2022-2023学年广东省广州市天河区天河中学九年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2022-2023 学年广东省广州市天河中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）
1．（3 分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A． B．
C． D．

2．（3 分）若两个相似三角形的面积之比为 4 : 9 ，则它们对应角的平分线之比为( )

第 9页（共 23页）

A. 2
3
B. 3
2

C. 6 3

D. 6 2

3．（3 分）下列事件是随机事件的是( )

A. 打开电视机，正在播足球比赛

B. 当室外温度低于0° C 时，一碗清水在室外会结冰
C. 在只装有五个红球的袋中摸出一球是红球D．在只装有 2 只黑球的袋中摸出 1 球是白球
4．（3 分）下列各点中，在函数 y = - 6 图象上的是( )
x

A． (-2, -4)
B． (2,3) C． (-1, 6)
D． (- 1 ， 3) 2

5．（3 分）用配方法解一元二次方程 x2 - 8x = 9 时，原方程可变形为( )

A． (x - 8)2 = 25
B． (x - 8)2 = 17
C． (x - 4)2 = 25
D． (x - 4)2 = 17

2
6．（3 分）如图是用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为 1，高为 2
，则这个圆锥

的侧面积是( )

A． 4p B． 3p C．p D． 2p

7．（3 分）关于函数 y = -3(x + 1)2 - 2 ，下列描述错误的是( )

A. 开口向下

B. 对称轴是直线 x = -1
C. 函数最大值是-2
D. 当 x > -1 时， y 随 x 的增大而增大
8．（3 分）下列各组线段中，成比例的是( )

A．1cm ， 2cm ， 3cm ， 4cm B． 2cm ， 3cm ， 4cm ， 5cm

C．1cm ， 2cm ， 3cm ， 5cm D．1cm ， 2cm ， 5cm ，10cm
9．（3 分）如图， AB 是eO 的直径， B¶C = C¶D = D¶E ， ÐCOD = 38° ，则ÐAEO
的度数是( )

A． 52° B． 57° C． 66° D． 78°
10．（3 分）如图，矩形 ABCD 中， AB = 5 ， AD = 12 ，将矩形 ABCD 按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转，则点 B 在两次旋转过程中经过的路径的长是( )

2
A． 25p B．13p C． 25p D． 25 2
二、填空题：（每题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）点 P(2, -3) 关于原点的对称点 P¢ 的坐标为 ．

12．（3 分）已知 x ， x 是一元二次方程 x2 - 5x - 6 = 0 的两个根，则 x × x = ．
1 2 1 2

13．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2 - ax + 6 = 0 的一个根是 2，则 a 的值为 ．

14．（3 分）抛物线 y = -2x2 向下平移 1 个单位，再向右平移 3 个单位后的解析式是 ．

15．（3 分）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了 150 次，其中有 50 次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球 10 个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有 个白球．
16．（3 分）如图， AB 是eO 的直径，点C 是半圆上的一个三等分点，点 D 是 ¶AC 的中点，点 P 是直径 AB 上一点，若eO 的半径为 2，则 PC + PD 的最小值是 ．

三、解答题：（共 72 分）

17．（4 分）解方程： (2x -1)2 = 3(2x -1) ．

18．（4 分）如图是反比例函数 y = 1 - k 的图象的一支，根据图象回答问题：
x
（1） 图象的另一支位于哪个象限？常数 k 的取值范围是什么？
（2） 若点 M (x ，y ) ，N (x ，y ) 均在反比例函数 y = 1 - k 的图象上，若0 < x



< x ，比较 y ，

1 1 1 2

y2 的大小关系．
x 1 2 1

19．（6 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，BF = 1 ，E 为 AB 的中点．求证：DAED∽DBFE ．

20．（6 分）在平面直角坐标系内，DABO 的三个顶点坐标分别为 A(-1, 3) ，B(-4, 3) ，O(0, 0) ．

（1） 画出DABO 绕点O 逆时针旋转90° 后得到△ A1B1O1 ，写出点 A1 的坐标；

（2） 在（1）的条件下，求点 A 旋转到点 A1 ，线段OA 所扫过的面积．

自选项目
立定跳远
三级蛙跳
跳绳
实心球
铅球
人数/ 人
9
13
8
b
4
频率
a
0.26
0.16
0.32
0.08

21．（8 分）某校对九年级学生参加体育“五选一”自选项目测试进行抽样调查，调查学生所报自选项目的情况统计如下：

（1） a = ， b = ．
（2） 该校有九年级学生 350 人，请估计这些学生中选“跳绳”的约有多少人？

（3） 在调查中选报“铅球”的 4 名学生，其中有 3 名男生，1 名女生．为了了解学生的训

练效果，从这 4 名学生中随机抽取两名学生进行“铅球”选项测试，请用列举法求所抽取的

两名学生中恰好有 1 名男生和 1 名女生的概率．

22．（10 分）如图，已知抛物线 y1 = x + mx 与 x 轴交于点 A(2, 0) ．
2

（1） 求 m 的值和顶点 M 的坐标；

（2） 求直线 AM 的解析式 y2 ；

（3） 根据图象，直接写出当 y1 > y2 时 x 的取值范围．

23．（10 分）某农场今年第一季度的产值为 50 万元，第二季度由于改进了生产方法，产值提高了 20% ；但在今年第三、第四季度时该农场因管理不善．导致其第四季度的产值与第
二季度的产值相比下降了 11.4 万元．

（1） 求该农场在第二季度的产值；

（2） 求该农场在第三、第四季度产值的平均下降的百分率．

24．（12 分）在平面直角坐标系中，二次函数 y = ax2 + bx + 4(a < 0) 的图象与 x 轴交于点

A(-2, 0) 和 B(4, 0) ，与 y 轴交于点C ，直线 BC 与对称轴交于点 D ．
（1） 求二次函数的解析式；

（2） 若抛物线 y = ax2 + bx + 4(a < 0) 的对称轴上有一点 M ，以O 、C 、D 、M 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 M 的坐标．

25．（12 分）如图， AB 为eO 直径， C ， D 为eO 上的两点，且ÐACD = 2ÐA ， CE ^ DB
交 DB 的延长线于点 E ．
（1） 求证： CE 是eO 的切线；
（2） 若 DE = 2CE ， AC = 4 ，求eO 的半径．

第 23页（共 23页）

2022-2023 学年广东省广州市天河中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）
1．（3 分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A． B．
C． D．

【解答】解： A ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选： D ．
2．（3 分）若两个相似三角形的面积之比为 4 : 9 ，则它们对应角的平分线之比为( )

A. 2
3
B. 3
2

C. 6 3

D. 6 2

【解答】解：Q两个相似三角形的面积之比为 4 : 9 ，
\两个相似三角形的相似比为 2 : 3 ，
\它们对应角的平分线之比为 2 : 3 ， 故选： A ．
3．（3 分）下列事件是随机事件的是( )

A. 打开电视机，正在播足球比赛

B. 当室外温度低于0° C 时，一碗清水在室外会结冰
C. 在只装有五个红球的袋中摸出一球是红球D．在只装有 2 只黑球的袋中摸出 1 球是白球
【解答】解： A 、打开电视机，正在播足球比赛是随机事件，故本选项正确；

B 、当室外温度低于0° C 时，一碗清水在室外会结冰是必然事件，故本选项错误；

C 、在只装有五个红球的袋中摸出一球是红球是必然事件，故本选项错误； D 、在只装有 2 只黑球的袋中摸出 1 球是白球是不可能事件，故本选项错误． 故选： A ．
4．（3 分）下列各点中，在函数 y = - 6 图象上的是( )
x

A． (-2, -4)
B． (2,3) C． (-1, 6)
D． (- 1 ， 3) 2

【解答】解： A 、Q(-2) ´ (-4) = 8 ¹ -6 ，\此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B 、Q 2 ´ 3 = 6 ¹ -6 ，\此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C 、Q(-1) ´ 6 = -6 ，\此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
D 、Q(- 1 ) ´ 3 = - 3 ¹ -6 ，\此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
2 2
故选： C ．

5．（3 分）用配方法解一元二次方程 x2 - 8x = 9 时，原方程可变形为( )

A． (x - 8)2 = 25
B． (x - 8)2 = 17
C． (x - 4)2 = 25
D． (x - 4)2 = 17

【解答】解： x2 - 8x = 9 ， 则 x2 - 8x + 16 = 9 + 16 ，
\(x - 4)2 = 25 ， 故选： C ．

2
6．（3 分）如图是用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为 1，高为 2
，则这个圆锥

的侧面积是( )

A． 4p B． 3p C．p D． 2p

(2 2)2 + 12
【解答】解：锥的母线长= = 3 ，

所以这个圆锥的侧面积= 1 × 2p×1× 3 = 3p．
2
故选： B ．

7．（3 分）关于函数 y = -3(x + 1)2 - 2 ，下列描述错误的是( )

A. 开口向下

B. 对称轴是直线 x = -1
C. 函数最大值是-2
D. 当 x > -1 时， y 随 x 的增大而增大

【解答】解：Q抛物线 y = -3(x + 1)2 - 2 ，
\该抛物线开口向下，故选项 A 不符合题意； 对称轴是直线 x = -1 ，故选项 B 不符合题意；
当 x = -1 时，该函数取得最大值-2 ，故选项C 不符合题意； 当 x > -1 时， y 随 x 的增大而减小，故选项 D 符合题意；
故选： D ．
8．（3 分）下列各组线段中，成比例的是( )

A．1cm ， 2cm ， 3cm ， 4cm B． 2cm ， 3cm ， 4cm ， 5cm

C．1cm ， 2cm ， 3cm ， 5cm D．1cm ， 2cm ， 5cm ，10cm
【解答】解： A 、由于1´ 4 ¹ 2 ´ 3 ，所以不成比例，不符合题意；
B 、由于2 ´ 5 ¹ 3 ´ 4 ，所以不成比例，不符合题意； C 、由于1´ 5 ¹ 2 ´ 3 ，所以不成比例，不符合题意； D 、由于1´10 = 2 ´ 5 ，所以成比例，符合题意．
故选： D ．
9．（3 分）如图， AB 是eO 的直径， B¶C = C¶D = D¶E ， ÐCOD = 38° ，则ÐAEO
的度数是( )

A． 52° B． 57° C． 66° D． 78°
【解答】解：Q B¶C = C¶D = D¶E ， ÐCOD = 38° ，
\ÐBOC = ÐEOD = ÐCOD = 38° ，
\ÐAOE = 180° - ÐEOD - ÐCOD - ÐBOC = 66° ．

又QOA = OE ，
\ÐAEO = ÐOAE ，
\ÐAEO = 1 ´ (180° - 66°) = 57° ．
2
故选： B ．
10．（3 分）如图，矩形 ABCD 中， AB = 5 ， AD = 12 ，将矩形 ABCD 按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转，则点 B 在两次旋转过程中经过的路径的长是( )

2
A． 25p B．13p C． 25p D． 25 2
【解答】解：连接 BD ， B¢D ，
Q AB = 5 ， AD = 12 ，

52 + 122
\ BD = = 13 ，
\ B·B¢ = 90 ×p×13 = 13p ，
180 2
Q B·¢B¢¢ = 90 ×p×12 = 6p，
180
\点 B 在两次旋转过程中经过的路径的长是： 13p + 6p= 25p ．
2 2
故选： A ．

二、填空题：（每题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）点 P(2, -3) 关于原点的对称点 P¢ 的坐标为 (-2, 3) ．
【解答】解：因为关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， 所以：点(2, -3) 关于原点的对称点的坐标为(-2, 3) ．
故答案为： (-2, 3) ．

12．（3 分）已知 x ， x 是一元二次方程 x2 - 5x - 6 = 0 的两个根，则 x × x = -6 ．
1 2 1 2

【解答】解：Q x 、 x 是一元二次方程 x2 - 5x - 6 = 0 的两根，
1 2

\ x1 x2 = -6 ．

故答案为： -6 ．
13．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2 - ax + 6 = 0 的一个根是 2，则 a 的值为 5 ．
【解答】解：把 x = 2 代入可得 22 - 2a + 6 = 0 ， 解得 a = 5 ．
故答案为：5．

14 ．（ 3 分） 抛物线 y = -2x2 向下平移 1 个单位， 再向右平移 3 个单位后的解析式是

y = -2(x - 3)2 -1 ．

【解答】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为(3, -1) ，

\平移后抛物线解析式为 y = -2(x - 3)2 -1． 故答案为： y = -2(x - 3)2 -1．
15．（3 分）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共

摸了 150 次，其中有 50 次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球 10 个和白球若干个，这些球除颜

色外，其他都一样，由此估计口袋中有 20 个白球．
【解答】解：摸了 150 次，其中有 50 次摸到黑球，则摸到黑球的频率是 50

= 1 ，

设口袋中大约有 x 个白球，则 10 = 1 ，

150 3

x + 10 3
解得 x = 20 ．

故答案为：20．

16．（3 分）如图， AB 是eO 的直径，点C 是半圆上的一个三等分点，点 D 是 ¶AC 的中点，

2
点 P 是直径 AB 上一点，若eO 的半径为 2，则 PC + PD 的最小值是 2 ．

【解答】解：作 D 关于 AB 的对称点 E ，连接CE 交 AB 于点 P¢ ，连接OC ， OE ，

则根据垂径定理得： E 在eO 上，连接 EC 交 AB 于 P¢ ，则若 P 在 P¢ 时， DP + CP 最小，
Q C 是半圆上的一个三等分点，
\ÐAOC = 1 ´180° = 60° ，
3
Q D 是 ¶AC 的中点，
\ÐAOE = 1 ÐAOC = 30° ，
2
\ÐCOE = 90° ，

2
\CE = 2OC = 2 ，

2
即 DP + CP = 2 ，

2
故答案为 2 ．

三、解答题：（共 72 分）

17．（4 分）解方程： (2x -1)2 = 3(2x -1) ．

【解答】解：移项得： (2x -1)2 - 3(2x -1) = 0 ，

(2x -1)(2x - 4) = 0 ，
即 2x - 1 = 0 ， 2x - 4 = 0 ， 解得： x = 1 ， x = 2 ．
1 2 2

18．（4 分）如图是反比例函数 y = 1 - k 的图象的一支，根据图象回答问题：
x
（1） 图象的另一支位于哪个象限？常数 k 的取值范围是什么？
（2） 若点 M (x ，y ) ，N (x ，y ) 均在反比例函数 y = 1 - k 的图象上，若0 < x



< x ，比较 y ，

1 1 1 2

y2 的大小关系．
x 1 2 1

【解答】解：（1）Q反比例函数的一个分支位于第二象限，
\另一个分支应该位于第四象限，
\1 - k < 0 ， 解得： k > 1；

（2）Q在每一个象限内， y 随 x 的增大而增大， 0 < x1 < x2 ，

\ y1 < y2 ．

19．（6 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，BF = 1 ，E 为 AB 的中点．求证：DAED∽DBFE ．
【解答】证明：Q四边形 ABCD 是正方形，
\ AB = BC = AD = 4 ， ÐA = ÐB = 90° ，

Q E 为 AB 的中点，
\ AE = BE = 2 ，
\ AD = AE = 2 ，
BE BF
又QÐA = ÐB = 90° ，
\DAED∽DBFE ．
20．（6 分）在平面直角坐标系内，DABO 的三个顶点坐标分别为 A(-1, 3) ，B(-4, 3) ，O(0, 0) ．

（1） 画出DABO 绕点O 逆时针旋转90° 后得到△ A1B1O1 ，写出点 A1 的坐标；

（2） 在（1）的条件下，求点 A 旋转到点 A1 ，线段OA 所扫过的面积．

【解答】解：（1）如图，△ A1B1O1 即为所求．点 A1 的坐标(-3, -1) ；

12 + 32
10
（2）QOA = = ．
90p´ ( 10)2
5p
\线段OA 所扫过的面积= = ．
360 2
自选项目
立定跳远
三级蛙跳
跳绳
实心球
铅球
人数/ 人
9
13
8
b
4
频率
a
0.26
0.16
0.32
0.08

21．（8 分）某校对九年级学生参加体育“五选一”自选项目测试进行抽样调查，调查学生所报自选项目的情况统计如下：

（1） a = 0.18 ， b = ．
（2） 该校有九年级学生 350 人，请估计这些学生中选“跳绳”的约有多少人？

（3） 在调查中选报“铅球”的 4 名学生，其中有 3 名男生，1 名女生．为了了解学生的训

练效果，从这 4 名学生中随机抽取两名学生进行“铅球”选项测试，请用列举法求所抽取的

两名学生中恰好有 1 名男生和 1 名女生的概率．
【解答】解：（1）根据题意得： a = 1 - (0.26 + 0.16 + 0.32 + 0.08) = 0.18 ；
样本容量为13 ¸ 0.26 = 50 ，
b = 50 ´ 32% = 16 ； 故答案为：0.18，16；
（2） 350 ´ 0.16 = 56 （人) ，
答：估计这些学生中选“跳绳”的约有 56 人；

（3）男生编号为 A 、 B 、C 女生编号为 D ，

由列举法可得： AB 、 AC 、 AD 、 BC 、 BD 、CD 共 6 种，其中 AD 、 BD 、CD 恰好有 1
名男生和 1 名女生，符合题意，
\抽取的两名学生中恰好有 1 名男生和 1 名女生的概率为： 3 = 1 ．
6 2

22．（10 分）如图，已知抛物线 y1 = x + mx 与 x 轴交于点 A(2, 0) ．
2

（1） 求 m 的值和顶点 M 的坐标；

（2） 求直线 AM 的解析式 y2 ；

（3） 根据图象，直接写出当 y1 > y2 时 x 的取值范围．

【解答】解：（1）Q抛物线 y1 = x + mx 与 x 轴交于点 A(2, 0) ，
2

\ 0 = 4 + 2m ， 解得： m = -2 ，
\抛物线解析式为 y1 = x - 2x = (x -1) -1 ，
2 2

\ m = -2 ， M (1, -1) ；

（2） 设直线 AM 的解析式 y2 = kx + b(k ¹ 0) ，

Q y2 = kx + b 过点 A(2, 0) 和点 M (1, -1) ，

í-1 = k + b
\ ì0 = 2k + b ，
î

íb = -2
解得： ìk = 1 ，
î

\直线 AM 的解析式 y2 = x - 2 ；

（3） 由图象可知，

当 y1 > y2 时， x > 2 或 x < 1 ．

23．（10 分）某农场今年第一季度的产值为 50 万元，第二季度由于改进了生产方法，产值提高了 20% ；但在今年第三、第四季度时该农场因管理不善．导致其第四季度的产值与第
二季度的产值相比下降了 11.4 万元．

（1） 求该农场在第二季度的产值；

（2） 求该农场在第三、第四季度产值的平均下降的百分率．

【解答】（1）解：设该农场在第二季度的产值为 m 万元， 根据题意得 m = 50 ´ (1 + 20%) = 60 （万元）
（2）解：设该农场在第三、第四季度产值的平均下降百分率为 x ， 根据题意得：该农场第四季度的产值为60 - 11.4 = 48.6 万元
列方程，得： 60(1 - x)2 = 48.6

即(1 - x)2 = 0.811 - x = ±0.9

解得： x1 = 0.1x2 = 1.9 （不符题意，舍去）

答：该农场在第三、第四季度产值的平均下降百分率为10%

24．（12 分）在平面直角坐标系中，二次函数 y = ax2 + bx + 4(a < 0) 的图象与 x 轴交于点

A(-2, 0) 和 B(4, 0) ，与 y 轴交于点C ，直线 BC 与对称轴交于点 D ．
（1） 求二次函数的解析式；

（2） 若抛物线 y = ax2 + bx + 4(a < 0) 的对称轴上有一点 M ，以O 、C 、D 、M 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 M 的坐标．
【解答】解：（1）将点 A(-2, 0) 和点 B(4, 0) 代入抛物线解析式 y = ax2 + bx + 4(a < 0) ，

ì4a - 2b + 4 = 0
ìa = - 1

则í
î16a + 4b + 4 = 0
，解得： ï 2 ，
ïîb = 1

í
\抛物线解析式为 y = - 1 x2 + x + 4 ；
2

（2）由（1）知抛物线解析式为 y = - 1 x2 + x + 4 = - 1 (x - 1)2 + 9 ，
2 2 2
\抛物线的对称轴为：直线 x = 1 ， 令 x = 0 ，则 y = 0 ，
\C(0, 4) ，
\直线 BC 的解析式为： y = -x + 4 ， OC = 4 ，
\ D(1, 3) ．
Q点 M 在对称轴上，
\ DM / /OC ，
若以O 、C 、 D 、 M 四点为顶点的四边形是平行四边形，则OC = DM ，

\| 3 - yM |= 4 ，

解得 yM = -1 或 7．

\点 M 的坐标为(1, -1) 或(1, 7) ．
25．（12 分）如图， AB 为eO 直径， C ， D 为eO 上的两点，且ÐACD = 2ÐA ， CE ^ DB
交 DB 的延长线于点 E ．
（1） 求证： CE 是eO 的切线；
（2） 若 DE = 2CE ， AC = 4 ，求eO 的半径．

【解答】（1）证明：连接OC ，

Q CE ^ DE ，
\ÐE = 90° ，
Q OA = OC ，
\ÐA = ÐACO ，
QÐACD = 2ÐA ，
\ÐACD = 2ÐACO ，
\ÐACO = ÐDCO ，
\ÐA = ÐDCO ，
QÐA = ÐD ，
\ÐD = ÐDCO ，
\OC / / DE ，
\ÐE + ÐOCE = 180° ，
\ÐOCE = 90° ，

Q OC 是eO 的半径，
\直线CE 与eO 相切；
（2）解：连接 BC ，

Q AB 是eO 的直径，
\ÐACB = 90° ，
\ÐACO + ÐOCB = 90° ，
QÐOCB + ÐBCE = ÐOCE = 90° ，
\ÐACO = ÐBCE ，
QÐD = ÐA = ÐACO ，

\ÐD = ÐBCE ，
又ÐBEC = ÐCED = 90° ，
\DBCE∽DCDE ，
Q CE = DE = 2 ，
BE CE

\ BC =
5 CE ，
2

QOC = OB ，
\ÐOCB = ÐOBC ，

Q OC / / ED ，
\ÐOCB = ÐCBE ，
\ÐCBE = ÐOBC ，
QÐE = ÐACB = 90° ，
\DBEC∽DBCA ，
\ CE = AC ，
BC AB
CE
5 CE
\ = AC = 2 5 ，
AB 5
2
Q AC = 4 ，

5
\ AB = 2 ，

5
\OA = ，

5
即eO 的半径为 ．