2022-2023学年广东省广州市白云区广雅实验学校九年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2022-2023 学年广东省广州市白云区广雅实验学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．）

1．（3 分）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是( )

A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱2．（3 分）下列数学符号属于中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
3．（3 分）一元二次方程 x2+6x+9＝0 的根的情况是（ ）

A．有两个相等的实数根

B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
4．（3 分）下列事件中是必然事件的是(

)
D．没有实数根
A．打开电视机，正在播放《开学第一课》B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．任意画一个三角形，其内角和是180° D．买一张彩票，一定不会中奖
5．（3 分）已知反比例函数 y = - 6 ，下列结论中不正确的是( )
x
A. 图象必经过点(-3, 2)

B. 图象位于第二、四象限C．图象关于原点对称
D．在每一个象限内． y 随 x 的增大而减小

第 9页（共 25页）

6 ．（ 3 分） 如图， 四边形 ABCD 是 eO 的内接四边形， 点 E 是 BC 延长线上一点， 若
ÐBAD = 114° ，则ÐDCE 的度数是( )

A． 94° B．124° C．104° D．114° 7．（3 分）若函数 y = x2 - 4x + m 的图象上有两点 A(0, y ) ， B(1, y ) ，则( )
1 2

A． y1 > y2 B． y1 < y2

C． y1 = y2 D． y1 ， y2 的大小不确定

8．（3 分）为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点 A ．再在河的这一边选定点 B 和C ，使 AB ^ BC ，然后再选定点 E ，使 EC ^ BC ，用视线确定 BC 与 AE 交于点 D ．此时，测得 BD = 120m ， DC = 60m ， EC = 50m ，则两岸间的距离 AB 是( )
A．120m B．110m C．100m D． 90m

9．（3 分）如图，在RtDABC 中，ÐC = 90° ，ÐA = 60° ， AC = 4cm ，以点C 为圆心，以5cm
长为半径作圆，则 AB 的中点 D 与eC 的位置关系是( )
A．圆上 B．圆外 C．圆内 D．不确定

10．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2 - 4mx + 3m2 = 0(m > 0) 的一根比另一根大 2，则 m 的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共 6 小题，满分 18 分．）
11．（3 分）坐标平面内的点 P(m, -2) 与点Q(3, n) 关于原点对称，则 m + n = ．
12．（3 分）卡塔尔足球世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了 6 场比赛，则该小组有 支球队．
3
13．（3 分）如图，已知正六边形的边心距OG 为 ，则它的边长 AB 为 ．

14．（3 分）一个不透明的箱子中有 2 个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别．若任意
1

摸出一个球，摸出红球的概率为
，则这个箱子中黄球的个数为 个．
5

15．（3 分）将二次函数 y = (x - 2)2 - 4 的图象向左平移 1 个单位长度，向上平移 2 个单位长

度，平移后的二次函数解析式为 ．

16．（3 分）如图，在RtDABC 中， ÐABC = 40° ， AB = 6 ，斜边 AB 是半圆O 的直径，点 D是半圆上的一个动点，连接 CD 与 AB 交于点 E ，若DBCE 是等腰三角形，则弧 BD 的长为 ．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4 分）解方程： x2 - 4x = 5 ．

18．（4 分）如图， DABC 的顶点都在正方形网格格点上，将DABC 绕点 A 逆时针方向旋转得到△ AB¢C¢ ，点 B 对应点 B¢ 如图所示．
（1） 旋转角是 度；

（2） 请画出△ AB¢C¢ ．

19．（6 分）如图，PA ，PB 是eO 的切线，A ，B 为切点，AC 是eO 的直径，ÐBAC = 25° ．求
ÐP 的度数．

20．（10 分）甲口袋中装有 3 个相同的小球，它们分别写有数值-1 ，2，5；乙口袋中装有 3个相同的小球，它们分别写有数值-4 ，2，3．现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为 x ，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为 y ．设点 A 的坐标为(x, y) ．
（1） 请用树状图或列表法表示点 A 的坐标的各种可能情况；
（2） 求点 A 落在反比例函数 y = 4 图象上的概率．
x

21．（10 分）如图，在等腰直角DACF 中， AC = AF ， DABE 是由DACF 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的，连接 EF 、 BC ．
（1） 求证： EF = BC ；
（2） 当旋转角为 40° 时，求ÐBCF 的度数．

22．（10 分）如图，某校准备为投资 1 万元围一个矩形的运动场地，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造且三边的总长为60m ，墙长35m ，平行于墙的边的费用为 200 元/m ， 垂直于墙的边的费用 150 元/m ，设垂直于墙的边长为 x m ．
（1） 若运动场地面积为 400m2 ，求 x 的值；
（2） 当运动场地的面积最大时是否会超过了预算？

23．（9 分）如图，反比例函数 y = k (x > 0) 的图象经过点 A(2, 4) 和点 B ，点 B 在点 A 的下方，
x
AC 平分ÐOAB ，交 x 轴于点C ．
（1） 求反比例函数的表达式．

（2） 尺规作图：作出线段 AC 的垂直平分线，分别与OA 、OB 交于点 D 、 E ．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（3） 在（2）的条件下，连接CD ．求证： CD / / AB ．

24．（9 分）如图， D 是等腰三角形 ABC 底边的中点，过点 A 、 B 、 D 作eO ．
（1） 求证： AB 是eO 的直径；
（2） 延长CB 交eO 于点 E ，连接 DE ，求证： DC = DE ；
（3） 若 BC = 5 ， CD = 4 ，求 BE 长．

25．（10 分）平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2﹣2mx+m2+2m+2 与 x 轴有两个交点．
（1） 求抛物线的对称轴（用含有 m 的式子表示）：

（2） 过点 P（0，m﹣1）作直线 l⊥y 轴，抛物线的顶点 A 在直线 l 与 x 轴之间（不包含点 A 在直线 l 上），求 m 的范围：
（3） 在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与直线 l 相交于点 B．结合图象，求△ABO

的面积最大时 m 的值．

第 25页（共 25页）

2022-2023 学年广东省广州市白云区广雅实验学校九年级（上） 期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是( )

A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱
【解答】解：Q圆锥的侧面展开图是扇形，
\判断这个几何体是圆锥， 故选： A ．
2．（3 分）下列数学符号属于中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
【解答】解： A 、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B 、是中心对称图形，故本选项符合题意； C 、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D 、不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选： B ．
3．（3 分）一元二次方程 x2+6x+9＝0 的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

【解答】解：∵Δ＝62﹣4×1×9＝0，
∴一元二次方程 x2+6x+9＝有两个相等的实数根． 故选：A．
4．（3 分）下列事件中是必然事件的是( )

A. 打开电视机，正在播放《开学第一课》

B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．任意画一个三角形，其内角和是180° D．买一张彩票，一定不会中奖
【解答】解： A 、打开电视机，正在播放《开学第一课》，是随机事件，不符合题意；

B 、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； C 、任意画一个三角形，其内角和是180° ，是必然事件，符合题意； D 、买一张彩票，一定不会中奖，是随机事件，不符合题意；
故选： C ．
5．（3 分）已知反比例函数 y = - 6 ，下列结论中不正确的是( )
x
A. 图象必经过点(-3, 2)

B. 图象位于第二、四象限C．图象关于原点对称
D．在每一个象限内． y 随 x 的增大而减小
【解答】解：Q反比例函数 y = - 6 ，
x
\图象必经过点(-3, 2) ，故选项 A 正确，不符合题意； 图象位于第二、四象限，故选项 B 正确，不符合题意； 图象关于原点对称，故选项C 正确，不符合题意；
在每一个象限内． y 随 x 的增大而增大，故选项 D 不正确，符合题意；

故选： D ．
6 ．（ 3 分） 如图， 四边形 ABCD 是 eO 的内接四边形， 点 E 是 BC 延长线上一点， 若
ÐBAD = 114° ，则ÐDCE 的度数是( )
A． 94° B．124° C．104° D．114°
【解答】解：QÐBAD = 114° ，
\ÐBCD = 180° - ÐBAD = 66° ，

\ÐDCE = 180° - ÐBCD = 114° ． 故选： D ．
7．（3 分）若函数 y = x2 - 4x + m 的图象上有两点 A(0, y ) ， B(1, y ) ，则( )
1 2

A． y1 > y2 B． y1 < y2

C． y1 = y2 D． y1 ， y2 的大小不确定

【解答】解：Q二次函数的对称轴为直线 x = - -4 = 2 ，抛物线开口向上，
2
\当 x < 2 时． y 随 x 的增大而减小，
Q 0 < 1 < 2 ，
\ y1 > y2 ， 故选： A ．
8．（3 分）为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点 A ．再在河的这一边选定点

B 和C ，使 AB ^ BC ，然后再选定点 E ，使 EC ^ BC ，用视线确定 BC 与 AE 交于点 D ．此时，测得 BD = 120m ， DC = 60m ， EC = 50m ，则两岸间的距离 AB 是( )
A．120m B．110m C．100m D． 90m
【解答】解：Q AB ^ BC ， EC ^ BC ，
\ÐB = ÐC = 90° ，
QÐADB = ÐCDE ，
\DADB∽DEDC ，
\ AB = BD ，
EC CD
\ AB = 120 ，
50 60
\ AB = 100m ， 故选： C ．

9．（3 分）如图，在RtDABC 中，ÐC = 90° ，ÐA = 60° ， AC = 4cm ，以点C 为圆心，以5cm
长为半径作圆，则 AB 的中点 D 与eC 的位置关系是( )
A．圆上 B．圆外 C．圆内 D．不确定

【解答】解：连接CD ，
QÐC = 90° ， ÐA = 60° ， AC = 4cm ，
\tan 60° = BC ，
AC

Q BC = 4 3cm ，

\ AB =
BC

sin 60°
= 4 3 = 8cm ，
3
2

Q点 D 是 AB 的中点，
\CD = 1 AB = 4 ，
2
Q 4 < 5 ，
\点 D 在eC 内． 故选： C ．
10．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2 - 4mx + 3m2 = 0(m > 0) 的一根比另一根大 2，则 m 的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解： x2 - 4mx + 3m2 = 0(m > 0) ，

\(x - 3m)(x - m) = 0 ，
\ x - 3m = 0 或 x - m = 0 ， 解得 x1 = 3m ， x2 = m ，

\3m - m = 2 ， 解得 m = 1． 故选： A ．
二、填空题（本大题共 6 小题，满分 18 分．）
11．（3 分）坐标平面内的点 P(m, -2) 与点Q(3, n) 关于原点对称，则 m + n = -1 ．
【解答】解：Q点 P(m, -2) 与点Q(3, n) 关于原点对称，
\ m = -3 ， n = 2 ，
所以， m + n = -3 + 2 = -1． 故答案为： -1 ．
12．（3 分）卡塔尔足球世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了 6 场比赛，则该小组有 4 支球队．
【解答】解：设该小组有 x 支球队，
根据题意得： 1 x(x - 1) = 6 ，
2
整理得： x2 - x - 12 = 0 ，

解得： x1 = 4 ， x2 = -3 （不符合题意，舍去），

\该小组有 4 支球队． 故答案为：4．
3
13．（3 分）如图，已知正六边形的边心距OG 为 ，则它的边长 AB 为 2 ．

【解答】解：如图，连接OA 、OB ，
Q OG ^ AB ，
\ÐOGA = 90° ， AG = BG = 1 AB ， ÐAOB = 60° ，
2
Q OA = OB ，

\ÐAOG = 1 ÐAOB = 30° ，
2
\ AG = 1 OA ，
2
设 AG = x ，则OA = 2x ， AB = 2x ，
在RtDAOG 中，由勾股定理得： OA2 - AG2 = OG2 ， 即(2x)2 - x2 = ( 3)2 ，
解得： x = 1 （负值已舍去），
\ AB = 2x = 2 ，
即正六边形的边长为 2， 故答案为：2．
14．（3 分）一个不透明的箱子中有 2 个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别．若任意
1

摸出一个球，摸出红球的概率为
，则这个箱子中黄球的个数为 8 个．
5

【解答】解：设这个箱子中黄球的个数为 x 个，

根据题意得， 2
2 + x
= 1 ，
5

解得 x = 8 ． 故答案为：8．
15．（3 分）将二次函数 y = (x - 2)2 - 4 的图象向左平移 1 个单位长度，向上平移 2 个单位长度，平移后的二次函数解析式为 y = (x -1)2 - 2 ．
【解答】解：将二次函数 y = (x - 2)2 - 4 的图象向左平移 1 个单位长度，向上平移 2 个单位长度，平移后的二次函数解析式为 y = (x - 2 + 1)2 - 4 + 2 ，即 y = (x -1)2 - 2 ．
故答案为： y = (x -1)2 - 2 ．

16．（3 分）如图，在RtDABC 中， ÐABC = 40° ， AB = 6 ，斜边 AB 是半圆O 的直径，点 D

是半圆上的一个动点，连接CD 与 AB 交于点 E ，若DBCE 是等腰三角形，则弧 BD 的长为
7p 或 4p ．
3 3
【解答】解：如图 1 中，当 BE = BC 时，

Q BE = BC ， ÐEBC = 40° ，
\ÐBCE = ÐBEC = 1 (180° - 40°) = 70° ，
2
Q弧 BD = 弧 BD ，
\ÐBOD = 2ÐBCE = 140° ，
\ B¶D 的长= 140p´ 3 = 7p ．
180 3

如图 2 中，当 EB = EC 时，点 E 与O 重合，此时ÐBOD = 80° ，

\ B¶D 的长= 80p´ 3 = 4p，
180 3
故答案为： 7p 或 4p ．
3 3
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4 分）解方程： x2 - 4x = 5 ．
【解答】解：Q x2 - 4x = 5
\ x2 - 4x - 5 = 0
\(x - 5)(x + 1) = 0

\ x - 5 = 0 ， x + 1 = 0

\原方程的解为： x1 = 5 ， x2 = -1 ．

18．（4 分）如图， DABC 的顶点都在正方形网格格点上，将DABC 绕点 A 逆时针方向旋转得到△ AB¢C¢ ，点 B 对应点 B¢ 如图所示．
（1） 旋转角是 90 度；

（2） 请画出△ AB¢C¢ ．

【解答】解：（1）Q将 DABC 绕点 A 逆时针方向旋转得到△ AB¢C¢ ，
\旋转中心是点 A ，
由图可知DABB¢ 是等腰直角三角形，
\ÐBAB¢ = 90° ，即旋转角为90° ， 故答案为：90；
（2）如图：

△ AB¢C¢ 即为所求．
19．（6 分）如图，PA ，PB 是eO 的切线，A ，B 为切点，AC 是eO 的直径，ÐBAC = 25° ．求
ÐP 的度数．

【解答】解：

Q PA 、 PB 是eO 的切线，
\ PA = PB ，
\ÐPAB = ÐPBA ，

Q AC 是eO 的直径， PA 是eO 的切线，
\ AC ^ AP ，
\ÐCAP = 90° ，
QÐBAC = 25° ，
\ÐPBA = ÐPAB = 90° - 25° = 65° ，
\ÐP = 180° - ÐPAB - ÐPBA = 180° - 65° - 65° = 50° ．
20．（10 分）甲口袋中装有 3 个相同的小球，它们分别写有数值-1 ，2，5；乙口袋中装有 3个相同的小球，它们分别写有数值-4 ，2，3．现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为 x ，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为 y ．设点 A 的坐标为(x, y) ．
（1） 请用树状图或列表法表示点 A 的坐标的各种可能情况；
（2） 求点 A 落在反比例函数 y = 4 图象上的概率．
x

【解答】解：（1）列表如下：

甲 乙
-4
2
3
-1
(-1, -4)
(-1, 2)
(-1, 3)
2
(2, -4)
(2, 2)
(2,3)
5
(5, -4)
(5, 2)
(5, 3)
总共有 9 种等可能的结果；
（2）Q(-1, -4) ， (2, 2) 在反比例函数 y = 4 图象上，
x
\点 A 落在反比例函数 y = 4 图象上的概率 P = 2 ．
x 9
21．（10 分）如图，在等腰直角DACF 中， AC = AF ， DABE 是由DACF 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的，连接 EF 、 BC ．
（1） 求证： EF = BC ；
（2） 当旋转角为 40° 时，求ÐBCF 的度数．
【解答】（1）证明：Q DABE 是由DACF 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的，
\DABE @ DACF ，
\ AE = AF ， AB = AC ； ÐBAE = ÐCAF ，
\ÐBAC = ÐEAF ，
QDACF 是等腰直角三角形，
\ AE = AF = AB = AC ，
\DACB @ DAFE (SAS ) ，
\ EF = BC ；
（2）解：Q旋转角为 40° ，
\ÐCAB = 40° ，

Q AB = AC ，
\ÐACB = 70° ，
QDACF 是等腰直角三角形，
\ÐACF = 45° ，
\ÐBCF = ÐACB - ÐACF = 25° ．
22．（10 分）如图，某校准备为投资 1 万元围一个矩形的运动场地，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造且三边的总长为60m ，墙长35m ，平行于墙的边的费用为 200 元/m ， 垂直于墙的边的费用 150 元/m ，设垂直于墙的边长为 x m ．
（1） 若运动场地面积为 400m2 ，求 x 的值；
（2） 当运动场地的面积最大时是否会超过了预算？

【解答】解：（2）根据题意，得： (60 - 2 x) x = 400 ，解得： x = 20 或 x = 10 ，
Q墙的长度为35m ，
\ x = 20 ；

（2）设运动场地的面积是 S ， 则 S = (60 - 2x)x
= -2x2 + 60x

= -2(x -15)2 + 450 ，

Q-2 < 0 ，
\当 x < 15 时， S 随 x 的增大而增大，
\当 x = 15 时， S 取得最大值，
\总费用= 30 ´ 200 + 30 ´150 = 10500 > 10000 ，
\超过预算．
23．（9 分）如图，反比例函数 y = k (x > 0) 的图象经过点 A(2, 4) 和点 B ，点 B 在点 A 的下方，
x
AC 平分ÐOAB ，交 x 轴于点C ．

（1） 求反比例函数的表达式．

（2） 尺规作图：作出线段 AC 的垂直平分线，分别与OA 、OB 交于点 D 、 E ．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（3） 在（2）的条件下，连接CD ．求证： CD / / AB ．

【解答】（1）解：Q反比例函数 y = k (x > 0) 的图象经过点 A(2, 4) ，
x
\ 4 = k ，
2
\ k = 4 ´ 2 = 8 ，
\反比例函数的表达式为 y = 8 (x > 0) ；
x
（2） 解：如图，直线 m 即为线段 AC 的垂直平分线；

（3） 证明：Q AC 平分ÐOAB ，
\ÐDAC = ÐBAC ，
Q点 D 在线段 AC 的垂直平分线上，
\ DA = DC ，
\ÐDAC = ÐDCA ，
\ÐBAC = ÐDCA ，

\CD / / AB ．
24．（9 分）如图， D 是等腰三角形 ABC 底边的中点，过点 A 、 B 、 D 作eO ．
（1） 求证： AB 是eO 的直径；
（2） 延长CB 交eO 于点 E ，连接 DE ，求证： DC = DE ；
（3） 若 BC = 5 ， CD = 4 ，求 BE 长．
【解答】（1）证明：连接 BD ，
Q AB = CB ， AD = CD ，
\ BD ^ AC ，
\ÐADB = 90° ，
\ AB 是eO 的直径．
（2）证明：QÐE = ÐA ， ÐC = ÐA ，
\ÐE = ÐC ，
\ DC = DE ．
（3）解法一：QÐE = ÐA ， ÐC = ÐC ，
\DEDC∽DABC ，
Q BC = 5 ， CD = 4 ，
\ CE = CD = 4 ， CA = 2CD = 8 ，
CA BC 5
\CE = 4 ´ 8 = 32 ，
5 5
\ BE = CE - BC = 32 - 5 = 7 ，
5 5
\ BE 长是 7 ．
5
解法二：作 DF ^ BC 于点 F ，则ÐCFD = 90° ，
QÐBDC = 90° ， BC = 5 ， CD = 4 ，

52 - 42
\ BD = = 3 ，

Q 1 BC × DF = 1 CD × BD = S
2 2

DBCD ，

\ DF = CD × BD = 4 ´ 3 = 12 ，

4 - ( )
5
2
12
2
BC

\CF =
5 5
= 16 ，
5

\ BE = CE - BC = 2 ´ 16 - 5 = 7 ，
5 5
\ BE 长是 7 ．
5
25．（10 分）平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2﹣2mx+m2+2m+2 与 x 轴有两个交点．
（1） 求抛物线的对称轴（用含有 m 的式子表示）：

（2） 过点 P（0，m﹣1）作直线 l⊥y 轴，抛物线的顶点 A 在直线 l 与 x 轴之间（不包含点 A 在直线 l 上），求 m 的范围：
（3） 在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与直线 l 相交于点 B．结合图象，求△ABO

的面积最大时 m 的值．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝x2﹣2mx+m2+2m+2＝（x﹣m）2+2m+2，
∴抛物线的对称轴为直线 x＝m；

（2）∵y＝x2﹣2mx+m2+2m+2＝（x﹣m）2+2m+2，
∴抛物线顶点坐标为 A（m，2m+2），

∵二次函数图象的顶点 A 在直线 l 与 x 轴之间（不包含点 A 在直线 l 上），

∴当直线 l 在 x 轴上方时 ，

此时不等式组无解，

当直线 l 在 x 轴下方时 ，

解得﹣3＜m＜﹣1；

（3）由（1）得：点 A 在点 B 上方，则 AB＝2m+2﹣m+1＝m+3，

∵﹣3＜m＜﹣1，
∴△ABO 的面积，
∵ ，

∴当 时， ．