高三数学-第三篇-第七节解三角形课件-理-北师大版.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第七节解三角形,考纲点击,掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题,.,能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题,.,热点提示,1.,利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题,.,2.,与三角形有关的问题在考查正弦定理、余弦定理和面积公式的同时，考查三角恒等变换，这是高考的热点,.,3.,本节内容与实际生活紧密相连，是高考命题的热点，应高度重视,.,4.,三种题型均有可能出现，属中低档题目,.,定理,正弦定理,余弦定理,内容,a,2,b,2,c,2,2bc,cosA,，,b,2,c,2,a,2,2ac,cosB,，,c,2,a,2,b,2,2ab,cosC.,变形形式,2.,在,ABC,中，已知,a,，,b,和,A,时，解的情况,A,为锐角,A,为钝角或直角,图形,关系,式,absinA,a,bsinA,Bsin Aab,a,b,解的,个数,无解,一解,两解,一解,一解,无解,解决的问题,已知两角和任一边，求另一角和其他两条边,已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角,.,已知三边，求各角；,已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角,.,3.,实际问题中的常用角,(1),仰角和俯角,在视线和水平线所成的角中，视线在水平线,上方,的角叫仰角，在水平线,下方,的角叫俯角,(,如图,),(2),方位角,从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如,B,点的方位角为,(,如图,),(3),方向角：相对于某一正方向的水平角,(,如图,),北偏东,即由指北方向顺时针旋转,到达目标方向,北偏西,即由指北方向逆时针旋转,到达目标方向,南偏西等其他方向角类似,(4),坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数,(,如图，角,为坡角,),坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比,(,如图，,i,为坡比,),1,ABC,的内角,A,、,B,、,C,的对边分别为,a,、,b,、,c.,若,a,、,b,、,c,成等比数列，且,c,2a,，则,cosB,等于,(,),【,答案,】,B,2,在,200 m,高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是,30,，,60,，则塔高为,(,),【,答案,】,A,【,解析,】,【,解析,】,由余弦定理得,a,2,b,2,c,2,2bccosA,，,即,3,1,c,2,c,，,c,2,c,2,0,，,解得,c,2,或,c,1(,舍去,),【,答案,】,B,4.,如图，在,ABC,中，若,A,120,，,AB,5,，,BC,7,，则,ABC,的面积,S,_.,5,甲船在,A,处观察乙船，乙船在它的北偏东,60,的方向，两船相距,a,海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向,_,才能追上乙船；追上时甲船行驶了,_,海里,【,解析,】,如图，设到,C,点甲船追上乙船，,乙到,C,地用了时间,t,，,【,答案,】,北偏东,30,在,ABC,中，,(1),若,b,，,c,1,，,B,45,，求,a,及,C,的值；,(2),若,A,60,，,a,7,，,b,5,，求边,c.,【,思路点拨,】,(1),可直接使用正弦定理求解，注意解的个数的判断，也可利用余弦定理求解,(2),题目条件是已知两边及一边的对角，这种情况一般用正弦定理解，但本题不求,B,，并且求出,sinB,后发现,B,非特殊角，故用正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列出关于,c,的方程求解,【,方法点评,】,1.,已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由,“,大边对大角,”,作出判断,2,应熟练掌握余弦定理及其推论解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理,，应注意用哪一个定理更方便、简捷,3,三角形中常见的结论,(1)A,B,C,.,(2),在三角形中大边对大角，反之亦然,(3),任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边,(4),三角形内的诱导公式,sin(A,B),sinC,；,cos(A,B),cosC,；,在,ABC,中，,a,、,b,、,c,分别表示三个内角,A,、,B,、,C,的对边，如果,(a,2,b,2,)sin(A,B),(a,2,b,2,)sin(A,B),，判断三角形的形状,【,自主解答,】,方法一：,由已知得,a,2,sin(A,B),sin(A,B),b,2,sin(A,B),sin(A,B),，,2a,2,cosAsinB,2b,2,cosBsinA.,由正弦定理，得,sin,2,AcosAsinB,sin,2,BcosBsinA,，,sinAsinB(sinAcosA,sinBcosB),0,，,sin2A,sin2B,，由,0,A,B,，,得,2A,2B,或,2A,2B,，,即,ABC,是等腰三角形或直角三角形,方法二：同方法一可得,2a,2,cosAsinB,2b,2,cosBsinA,，,由正、余弦定理，即得,a,2,(b,2,c,2,a,2,),b,2,(a,2,c,2,b,2,),，,即,(a,2,b,2,)(c,2,a,2,b,2,),0,，,a,b,或,c,2,a,2,b,2,，,故,ABC,为等腰三角形或直角三角形,【,方法点评,】,依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：,(1),利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；,(2),利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用,A,B,C,这个结论,2,已知方程,x,2,(bcosA)x,acos B,0,的两根之积等于两根之和，,a,，,b,为,ABC,的两边，,A,，,B,为两内角，试判断这个三角形的形状,【,解析,】,方法一：设方程的两根为,x,1,，,x,2,，由韦达定理知：,x,1,x,2,bcos A,，,x,1,x,2,acos B.,依题意，得,bcos A,acos B.,所以,b,2,c,2,a,2,a,2,c,2,b,2,，即,2b,2,2a,2,，即,a,b,，,所以,ABC,是等腰三角形,方法二：设方程的两根,x,1,，,x,2,，由韦达定理及题意，得,b,cos A,a,cos B,，,由正弦定理,，得,2Rsin Bcos A,2Rsin Acos B,，,即,sin Acos B,cos A,sin B,0,，,sin(A,B),0.,A,，,B,为,ABC,的内角，,0,A,，,0,B,，,A,B,.,A,B,0,，即,A,B,，故,ABC,是等腰三角形,在海岸,A,处，发现北偏东,45,方向，距,A,处,(),n mile,的,B,处有一艘走私船，在,A,处北偏西,75,的方向，距离,A,处,2 n mile,的,C,处的缉私船奉命以,n mile/h,的速度追截走私船此时，走私船正以,10 n mile/h,的速度从,B,处向北偏东,30,方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？,【,思路点拨,】,本例考查正弦、余弦定理的建模应用如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在,D,处相遇，则可先在,ABC,中求出,BC,，再在,BCD,中求,BCD.,【,自主探究,】,设缉私船用,t h,在,D,处追上走私船，,即缉私船沿东偏北,30,方向能最快追上走私船,【,方法点评,】,1.,测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义,2,在解应用题时，分析题意，分清已知与所求、再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理,“,联袂,”,使用的优点,3.,如图，某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在,A,处获悉后，立即测出该船在方位角为,45,，与之相距,10,海里的,C,处，还测得该船正沿方位角,105,的方向以每小时,9,海里的速度行驶，我海上救生艇立即以每小时,21,海里的速度前往营救，试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间,【,解析,】,设所需时间为,t,小时，在点,B,处相遇,在,ABC,中，,ACB=120,，,AC=10,，,AB=21t,，,BC=9t,，,由余弦定理得：,(21t)2=102+(9t)2-2,10,9t,cos120,，,整理得：,36t2-9t-10=0,，,解得：,t1=,，,t2=(,舍去,),由正弦定理得：,所以,CAB21,47.,所以该海上救生艇的航向为方位角,66,47,，与呼救船相遇所需时间为小时,【,答案,】,D,2,(2009,年全国,高考,),在,ABC,中，内角,A,、,B,、,C,的对边长分别为,a,、,b,、,c.,已知,a,2,c,2,2b,，且,sin Acos C,3cos A sin C,，求,b.,【,解析,】,由余弦定理得,a,2,c,2,b,2,2bccos A.,又,a,2,c,2,2b,，,b,0,，所以,b,2ccos A,2.,又,sin Acos C,3cos Asin C,，,sin Acos C,cos Asin C,4cos Asin C,，,sin(A,C),4cos Asin C,，,sin B,4sin Ccos A.,由正弦定理得,sin B,，,故,b,4ccos A,由、解得,b,4.,(1),求,sin C,的值,(2),求,ABC,的面积,(1),求,sin C,的值,(2),求,ABC,的面积,4.,(2009,年宁夏、海南高考,),为了测量两山顶,M,、,N,间的距离，飞机沿水平方向在,A,、,B,两点进行测量,A,、,B,、,M,、,N,在同一个铅垂平面内,(,如图,),飞机能够测量的数据有俯角和,A,、,B,间的距离请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据,(,用字母表示，并在图中标出,),；用文字和公式写出计算,M,、,N,间的距离的步骤,【,解析,】,方法一：需要测量的数据有：,A,点到,M,、,N,点的俯角,1,，,1,；,B,点到,M,、,N,点的俯角,2,、,2,；,A,、,B,的距离,d(,如图所示,),方法二：需要测量的数据有：,A,点到,M,、,N,点的俯角,1,、,1,；,B,点到,M,、,N,点的俯角,2,、,2,；,A,、,B,的距离,d(,如图所示,),第一步：计算,BM.,由正弦定理,BM,1,解斜三角形问题往往用到正弦定理与余弦定理以及三角恒等变换，解题时角度的选取是关键,2,对于解斜三角形的实际应用问题，要理解题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，构造出三角形把实际问题转化为解三角形问题,3,利用正、余弦定理可以进行边角互化，实现边角统一，有利于判断三角形的形状,4,解决三角形中的计算与证明问题，要注意以下几点：,(1),用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解,(2),要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为,60,；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：,sin A,sin(B,C),，,cos A,cos(B,C),，,sin,，,sin 2A,sin 2(B,C),，,cos 2A,cos 2(B,C),等,(3),对轮换对称式的化简、计算、证明，可选择其中的一部分进行运算，其他部分同理推证，其间可设大小关系,(4),对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当,“,放缩,”,(5),合理利用,“,比例性质,”,，往往可使问题简化，减少运算量,课时作业,点击进入链接,