线性代数§6.2线性空间的维数、基与坐标.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6.2,线性空间的维数、基与坐标,一、线性空间的基与维数,已知,:,在,R,n,中,线性无关的向量组最多由,n,个向量组成,而任意,n,+1,个向量都是线性相关的,.,问题,1,:,在线性空间中是否也可以定义线性无关的概念,?,问题,2,:,线性空间的一个重要特征,在线性空间,V,中,最多能有多少线性无关的向量,?,定义,:,设,V,为线性空间,对,1,2,m,V,如果存在不全为零的数,k,1,k,2,k,m,R,使,k,1,1,+,k,2,2,+,k,m,m,=0,则称,1,2,m,是,线性相关,的,否则称它是,线性无关,.,定义,:,在线性空间,V,中,如果存在,n,个元素,1,2,n,V,满足,:,(1),1,2,n,线性无关,;,(2),V,中,任意元素,总可以由,1,2,n,线性表示,则称,1,2,n,为线性空间,V,的一个,基,称,n,为线性空间,V,的,维数,.,当一个线性空间,V,中存在任意多个线性无关的向量时,就称,V,是,无限维的,.,维数为,n,的线性空间,V,称为,n,维线性空间,记作,V,n,.,若,1,2,n,为,V,n,的,一个基,则,V,n,可,表示为,:,V,n,=,=,x,1,1,+,x,2,2,+,x,n,n,|,x,1,x,2,x,n,R,二、元素在给定基下的坐标,定义:,设,1,2,n,为线性空间,V,n,的一个基,对任意,V,总有且仅有一组有,序数,x,1,x,2,x,n,使,=,x,1,1,+,x,2,2,+,x,n,n,则称,有序数组,x,1,x,2,x,n,为,元素,在基,1,2,n,下的坐标,并记作,=,(,x,1,x,2,x,n,),T,.,例,1:,在线性空间,P,x,4,中,p,0,=1,p,1,=,x,p,2,=,x,2,p,3,=,x,3,p,4,=,x,4,就是,P,x,4,的一个基.,任意不超过4次的多项式:,p,(,x,),=,a,0,+,a,1,x,+,a,2,x,2,+,a,3,x,3,+,a,4,x,4,P,x,4,都可表示为,p,(,x,),=,a,0,p,0,+,a,1,p,1,+,a,2,p,2,+,a,3,p,3,+,a,4,p,4,因此,p,(,x,),在这个基,1,x,x,2,x,3,x,4,下的坐标为,p,(,x,),=(,a,0,a,1,a,2,a,3,a,4,),T,.,注意,:,线性空间,V,的任一元素,在一个基下对应的坐标是唯一的,在不同的基下所对应的坐标一般不同,.,若,取另一个基,:,q,0,=1,q,1,=1+,x,q,2,=2,x,2,q,3,=,x,3,q,4,=,x,4,则,因此,p,(,x,),在这个基下的坐标为,例,2:,所有二阶实矩阵组成的集合,R,2,2,对于矩阵的加法和数量乘法,构成实数域,R,上的一个线性空间,.,对于,R,2,2,中的矩阵,k,1,E,11,+,k,2,E,12,+,k,3,E,21,+,k,4,E,22,=,因此,有,k,1,E,11,+,k,2,E,12,+,k,3,E,21,+,k,4,E,22,=,O,设,而,k,1,=,k,2,=,k,3,=,k,4,=0.,即,E,11,E,12,E,21,E,22,线性无关,.,对,任意实二阶矩阵,有,A,=,a,11,E,11,+,a,12,E,12,+,a,21,E,21,+,a,22,E,22,.,所以,E,11,E,12,E,21,E,22,为,V,的一个基,.,而,A,在基,E,11,E,12,E,21,E,22,下的坐标为,:,A,=(,a,11,a,12,a,21,a,22,),T,.,例,3:,在线性空间,P,x,n,中,取一组基,:,0,=1,1,=,(,x,a,),2,=,(,x,a,),2,n,=(,x,a,),n,.,则由泰勒公式知,对任意不超过,n,次的多项式,f,(,x,),都有,:,因此,f,(,x,),P,x,n,在基,0,1,2,n,下的坐标为,:,三、线性空间的同构,设,1,2,n,是,n,维线性空间,V,n,的一组基,在这组基下,V,n,中的每个向量都有唯一确定的坐标,.,而向量在这组基下的坐标,可以看作,R,n,中的元素,因此向量与它的坐标之间的对应关系,就是,V,n,到,R,n,的,一个,映射,.,由于,R,n,中的每个元素都有,V,n,中的向量与之对应,同时,V,n,中,不同向量的坐标不同,因而对应,R,n,中的不同元素.我们称这样的映射是,V,n,与,R,n,的,一个,一一对应的映射,这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.,设,=,a,1,1,+,a,2,2,+,a,n,n,=,b,1,1,+,b,2,2,+,b,n,n,即,向量,V,n,在基,1,2,n,下的坐标分别为:,=,(,a,1,a,2,a,n,),T,=,(,b,1,b,2,b,n,),T,则,+,=,(,a,1,+,b,1,),1,+,(,a,1,+,b,1,),2,+,+,(,a,1,+,b,1,),n,k,=,ka,1,1,+,ka,2,2,+,ka,n,n,于是,+,与,k,的坐标分别为:,(,a,1,+,b,1,a,2,+,b,2,a,n,+,b,n,),=,(,a,1,a,2,a,n,),T,+,(,b,1,b,2,b,n,),T,(,k,a,1,k,a,2,k,a,n,),T,=,k,(,a,1,a,2,a,n,),T,.,上式表明,:在向量用坐标表示后,它们的运算就归结为坐标的运算,因而对线性空间,V,n,的讨论就归结为线性空间,R,n,的讨论.,下面更确切地说明这一点,定义:,设,U,V,是两个线性空间,如果它们的元素之间有,一一对应关系,且这个对应关系保持线性组合的对应,那末就称线性空间,U,与,V,同构,.,例如:,n,维线性空间,V,n,=,=,x,1,1,+,x,2,2,+,x,n,n,|,x,1,x,2,x,n,R,与,n,维数组向量空间,R,n,同构.,(1),V,n,中的元素,与,R,n,中的元素,x,=,(,x,1,x,2,x,n,),T,形成一一对应关系:,因为,V,n,:,=,x,1,1,+,x,2,2,+,x,n,n,R,n,:,x,=,(,x,1,x,2,x,n,),T,(2),设,(,a,1,a,2,a,n,),T,(,b,1,b,2,b,n,),T,+,(,a,1,a,2,a,n,),T,+,(,b,1,b,2,b,n,),T,k,k,(,a,1,a,2,a,n,),T,.,则有,结论:,1.同一数域,P,上,的同维数线性空间都同构;,2.同构的线性空间之间具有,等价性,(即自反性,对称性与传递性).,同构的意义:,在对抽象线性空间的讨论中,无论构成线性空间的元素是什么,其中的运算是如何定义的,我们所关心的只是这些运算的代数(线性运算)性质.从这个意义上可以说,同构的线性空间是可以不加区别的,而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数.,四、小结,1.线性空间的,基,与,维,数,.,2.线性空间的,元素在给定基下的坐标,:,(1)把抽象的向量与具体的,数组向量,联系起来;,(2)把抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系起来.,3.线性空间的,同构,.,思考题解答,令,k,1,f,1,(,x,)+,k,2,f,2,(,x,)+,k,2,f,3,(,x,)+,k,4,f,4,(,x,),=,0,因此,则,得:,(,k,1,+2,k,2,+,k,3,+2,k,4,),x,3,+(2,k,1,3,k,2,5,k,4,),x,2,+(4,k,1,+9,k,2,+6,k,3,+7,k,4,),x,+(,k,1,k,2,5,k,3,+5,k,4,)=0.,思考题,求由,P,x,3,中的元素:,f,1,(,x,)=,x,3,2,x,2,+4,x,+1,f,2,(,x,)=2,x,3,3,x,2,+9,x,1,f,3,(,x,)=,x,3,+6,x,5,f,4,(,x,)=2,x,3,5,x,2,+7,x,+5,生成的子空间的基与维数.,因此,f,1,(,x,),f,2,(,x,),线性无关,且是由,f,1,(,x,),f,2,(,x,),f,3,(,x,),f,4,(,x,),所生成的子空间的基,该子空间的维数为,2,且有,f,3,(,x,),=3,f,1,(,x,),+2,f,2,(,x,),f,4,(,x,),=4,f,1,(,x,),f,2,(,x,).,设该齐次线性方程组的系数矩阵为,A,则,