出现直径时,要注意寻找直径所对的圆周角,在直角三角形中处理相关问题,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练,2,如图,在,O,中,已知,AB=AC,D,是,BC,延长线上的一点,AD,交,O,于,E.,求证,:,AB,2,=AD,AE.,证明,:,如图,连接,BE,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,圆周角定理、圆心角定理的综合应用,【例,3,】,如图,在,Rt,ABC,中,BCA=,90,以,BC,为直径的,O,交,AB,于点,E,D,为,AC,的中点,连接,BD,交,O,于点,F.,求证,:,证明,:,BC,为,O,的直径,BFC=,90,BEC=,90,.,ACB=,90,BCE=,A.,又,BFE=,BCE,BFE=,A,.,EBF=,DBA,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟应用圆周角定理和圆心角定理解题的基本步骤,1,.,观察图形,寻找相应弦及所对应的弧,;,2,.,利用圆周角定理和圆心角定理求出相关的角,;,3,.,进行数学变形,;,4,.,得出结论,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练,3,如图,已知,AB,是半圆,O,的直径,弦,AD,BC,相交于,P.,若,CD=,3,AB=,4,则,tan,BPD,等于,(,),解析,:,连接,BD,则,BDP=,90,.,答案,:,D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,错用圆周角定理致误,【典例】,已知,O,中的弦,AB,的长等于半径,求弦,AB,所对的圆心角和圆周角的度数,.,错解,:,根据题意画出大致示意图如图,AOB,和,C,分别是弦,AB,所对的圆心角和圆周角,.,AB=OA=OB,OAB,为等边三角形,AOB=,60,C=,30,弦,AB,所对的圆心角为,60,它所对的圆周角为,30,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,正解,:,根据题意画出大致示意图如图,AOB,为弦,AB,所对的圆心角,C,和,D,是弦,AB,所对的圆周角,.,AB=OA=OB,AOB,为等边三角形,AOB=,60,C=,30,D=,150,弦,AB,所对的圆心角为,60,所对的圆周角为,30,或,150,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,纠错心得,本题错误在于对圆周角的概念理解不清,错用圆周角定理而导致的,.,事实上,顶点在圆上,且两边都和圆相交的角叫做圆周角,.,一条弦所对的圆周角应有两种情况,同弧所对的圆周角相等或互补,错解,:,中漏掉了一个圆周角,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练,如图,BAD=,75,则,BCD=,.,答案,:,105,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,1,.,如图,点,C,D,M,在圆,O,上,.,若,OCD=,15,则,CMD,的度数等于,(,),A.30B.150,C.75D.60,解析,:,因为,OCD=,15,所以,COD=,150,于是,CMD=,COD=,75,.,答案,:,C,2,.,如图,在,O,中,已知,ACB=,CDB=,60,AC=,3,则,ABC,的周长等于,(,),A.9B.6C.12,D.6,+,解析,:,由圆周角定理,得,BAC=,CDB=,ACB=,60,所以,ABC,为等边三角形,所以其周长等于,9,.,答案,:,A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,3,.,如图,若圆内接四边形,ABCD,的对角线,AC,BD,相交于,E,则图中相似三角形有,(,),A.1,对,B.2,对,C.3,对,D.4,对,解析,:,由推论,1,知,ADB=,ACB,ABD=,ACD,BAC=,BDC,CAD=,CBD,故,AEB,DEC,AED,BEC.,答案,:,B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,4,.,如图,AB,为,O,的直径,AC=,4 cm,BC=,3 cm,CD,AB,于,D,则,CD,的长为,cm,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,5,.,如图,AB,是圆,O,的直径,D,E,为圆,O,上位于,AB,异侧的两点,连接,BD,并延长至点,C,使,BD=DC,连接,AC,AE,DE.,求证,:,E=,C.,证明,:,如图,连接,OD,BD=DC,O,为,AB,的中点,OD,AC,ODB=,C.,OB=OD,ODB=,B.,B=,C.,点,A,E,B,D,都在圆,O,上,且,D,E,为圆,O,上位于,AB,异侧的两点,E,和,B,为同弧所对的圆周角,.,E=,B,E=,C.,