2022-2023学年广东省广州市越秀区执信中学九年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2022-2023 学年广东省广州市越秀区执信中学九年级（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A． B．
C． D．

2．（3 分）已知eO 的直径是 8，P 点到圆心O 的距离为 6，则 P 点与eO 的位置关系是( )
A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．无法确定
3．（3 分）已知DABC∽DDEF 且对应中线之比为9 :16 ，则DABC 与DDEF 的周长之比为(
)

A． 4 : 3 B． 3 : 4 C．16 : 9 D． 9 :16
4．（3 分）如图， AB 为eO 的直径， C ， D 为eO 上两点，若ÐBCD = 40° ，则ÐABD 的大小为( )
A． 60° B． 50° C． 40° D． 20°
5．（3 分）设 x ， x 是一元二次方程 x2 - 2x - 1 = 0 的两根，则 1 + 1 = ( )

第 9页（共 29页）

A. 1
2
1 2

B. - 1
2
x1 x2
C．2 D． -2

6．（3 分）如图， DODC 是由DOAB 绕点O 顺时针旋转32° 后得到的图形，若点 D 恰好落在
AB 上，且ÐAOC 的度数为100° ，则ÐDOB 的度数是( )

A． 32° B． 36° C． 38° D． 40°
7．（3 分）点 A(? 2, m) ，B(3, n) 是反比例函数 y = 6 的图象上两点，则 m 、n 大小关系为( )
x

A. m < n
B. m = n
C. m > n
D. 无法确定

8．（3 分）在同一坐标系中，一次函数 y = ax + k 与二次函数 y = kx2 + a 的图象可能是( )

A． B．
C． D．
9．（3 分）已知圆心角为120° 的扇形的弧长为6p，该扇形的面积为( )
A．18p B． 27p C． 36p D． 54p
10．（3 分）如图，DABC 是等边三角形，DABD 是等腰直角三角形，ÐBAD = 90° ，AE ^ BD
于点 E ，连CD 分别交 AE ， AB 于点 F ， G ，过点 A 作 AH ^ CD 交 BD 于点 H ，则下列结论：① ÐADC = 15° ；② AF = AG ；③ AH = DF ；④ DAFG ~ DCBG ；⑤ AF = ( 3 ?1)EF ．其中正确结论为( )

A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③④

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

11．（3 分）若关于 x 的一元二次方程 mx2 - nx -1 = 0(m ¹ 0) 的一个解是 x = 1 ，则 m - n 的值是 ．
12．（3 分）一个不透明的袋中装有若干个红球和 10 个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一

个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是 0.4，则袋中红球约为 个．
13．（3 分）在平面直角坐标系中，DABC 的顶点 A 的坐标为 A(-4, 2) ，以原点O 为位似中心，
把DABC 缩小为原来的 1 ，得到△ A¢B¢C¢ ，则点 A 的对应点 A¢ 的坐标为 ．

2
14．（3 分）如图， DABC 为eO 的内接三角形， O 为圆心， OD ^ AB 于点 D ， OE ^ AC 于点 E ，若 DE = 2 ，则 BC = ．

15．（3 分）已知二次函数 y = x2 - 2ax + a2 - 2a - 4(a 为常数）的图象与 x 轴有交点，且当 x > 1

时， y 随 x 的增大而增大，则 a 的取值范围是 ．

16．（3 分）如图，以G(0, 3) 为圆心，半径为 6 的圆与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交于C ，
D 两点，点 E 为eG 上一动点， CF ^ AE 于 F ，点 E 在G 的运动过程中，线段 FG 的长度的最小值为 ．

三、解答题（本题共 9 小题，满分 72 分，解答题需写出文字说明，推理过程和演算步骤）

17．（4 分）解方程： x2 - 2x - 15 = 0 ．

18．（4 分）如图，在DABC 中，点 D 是 AB 边上的一点．
（1） 请用尺规作图法，在DABC 内，求作ÐADE ，使ÐADE = ÐB ， DE 交 AC 于 E ；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）的条件下，若 AD = 2 ，求 AE 的值．
DB EC

19．（6 分）在平面直角坐标系中，DAOB 的三个顶点坐标分别为 A(1, 0) ，O(0, 0) ，B(2, 2) ．以点O 为旋转中心，将DAOB 逆时针旋转90° ，得到△ A1OB1 ．
（1） 画出△ A1OB1 ，并写出点 A1 和点 B1 的坐标．

（2） 求线段OB 扫过的面积．

20．（6 分）面对新冠疫情，教育人同心战“疫”．某校疫情期间的教学方式包括： A ．直播授课、 B ．录播授课、C ．自主学习、 D ．在线答疑等四种形式．为了了解学生线上学习情况，该校随机对部分学生进行了“你对哪种教学方式最感兴趣”的调查（每人只选其中的 一种），并根据调查结果绘制成如图所示的统计图．
（1） 本次调查的人数是 人；

（2） 请补全条形统计图；

（3） 明明和强强参加了此次调查，均选择了其中一种教学方式，请用树状图或列表分析及 求明明和强强选择同一种教学方式的概率．

21．（8 分）如图，在RtDABC 中， ÐA = 90° ， AB = 20cm ， AC = 15cm ，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边 FG 在 BC 上，另两个顶点 E 、H 分别在边 AB 、AC 上．
（1） 求 BC 边上的高；

（2） 求正方形 EFGH 的边长．

A( , 4), B(3, m)
22．（10 分）如图，一次函数 y = kx + b 的图象交反比例函数 y = n 图象于 3 两
x 2
点．

（1） 求 m ， n 的值；
（2） 求直线 AB 的解析式；
（3） 请你根据图象直接写出不等式 kx + b > n ．
x

23．（10 分）如图， AB 是eO 的直径，点 D 在 AB 的延长线上， C 、 E 是eO 上的两点，
CE = CB ， ÐBCD = ÐCAE ，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F ．
（1） 求证： CD 是eO 的切线；

3
（2） 若 BD = 1 ， CD = ，求弦 AC 的长．

24．（12 分）已知：以O 为圆心的扇形 AOB 中，ÐAOB = 90° ，点C 为 ¶AB 上一动点，射线 AC
交射线OB 于点 D ，过点 D 作OD 的垂线交射线OC 于点 E ，连接 AE ．

（1） 如图 1，当四边形 AODE 为矩形时，求ÐADO 的度数；
（2） 当扇形的半径长为 10，且 AC = 12 时，求线段 DE 的长；
（3） 连接 BC ，试问：在点C 运动的过程中， ÐBCD 的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．

第 29页（共 29页）

25．（12 分）已知抛物线 y = x2 - (m + 1)x + 2m + 3(m 为常数），点 A(-1, -1) ， B(3, 7) ．

（1） 若抛物线 y = x2 - (m +1)x + 2m + 3 经过点 B(3, 7) 时，求此时抛物线解析式和顶点坐标；

（2） 抛物线的顶点随着 m 的变化而移动．当顶点移动到最高处时．
①求抛物线的解析式；

②在直线 AB 下方的抛物线上有一点 E ，过点 E 作 EF ^ x 轴，交直线 AB 于点 F ，求线段 EF
取最大值时的 E 点坐标．

2022-2023 学年广东省广州市越秀区执信中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A． B．
C． D．

【解答】解： A 、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C 、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D 、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选： C ．
2．（3 分）已知eO 的直径是 8，P 点到圆心O 的距离为 6，则 P 点与eO 的位置关系是( )
A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．无法确定
【解答】解：QOP = 6 > 4 ，
\点 P 与eO 的位置关系是点在圆外． 故选： C ．
3．（3 分）已知DABC∽DDEF 且对应中线之比为9 :16 ，则DABC 与DDEF 的周长之比为(
)

A． 4 : 3 B． 3 : 4 C．16 : 9 D． 9 :16
【解答】解：QDABC∽DDEF 且对应中线之比为9 :16 ，
\DABC 与DDEF 的相似比为9 :16 ，
\DABC 与DDEF 的周长之比为9 :16 ， 故选： D ．

4．（3 分）如图， AB 为eO 的直径， C ， D 为eO 上两点，若ÐBCD = 40° ，则ÐABD 的大小为( )
A． 60° B． 50° C． 40° D． 20°

【解答】解：连接 AD ，

Q AB 为eO 的直径，
\ÐADB = 90° ．
QÐBCD = 40° ，
\ÐA = ÐBCD = 40° ，
\ÐABD = 90° - 40° = 50° ．

故选： B ．
5．（3 分）设 x ， x 是一元二次方程 x2 - 2x - 1 = 0 的两根，则 1 + 1 = ( )

A. 1
2
1 2

B. - 1
2
x1 x2
C．2 D． -2

【解答】解：Q x ， x 是一元二次方程 x2 - 2x - 1 = 0 的两根，
1 2

\ x1 + x2 = 2 ， x1 × x2 = -1 ，

\ 1 + 1

= x1 + x2 =

2 = -2 ．

x1 x2 x1 x2 -1
故选： D ．

6．（3 分）如图， DODC 是由DOAB 绕点O 顺时针旋转32° 后得到的图形，若点 D 恰好落在
AB 上，且ÐAOC 的度数为100° ，则ÐDOB 的度数是( )

A． 32° B． 36° C． 38° D． 40°
【解答】解：由题意得， ÐAOD = 32° ， ÐBOC = 32° ，又ÐAOC = 100° ，
\ÐDOB = 100° - 32° - 32° = 36° ． 故选： B ．
7．（3 分）点 A(? 2, m) ，B(3, n) 是反比例函数 y = 6 的图象上两点，则 m 、n 大小关系为( )
x

A. m < n
B. m = n
C. m > n
D. 无法确定

【解答】解：Q点 A(? 2, m) ， B(3, n) 是反比例函数 y = 6 的图象上两点，
x

\ m =
6 = -3 ， n = 6 = 2 ，
-2 3

\m < n ， 故选： A ．
8．（3 分）在同一坐标系中，一次函数 y = ax + k 与二次函数 y = kx2 + a 的图象可能是( )

A． B．
C． D．
【解答】解：当 a > 0 ，k > 0 时，一次函数 y = ax + k 经过一、二、三象限，二次函数 y = kx2 + a

开口向上，顶点在 y 轴的正半轴， A 、 B 均不符合；

当 a < 0 ，k > 0 时，一次函数 y = ax + k 经过一、二、四象限，二次函数 y = kx2 + a 开口向上， 顶点在 y 轴的负半轴， C 选项符合；
当 a < 0 ，b < 0 时，一次函数 y = ax + k 经过二、三、四象限，二次函数 y = kx2 + a 开口向下，

顶点在 y 轴的负半轴， D 选项不符合； 故选： C ．
9．（3 分）已知圆心角为120° 的扇形的弧长为6p，该扇形的面积为( )
A．18p B． 27p C． 36p D． 54p
【解答】解：设扇形的半径为 r ．
由题意： 120 ×p× r = 6p，
180
\ r = 9 ，

\ S扇形 =
120 ×p× 92
360

= 27p，

故选： B ．

10．（3 分）如图，DABC 是等边三角形，DABD 是等腰直角三角形，ÐBAD = 90° ，AE ^ BD
于点 E ，连CD 分别交 AE ， AB 于点 F ， G ，过点 A 作 AH ^ CD 交 BD 于点 H ，则下列结论：① ÐADC = 15° ；② AF = AG ；③ AH = DF ；④ DAFG ~ DCBG ；⑤ AF = ( 3 ?1)EF ．其中正确结论为( )

A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③④
【解答】解：QDABC 为等边三角形， DABD 为等腰直角三角形，
\ÐBAC = 60° 、ÐBAD = 90° 、 AC = AB = AD ， ÐADB = ÐABD = 45° ，
\DCAD 是等腰三角形，且顶角ÐCAD = 150° ，
\ÐADC = 15° ，故①正确；
Q AE ^ BD ，即ÐAED = 90° ，
\ÐDAE = 45° ，
\ÐAFG = ÐADC + ÐDAE = 60° ， ÐFAG = 45° ，
\ÐAGF = 75° ，
由ÐAFG ¹ ÐAGF 知 AF ¹ AG ，故②错误；

由ÐAFG = 60° 知ÐFAP = 30° ， 则ÐBAH = ÐADC = 15° ，
在DADF 和DBAH 中，

ìÐADF = ÐBAH
í
ïDA = AB ，
î
ïÐDAF = ÐABH = 45°

\DADF @ DBAH (ASA) ，
\ DF = AH ，故③正确；
QÐAFG = ÐCBG = 60° ， ÐAGF = ÐCGB ，
\DAFG∽DCBG ，故④正确；

AF 2 - PF 2
在RtDAPF 中，设 PF = x ，则 AF = 2x 、 AP =

设 EF = a ，
QDADF @ DBAH ，
\ BH = AF = 2x ，
DABE 中，QÐAEB = 90° 、 ÐABE = 45° ，
\ BE = AE = AF + EF = a + 2x ，
\ EH = BE - BH = a + 2x - 2x = a ，
QÐAPF = ÐAEH = 90° ， ÐFAP = ÐHAE ，
\DPAF∽DEAH ，
= 3x ，

\ PF = AP ，即 x =

3x ，

EH AE
a a + 2x

3
整理，得： 2x2 = ( -1)ax ，

3
由 x ¹ 0 得2x = (
-1)a ，即 AF = (
- 1)EF ，故⑤正确；

3
故选： B ．

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

11．（3 分）若关于 x 的一元二次方程 mx2 - nx -1 = 0(m ¹ 0) 的一个解是 x = 1 ，则 m - n 的值是 1 ．
【解答】解：Q关于 x 的一元二次方程 mx2 - nx -1 = 0(m ¹ 0) 的一个解是 x = 1 ，

\ m - n - 1 = 0 ，
\ m - n = 1 ， 故答案为：1．
12．（3 分）一个不透明的袋中装有若干个红球和 10 个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是 0.4，则袋中红球约为 15 个．
【解答】解：Q通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是 0.4，口袋中有 10 个白球，
假设有 x 个红球，

则 10
x + 10

= 0.4 ，

解得： x = 15 ，
\口袋中有红球约为 15 个， 故答案为：15．
13．（3 分）在平面直角坐标系中，DABC 的顶点 A 的坐标为 A(-4, 2) ，以原点O 为位似中心，
把 DABC 缩小为原来的 1 ， 得到△ A¢B¢C¢ ， 则点 A 的对应点 A¢ 的坐标为 (-2,1) 或

2
(2, -1) ．
【解答】解：Q以原点O 为位似中心，把 DABC 缩小为原来的 1 ，得到△ A¢B¢C¢ ， A(-4, 2) ，
2
\点 A 的对应点 A¢ 的坐标为 A(-4 ´ 1 ，2 ´ 1 ) 或 A(-4 ´ (- 1 ) ，2 ´ (- 1 )) ，即(-2,1) 或(2, -1) ，
2 2 2 2
故答案为： (-2,1) 或(2, -1) ．

14．（3 分）如图， DABC 为eO 的内接三角形， O 为圆心， OD ^ AB 于点 D ， OE ^ AC 于点 E ，若 DE = 2 ，则 BC = 4 ．

【解答】解：Q OD ^ AB ，
\ AD = DB ，
Q OE ^ AC ，
\ AE = CE ，
\ DE 为DABC 的中位线，
\ DE = 1 BC ，
2
\ BC = 2DE = 2 ´ 2 = 4 ． 故答案为：4
15．（3 分）已知二次函数 y = x2 - 2ax + a2 - 2a - 4(a 为常数）的图象与 x 轴有交点，且当 x > 1

时， y 随 x 的增大而增大，则 a 的取值范围是 -2„a„1 ．

【解答】解：Q二次函数 y = x2 - 2ax + a2 - 2a - 4(a 为常数）的图象与 x 轴有交点，
\△ = (-2a)2 - 4 ´1´ (a2 - 2a - 4)…0 ． 解得： a…- 2 ；
Q抛物线的对称轴为直线 x = - -2a = a ，抛物线开口向上，且当 x > 1 时， y 随 x 的增大而增
2 ´1
大，

\a„1，
\实数 a 的取值范围是-2„a„1． 故答案为： -2„a„1．
16．（3 分）如图，以G(0, 3) 为圆心，半径为 6 的圆与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交于C ，
D 两点，点 E 为eG 上一动点， CF ^ AE 于 F ，点 E 在G 的运动过程中，线段 FG 的长度

3
的最小值为 3 - 3 ．

【解答】解：过G 作GM ^ AC 于 M ，连接 AG ，如图所示：

Q GO ^ AB ，
\ OA = OB ，
Q G(0, 3) ，
\OG = 3 ，
在RtDAGO 中，Q AG = 6 ， OG = 3 ，

AG2 - GO2
3
\OA = = 3 ，

3
\ÐGAO = 30° ， AB = 2 AO = 6 ，

\ÐAGO = 60° ，
QGC = GA = 6 ，
\ÐGCA = ÐGAC ，
QÐAGO = ÐGCA + ÐGAC ，
\ÐGCA = ÐGAC = 30° ，

\ AC = 2OA = 6

QÐAFC = 90° ，
， MG = 1 CG = 3 ，
3
2

\点 F 在以 AC 为直径的eM 上，
3
\ MF = AC = 3 ，
2

3
当点 F 在 MG 的延长线上时， FG 的长最小，最小值= FM - MG = 3 - 3 ，

3
故答案为： 3
- 3 ．

三、解答题（本题共 9 小题，满分 72 分，解答题需写出文字说明，推理过程和演算步骤）

17．（4 分）解方程： x2 - 2x - 15 = 0 ．
【解答】解： x2 - 2x - 15 = 0 ， 分解因式得： (x - 5)(x + 3) = 0 ，
可得 x - 5 = 0 或 x + 3 = 0 ， 解得： x1 = 5 ， x2 = -3 ．
18．（4 分）如图，在DABC 中，点 D 是 AB 边上的一点．
（1） 请用尺规作图法，在DABC 内，求作ÐADE ，使ÐADE = ÐB ， DE 交 AC 于 E ；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）的条件下，若 AD = 2 ，求 AE 的值．
DB EC
【解答】解：（1）如图， ÐADE 为所作；

（2）QÐADE = ÐB
\ DE / / BC ，
\ AE = AD = 2 ．
EC DB
19．（6 分）在平面直角坐标系中，DAOB 的三个顶点坐标分别为 A(1, 0) ，O(0, 0) ，B(2, 2) ．以点O 为旋转中心，将DAOB 逆时针旋转90° ，得到△ A1OB1 ．
（1） 画出△ A1OB1 ，并写出点 A1 和点 B1 的坐标．

（2） 求线段OB 扫过的面积．

【解答】解：（1）画出△ A1OB1 ，如图．

点 A1(0,1) ，点 B1(-2, 2) ．

（2） OB1
= OB =
= 2 ，
22 + 22
2
90p´ (2 2)2

\扇形 BOB1 面积=
360
= 2p，

\线段OB 扫过的面积 2p．
20．（6 分）面对新冠疫情，教育人同心战“疫”．某校疫情期间的教学方式包括： A ．直播授课、 B ．录播授课、C ．自主学习、 D ．在线答疑等四种形式．为了了解学生线上学习情况，该校随机对部分学生进行了“你对哪种教学方式最感兴趣”的调查（每人只选其中的 一种），并根据调查结果绘制成如图所示的统计图．
（1） 本次调查的人数是 80 人；

（2） 请补全条形统计图；

（3） 明明和强强参加了此次调查，均选择了其中一种教学方式，请用树状图或列表分析及 求明明和强强选择同一种教学方式的概率．

【解答】解：（1）本次调查的人数有 20 ¸ 25% = 80 （人) ，故答案为：80；
（2）自主学习的人数有： 80 - 35 - 20 - 15 = 10 （人) ，
补全条形统计图如下：

（3）把直播授课、录播授课、自主学习、在线答疑四种形式分别记为 A 、 B 、C 、 D ， 画树状图如下：

共有 16 种等可能情况，其中明明和强强选择同一种教学方式的结果有 4 种，
\明明和强强选择同一种教学方式的概率为 4 = 1 ．
16 4
21．（8 分）如图，在RtDABC 中， ÐA = 90° ， AB = 20cm ， AC = 15cm ，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边 FG 在 BC 上，另两个顶点 E 、H 分别在边 AB 、AC 上．
（1） 求 BC 边上的高；

（2） 求正方形 EFGH 的边长．

【解答】解：（1）作 AD ^ BC 于 D ，交 EH 于O ，如图所示：
Q在RtDABC 中， ÐA = 90° ， AB = 20cm ， AC = 15cm ，

202 + 152
\ BC = = 25(cm) ，

Q 1 BC ´ AD = 1 AB ´ AC ，
2 2
\ AD = AB ´ AC = 20 ´15 = 12(cm) ；
BC 25
即 BC 边上的高为12cm ；

（2）设正方形 EFGH 的边长为 xcm ，
Q四边形 EFGH 是正方形，
\ EH / / BC ，
\ÐAEH = ÐB ， ÐAHE = ÐC ，
\DAEH∽DABC ．
\ AO = EH ，即12 - x = x ，

AD BC
解得： x = 300 ，
37
12 25

即正方形 EFGH 的边长为 300 cm ．
37
22．（10 分）如图，一次函数 y = kx + b 的图象交反比例函数 y = n 图象于 3 两
A( , 4), B(3, m)
x 2
点．
（1） 求 m ， n 的值；

（2） 求直线 AB 的解析式；
（3） 请你根据图象直接写出不等式 kx + b > n ．
x
【解答】解：（1）Q一次函数 y = kx + b 的图象交反比例函数 y = n 图象于 A( 3 ，4) ，B(3, m) ，
x 2
\ n = 3 ´ 4 = 6 ，
2
\ y = 6 ，
x
将 B(3, m) 代入 y = 6 ，
x

得 m = 6 = 2 ，
3
\ B(3, 2) ；

3


ì4 = 3 k + b

（2）将 A(
2
， 4) ， B(3, 2) 代入 y = kx + b 得， ï 2 ，

ïî2 = 3k + b
í
í
ìk = - 4
解得ï 3 ，
ïîb = 6
\直线 AB 的解析式为 y = - 4 x + 6 ；
3
（3）Q A( 3 ， 4) ， B(3, 2) ，
2
结合函数图象可知：当 x < 0 或 2 < x < 3 时， kx + b > n ，
3 x
即不等式 kx + b > n 的解集为： x < 0 或 2 < x < 3 ．
x 3
23．（10 分）如图， AB 是eO 的直径，点 D 在 AB 的延长线上， C 、 E 是eO 上的两点，
CE = CB ， ÐBCD = ÐCAE ，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F ．
（1） 求证： CD 是eO 的切线；

3
（2） 若 BD = 1 ， CD = ，求弦 AC 的长．

【解答】（1）证明：连接OC ，如图，
Q AB 是eO 的直径，
\ÐACB = 90° ，
\ÐCAD + ÐABC = 90° ，
Q CE = CB ，
\ÐCAE = ÐCAB ，
QÐBCD = ÐCAE ，
\ÐCAB = ÐBCD ，
QOB = OC ，
\ÐOBC = ÐOCB ，
\ÐOCB + ÐBCD = 90° ，
\ÐOCD = 90° ，
\CD 是eO 的切线；
（2）解：QÐBCD = ÐCAE ， ÐADC = ÐCDB ，
\DCBD∽DDCA ，
\ CD = AD = AC ，
BD CD BC

3
\ 3 = AD ，
1

\ AD = 3 ，
\ AB = AD - BD = 3 - 1 = 2 ，

设 BC = a ， AC =
3a ，

根据勾股定理得， a2 + ( 3a)2 = 22 ，

\ a = 1 （负值舍去），

3
\ AC = ．

24．（12 分）已知：以O 为圆心的扇形 AOB 中，ÐAOB = 90° ，点C 为 ¶AB 上一动点，射线 AC
交射线OB 于点 D ，过点 D 作OD 的垂线交射线OC 于点 E ，连接 AE ．

（1） 如图 1，当四边形 AODE 为矩形时，求ÐADO 的度数；
（2） 当扇形的半径长为 10，且 AC = 12 时，求线段 DE 的长；
（3） 连接 BC ，试问：在点C 运动的过程中， ÐBCD 的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．

【解答】解：（1）如图 1 中，

Q四边形 ABCD 是矩形，
\ AD = EO ， AC = CD ， OC = CE ， ÐAOD = 90° ，
\ AC = OC ， 又Q OA = OC ，

\ AC = OC = OA ，
\DAOC 是等边三角形，
\ÐOAD = 60° ，
\ÐADO = 90° - ÐOAD = 30° ．
（2） 如图 2 中，作OH ^ AD 于 H ．

Q OA = OC ， OH ^ AC ，
\ AH = HC = 6 ，
QÐOAH = ÐOAD ， ÐAHO = ÐAOD ，
\DAOH∽DADO ，

\ OA = AH ，即 10
= 6 = 3 ，

AD AO AD
解得 AD = 50 ，
3
10 5

\CD = AD - AC = 50 - 12 = 14 ，
3 3
Q DE ^ OD ，
\ÐEDO = 90° ，
\ÐAOD + ÐEDO = 180° ，
\ DE / /OA ，
\ DE = CD ，
OA AC
14
\ DE = 3 ，
10 12
\ DE = 35 ．
9
（3） 如图 3 中，结论： ÐBCD 的值是确定的． ÐBCD = 45° ． 理由：连接 AB 、 BC ．

QÐBCD = ÐBAC + ÐABC ，
又QÐBAC = 1 ÐBOC ， ÐABC = 1 ÐAOC ，
2 2
\ÐBCD = 1 ÐBOC + 1 ÐAOC = 1 (ÐBCO + ÐAOC) = 1 ´ 90° = 45° ．
2 2 2 2

25．（12 分）已知抛物线 y = x2 - (m + 1)x + 2m + 3(m 为常数），点 A(-1, -1) ， B(3, 7) ．

（1） 若抛物线 y = x2 - (m +1)x + 2m + 3 经过点 B(3, 7) 时，求此时抛物线解析式和顶点坐标；

（2） 抛物线的顶点随着 m 的变化而移动．当顶点移动到最高处时．
①求抛物线的解析式；

②在直线 AB 下方的抛物线上有一点 E ，过点 E 作 EF ^ x 轴，交直线 AB 于点 F ，求线段 EF
取最大值时的 E 点坐标．
【解答】解：（1）把 x = 3 ， y = 7 代入抛物线得
9 - (m + 1) ´ 3 + 2m + 3 = 7 ，
\ m = 2 ，
\ y = x2 - 3x + 7 = (x - 3)2 + 19 ，
2 4
\抛物线顶点坐标是( 3 ， 19) ；
2 4
（2）①设顶点的纵坐标是 n ，

4(2m + 3) - (m + 1)2 1
n = = -
(m - 3)2
+ 5 ，

4 4
\当 m = 3 时， n 最大，即顶点在最高点，

\ y = x2 - 4x + 9 ；

②设 AB 的解析式是： y = kx + b ，

í3k + b = 7
\ ì-k + b = -1 ，
î

í
\ ìk = 2 ，
îb = 1

\ y = 2x + 1 ，

设 E(a, a2 - 4a + 9) ， F (a, 2a +1) ，

Q点 E 在直线 AB 的下方，

\ EF = (2a + 1) - (a2 - 4a + 9) = -a2 + 6a - 8 = -(a - 3)2 + 1，

\当 a = 3 时， EF 最大，最大值是 1，
当 a = 3 时， a2 - 4a + 9 = 32 - 4 ´ 3 + 9 = 6 ，
\ E(3, 6) ．