大学物理学——第2章质点动力学.ppt

第二章 质点动力学第第1篇篇力力学学 2质点动力学的知识结构质点动力学的知识结构(基础基础)牛顿三定律牛顿三定律力的瞬时效应力的瞬时效应力的时间力的时间累积效应累积效应力矩的时间力矩的时间累计效应累计效应力的空间力的空间累计效应累计效应动量定理动量定理角动量定理角动量定理动能定理动能定理动量守恒动量守恒角动量守恒角动量守恒机械能守恒机械能守恒在自然界中，没有不运动的物质，也没有不发生相互作在自然界中，没有不运动的物质，也没有不发生相互作用的物体。在力学中将物体间的相互作用称为力，研究物体用的物体。在力学中将物体间的相互作用称为力，研究物体在力的作用下运动的规律称为动力学。在力的作用下运动的规律称为动力学。32-1 牛顿定律牛顿定律1.牛顿第一定律牛顿第一定律(惯性定律惯性定律)任任何何物物体体都都要要保保持持其其静静止止或或匀匀速速直直线线运运动动状状态态,直直到到外外力力迫使它改变运动状态为止。迫使它改变运动状态为止。一一.牛顿三大定律牛顿三大定律研究内容：力的瞬时效应研究内容：力的瞬时效应牛顿第一定律包含了几个重要的物理概念：牛顿第一定律包含了几个重要的物理概念：惯性惯性任何物体都具有保持其运动状态不变的性质。任何物体都具有保持其运动状态不变的性质。力力是使物体改变其运动状态的一种作用是使物体改变其运动状态的一种作用,是使物体获得加是使物体获得加速度的原因。速度的原因。惯性系惯性系牛顿定律成立的参考系。牛顿定律成立的参考系。4如果物体的质量不随时间而变如果物体的质量不随时间而变,则第二定律可以写成则第二定律可以写成说明说明A.牛顿第二定律给出了力和加速度的定量关系。牛顿第二定律给出了力和加速度的定量关系。B.牛顿第二定律概括了力的瞬时性、独立性和矢量性。牛顿第二定律概括了力的瞬时性、独立性和矢量性。2.牛顿第二定律牛顿第二定律牛顿第二定律中的质量称为物体的惯性质量。牛顿第二定律中的质量称为物体的惯性质量。5满足矢量的合成与分解。满足矢量的合成与分解。直角坐标系直角坐标系 自然坐标系自然坐标系m63.牛顿第三定律牛顿第三定律(作用力与反作用力定律作用力与反作用力定律)4.牛顿定律的适用范围牛顿定律的适用范围(1)低速、宏观、实物。低速、宏观、实物。(2)惯性系。惯性系。二二.几种常见力几种常见力现代物理学已证明物质之间的相互作用只有四种基本形式现代物理学已证明物质之间的相互作用只有四种基本形式引力相互作用、电磁相互作用、强相互作用、弱相互作用。引力相互作用、电磁相互作用、强相互作用、弱相互作用。后两种力是短程力，只在微观领域起作用，在牛顿力学中所涉后两种力是短程力，只在微观领域起作用，在牛顿力学中所涉及的力只有前两种。及的力只有前两种。两两物物体体之之间间的的作作用用力力和和反反作作用用力力，大大小小相相等等、方方向向相相反反，且且在在同同一一直直线线上上。作作用用力力与与反反作作用用力力分分别别作作用用于于不不同同的的物物体体上，不能相互抵消。上，不能相互抵消。7式中式中G=6.6710-11Nm2/kg2称为引力常称为引力常数。一般物体间的万有引力非常小，但数。一般物体间的万有引力非常小，但在天体运动中，引力起主要作用。在天体运动中，引力起主要作用。地球对物体的引力：地球对物体的引力：1.万有引力万有引力m1m2mReMe82.弹性力弹性力式中，式中，k是弹簧的劲度系数，是弹簧的劲度系数，x表示弹簧的形变。表示弹簧的形变。任何两个物体相互接触发生形变，都会产生弹性力。任何两个物体相互接触发生形变，都会产生弹性力。在弹性限度内在弹性限度内,弹性力遵从弹性力遵从胡克定律胡克定律:物体的重力：物体的重力：为物体所在处的地理纬度角。为物体所在处的地理纬度角。m向心力向心力90 f sN(最大静摩擦力最大静摩擦力)式中，式中，s为静摩擦系数。对于同样的两个物体：为静摩擦系数。对于同样的两个物体：kFI，所以，所以P与与Fe的夹角很的夹角很小小(约约10-3rad)，37m惯性离心力惯性离心力即在物体的重力中已经考虑了惯性离心力的影响。即在物体的重力中已经考虑了惯性离心力的影响。38B在地面上运动的物体还要受到科里奥利力，如下图所示，在地面上运动的物体还要受到科里奥利力，如下图所示，在北半球运动的物体总要受到从左侧指向右侧的力，而在南半在北半球运动的物体总要受到从左侧指向右侧的力，而在南半球运动的物体受力则相反，因此北半球河床的右岸受到较厉害球运动的物体受力则相反，因此北半球河床的右岸受到较厉害的冲刷的冲刷(在南半球相反在南半球相反)。科里奥利力还使流动的大气形成旋风。科里奥利力还使流动的大气形成旋风,沿着赤道的信风也是科里奥利力作用的结果。沿着赤道的信风也是科里奥利力作用的结果。391122334东东南南西西北北物体自由下落时，科里奥利物体自由下落时，科里奥利力的作用使它们偏离铅垂线力的作用使它们偏离铅垂线而向东偏移，这个力在赤道而向东偏移，这个力在赤道最大，两极最小。最大，两极最小。傅科摆，在北半球总是指向摆锤傅科摆，在北半球总是指向摆锤运动方向的右侧，使其摆动平面运动方向的右侧，使其摆动平面沿顺时针方向转动。它显示了地沿顺时针方向转动。它显示了地球的自转。球的自转。40例例8：水桶以：水桶以 旋转，求水面形状？旋转，求水面形状？水面水面对对z轴旋转对称。轴旋转对称。任选水面一小质元任选水面一小质元 m。解：解：设水面的方程为设水面的方程为z=z(r)，其斜率：，其斜率：z oz0r mg mr 2 2Nr 即水面为一抛物面。即水面为一抛物面。N积分积分在旋转参考系：质元在旋转参考系：质元 m静止静止,其受力其受力如图所示。如图所示。411.动量：动量：质点的质量和速度的乘积质点的质量和速度的乘积2.冲量：冲量：力的时间累积矢量力的时间累积矢量设作用于质点上的力为设作用于质点上的力为，则，则在在t1到到t2这一段时间内的这一段时间内的累积矢量为：累积矢量为：对恒力对恒力F：说明说明一一.动量定理动量定理冲量是矢量，一般冲量是矢量，一般的方向与的方向与的方向不同；的方向不同；在在SI制，冲量的单位是制，冲量的单位是NS;满足矢量的合成与分解。满足矢量的合成与分解。2-2 动量定理和动量守恒定律动量定理和动量守恒定律研究内容：力的时间累积效应研究内容：力的时间累积效应423.质点动量定理：质点动量定理：牛顿第二定律的普遍形式：牛顿第二定律的普遍形式：两边同乘两边同乘dt得到：得到：两边积分：两边积分：式中式中和和分别是质点在分别是质点在t1和和t2时刻的动量。时刻的动量。上式表明上式表明:质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量-质点动量定理。质点动量定理。(微分形式微分形式)(积分形式积分形式)直角坐标直角坐标系系中中43说明说明动量定理动量定理A.动量定理的矢量性：在实际应用时常采用分量式动量定理的矢量性：在实际应用时常采用分量式,在直角坐标系中：在直角坐标系中：B.动量定理常用于解决碰撞、冲击问题：一些常力动量定理常用于解决碰撞、冲击问题：一些常力(如重力、如重力、摩擦力摩擦力)的冲量很小，常可以忽略不计。的冲量很小，常可以忽略不计。平均冲力：平均冲力：C.动量定理只在惯性系中成立。动量定理只在惯性系中成立。44例例1：质量质量m=1kg的物体静止在水平地面上的物体静止在水平地面上,假设物体与地面的假设物体与地面的最大静摩擦系数和滑动摩擦系数均为最大静摩擦系数和滑动摩擦系数均为0.25，若以沿，若以沿X方向的水平方向的水平力力F=(1.5+t)(N)作用在物体上，求第作用在物体上，求第2秒末物体的速度。秒末物体的速度。解：解：最大静摩擦力：最大静摩擦力：由动量定理：由动量定理：45例例2：质量为质量为m的质点，经时间的质点，经时间t、以不变的速率、以不变的速率 越过一水平越过一水平光滑轨道光滑轨道60的弯角，求轨道作用于质点的平均冲力的大小。的弯角，求轨道作用于质点的平均冲力的大小。30o30om 1 2解：解：m 30o30oom 2m 1根据动量定理：根据动量定理：其中其中为轨道作用于质点的平均冲力。为轨道作用于质点的平均冲力。平均冲力的大小：平均冲力的大小：由矢量图可知：由矢量图可知：方向如图所示方向如图所示4630o30om 1 230o30oo 2xy 1在直角坐标系中：在直角坐标系中：大小大小:,方向方向:j (y轴正方向轴正方向)。另一种常见的解法另一种常见的解法建立直角坐标系建立直角坐标系47例例3:质量为质量为m的小球从高度为的小球从高度为y0处沿水平方向以速率处沿水平方向以速率v0抛出，与抛出，与地面碰撞后跳起的最大高度为地面碰撞后跳起的最大高度为y0/2，水平速率为，水平速率为v0/2，如图所示。，如图所示。求碰撞过程中，地面受到的冲量。求碰撞过程中，地面受到的冲量。解：解：碰撞前、后小球的动量碰撞前、后小球的动量根据动量定理：根据动量定理：xyoy048xyoy0忽略重力的冲量，地面对小球的冲量忽略重力的冲量，地面对小球的冲量地面受到的冲量地面受到的冲量49质点系质点系(系统系统)作为研究对象的质点的集合。作为研究对象的质点的集合。内力内力系统内各质点间的相互作用力。系统内各质点间的相互作用力。外力外力系统以外的物体对系统内质点的作用力。系统以外的物体对系统内质点的作用力。设系统有设系统有n个物体个物体,如图所示。如图所示。用用f12、f21、fn1等等表表示示系系统统内内物物体体间相互作用的内力间相互作用的内力;用用F1、F2、Fn分分别别表表示示系系统统外外的的物物体体对系统内物体作用的外力。对系统内物体作用的外力。f1nfn1m1mifi1f1iFiF1mnFnfnifin4.质点系的动量定理质点系的动量定理对每一个质点运用动量定理：对每一个质点运用动量定理：mi:50 这就是质点系的动量定理这就是质点系的动量定理,它表明系统所受的合外力的冲量它表明系统所受的合外力的冲量等于系统总动量的增量。等于系统总动量的增量。对所有质点求和，就得对所有质点求和，就得:根据牛顿第三定律根据牛顿第三定律,内力之和内力之和于是于是f1nfn1m1mifi1f1iFiF1mnFnfnifin51质点系的动量定理质点系的动量定理说明说明(1)系统所受合外力是指系统内各质点所受外力的系统所受合外力是指系统内各质点所受外力的矢量和，系统的总动量是指系统内各质点的动量矢量和，系统的总动量是指系统内各质点的动量的矢量和。的矢量和。(2)内力只能改变系统内各个质点的动量，但不能改变整个系统内力只能改变系统内各个质点的动量，但不能改变整个系统的总动量。的总动量。(3)适用条件：惯性系，所有质点相对于同一参考系。适用条件：惯性系，所有质点相对于同一参考系。52例例4：火箭飞行。火箭是依靠燃料燃烧后喷出气体来获得向上的：火箭飞行。火箭是依靠燃料燃烧后喷出气体来获得向上的推力。设火箭发射时的质量为推力。设火箭发射时的质量为m0，燃料烧尽时的质量为，燃料烧尽时的质量为m，气体相对于火箭喷出的速率为气体相对于火箭喷出的速率为u。不计空气的阻力，求火箭所能。不计空气的阻力，求火箭所能达到的最大速率达到的最大速率。t+dt时刻时刻（-dm）m+dmu解：解：将火箭和燃气系统作为研究对象。将火箭和燃气系统作为研究对象。t 时刻时刻m设设t 时刻火箭体的总质量为时刻火箭体的总质量为m，速度为，速度为，则此时系统的总动量，则此时系统的总动量设在设在dt时间内火箭排出了质量为时间内火箭排出了质量为(-dm)的燃气，则在的燃气，则在t+dt时刻火箭的质时刻火箭的质量为量为m+dm，速度为，速度为。53t 时刻时刻t+dt时刻时刻（-dm）mm+dmu在在t+dt时刻系统的总动量为：时刻系统的总动量为：在在dt时间内，系统总动量的增量为：时间内，系统总动量的增量为：若用若用F表示火箭系统受到的外力表示火箭系统受到的外力(重重力和空气阻力力和空气阻力)，则根据质点系动量，则根据质点系动量定理：定理：上式称为火箭体的运动方程。上式称为火箭体的运动方程。54若忽略空气阻力，若忽略空气阻力，F=-mg，则：，则：对上式两边积分，从火箭点火（对上式两边积分，从火箭点火（t=0,m=m0,=0）到燃料燃尽）到燃料燃尽(t ,m,)这就是火箭能达到的最大速率。如这就是火箭能达到的最大速率。如果重力也可以忽略，则果重力也可以忽略，则t 时刻时刻t+dt时刻时刻（-dm）mm+dmu55讨论讨论(1)火箭的最大速度与喷气速度成火箭的最大速度与喷气速度成u正比，还与火箭始末正比，还与火箭始末质量比质量比N的自然对数成正比。的自然对数成正比。(2)目前火箭的喷气速度目前火箭的喷气速度u=4.1km/s，火箭质量比，火箭质量比N=15实际发射时，火箭要受到地球引力和空气阻力，所以实际最实际发射时，火箭要受到地球引力和空气阻力，所以实际最大速度只有大速度只有7km/s左右，小于第一宇宙速度。左右，小于第一宇宙速度。(3)目前均采用多级火箭技术，火箭最后达到的速度目前均采用多级火箭技术，火箭最后达到的速度56 这这就就是是说说,当当质质点点系系所所受受的的合合外外力力为为零零时时,质质点点系系的的总总动量矢量就保持不变。这一结论叫做动量守恒定律。动量矢量就保持不变。这一结论叫做动量守恒定律。如果质点系所受的合外力为零，即如果质点系所受的合外力为零，即Fi=0，则，则 mi i=常矢量常矢量质点系的动量定理质点系的动量定理:说明说明(1)系统动量守恒的条件是系统所受合外力为零，而不系统动量守恒的条件是系统所受合外力为零，而不是合外力的冲量为零。是合外力的冲量为零。二二.动量守恒定律动量守恒定律57(2)动量守恒定律也可用于合外力不为零的系统，有两种特殊情动量守恒定律也可用于合外力不为零的系统，有两种特殊情况：况：A.虽然系统所受合外力不为零，但合外力在某方向上的分量为虽然系统所受合外力不为零，但合外力在某方向上的分量为零，这时系统的总动量不守恒，但总动量在该方向的分量守恒零，这时系统的总动量不守恒，但总动量在该方向的分量守恒.即即 Fx=0,则则mi ix=常量常量Fy=0,则则mi iy=常量常量Fz=0,则则mi iz=常量常量 B.虽然系统所受合外力不为零，但系统的内力虽然系统所受合外力不为零，但系统的内力外力，以致外力，以致于外力可以忽略不计，此时可认为系统动量守恒。于外力可以忽略不计，此时可认为系统动量守恒。(3)动量守恒定律只适用于惯性系。动量守恒定律只适用于惯性系。58例例5:如图所示，一辆质量为如图所示，一辆质量为M的平顶小车静止在光滑的水平的平顶小车静止在光滑的水平轨道上，今有一质量为轨道上，今有一质量为m的小物体以水平速度的小物体以水平速度 o滑向车顶。设滑向车顶。设物体与车顶之间的摩擦系数为物体与车顶之间的摩擦系数为，求，求:(1)从物体滑上车顶到相对从物体滑上车顶到相对车顶静止需多少时间？车顶静止需多少时间？(2)要物体不滑下车顶，车长至少应为要物体不滑下车顶，车长至少应为多少？多少？M 0m(M+m):水平方向不受外力，故动量守恒，即：水平方向不受外力，故动量守恒，即：m o=(M+m)式中式中 是是m相对相对M静止时的速度。静止时的速度。(1)对物体对物体m应用动量定理，有应用动量定理，有-mgt=m -m o解得解得解：解：59物体物体m的加速度的加速度:M 0m(2)要物体不滑下车顶，车长至少应为多少？要物体不滑下车顶，车长至少应为多少？物体物体m从从速度速度 0到到 所走过的路程：所走过的路程：这个这个S是不是车的最小长度是不是车的最小长度?M相对地面的加速度：相对地面的加速度：a0=mg/MM相对地面运动的距离：相对地面运动的距离：a=-mg/m=-g ;MmmSM对地对地Sm对地对地60M 0m故车的最小长度为故车的最小长度为以车为参考系以车为参考系-非惯性系非惯性系m走过的路程即车的最小长度走过的路程即车的最小长度另法：另法：a061例例6：如如图图，A、B、C三三物物体体质质量量均均为为M，B、C间间由由一一长长度度为为l0的的细细绳绳连连接接，t=0时时，B、C距距离离为为0，桌桌面面光光滑滑，滑滑轮轮与与绳绳间间无无摩摩擦擦。求求：(1)A、B运运动动后后，经经多多长长时时间间C开开始始运运动动？(2)C刚开始运动时的速度。刚开始运动时的速度。解：解：(1)设绳中的张力为设绳中的张力为TA：B：解得：解得：由：由：TTMg62(2)C刚开始运动时的速度刚开始运动时的速度绳拉紧的瞬间相当于物体绳拉紧的瞬间相当于物体C与与A、B两物体组成的系统相两物体组成的系统相碰撞，绳间的张力远大于重力，因此可以忽略物体碰撞，绳间的张力远大于重力，因此可以忽略物体A所受的重所受的重力。力。由动量守恒定律：由动量守恒定律：其中：其中：是绳拉紧前是绳拉紧前A、B的共同速度的共同速度V是绳拉紧后是绳拉紧后A、B、C的共同速度的共同速度问题：问题：TTMg把物体把物体A、B、C看成一个系统，则看成一个系统，则63运用动量定理求运用动量定理求A：B和和C：说明说明(1)把把A、B、C看成是一个系统，直接用动量守恒定律建立方看成是一个系统，直接用动量守恒定律建立方程是错的，因系统的总动量是各质点动量的矢量和。程是错的，因系统的总动量是各质点动量的矢量和。(2)在对在对A建立动量定理方程时，忽略物体建立动量定理方程时，忽略物体A所受的重力。当系所受的重力。当系统内力远远大于外力时，做这样的近似是必要的。统内力远远大于外力时，做这样的近似是必要的。TTMg64例例7：有一门质量为有一门质量为M(含炮弹含炮弹)的炮车的炮车,在一固定的斜面上无在一固定的斜面上无摩擦地由静止开始下滑。当滑下摩擦地由静止开始下滑。当滑下L距离时，从炮车内沿水平方距离时，从炮车内沿水平方向射出一发质量为向射出一发质量为m的炮弹。欲使炮车在发射炮弹后的瞬间停的炮弹。欲使炮车在发射炮弹后的瞬间停止滑动，炮弹的初速应是多少？（设斜面倾角为止滑动，炮弹的初速应是多少？（设斜面倾角为）L Mm解：解：关键：炮车在发射炮弹的过程中，系统的动量是否关键：炮车在发射炮弹的过程中，系统的动量是否守恒？守恒？以炮车、炮弹为系统，受两个外力的作用：以炮车、炮弹为系统，受两个外力的作用：重力重力Mg和斜面对炮车的支持力和斜面对炮车的支持力NMgN显然，系统动量不守恒。显然，系统动量不守恒。由于内力很大由于内力很大,重力重力Mg可以忽略，可以忽略，所以只有沿斜面方向系统动量守恒！所以只有沿斜面方向系统动量守恒！65 oL MmMgNM =m ocos(1)认为系统水平方向动量守恒！认为系统水平方向动量守恒！由动量守恒定律：由动量守恒定律：其中其中 是是炮车下滑炮车下滑L时的速度：时的速度：此题易犯的错误：此题易犯的错误：M cos =m o66例例8：光滑水平地面上放有一质量为：光滑水平地面上放有一质量为M的楔形物体的楔形物体(倾角为倾角为)，其上又放一质量为其上又放一质量为m的小楔形体。的小楔形体。M的水平直角边的边长为的水平直角边的边长为a，m的水平直角边的边长为的水平直角边的边长为b。设它们由静止开始滑动，求当。设它们由静止开始滑动，求当m的下边缘滑到水平面时，的下边缘滑到水平面时，M在水平面上移动的距离。在水平面上移动的距离。abmM xoV解：解：对对M与与m组成的系统，由于水平方向不受外力作用，组成的系统，由于水平方向不受外力作用，故水平方向动量守恒。故水平方向动量守恒。设设M与与m相对地面的速度分别是相对地面的速度分别是V和和，m相对于相对于M的速度为的速度为,则则在水平方向：在水平方向：x=x-V由动量守恒：由动量守恒：m x-MV=067将将 x=x V 代入代入m x-MV=0得：得：(M+m)V=mx将上式两边对时间积分，有将上式两边对时间积分，有:abmM xoV最后求得最后求得M在水平面上移动的距离：在水平面上移动的距离：而而是是m相对于相对于M在水平方向移动的距离，可知在水平方向移动的距离，可知显然，显然，就是就是M相对水平地面移动的距离；相对水平地面移动的距离；68说明说明(1)只能在惯性系中建立动量定律方程。只能在惯性系中建立动量定律方程。(2)用动量定律求解不需要考虑两斜面之间是否存在摩擦力，用动量定律求解不需要考虑两斜面之间是否存在摩擦力，即便存在摩擦力，上述结果同样成立。即便存在摩擦力，上述结果同样成立。6.碰撞问题碰撞问题(1)特点：内力特点：内力外力，系统动量守恒。外力，系统动量守恒。(2)分类：弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞；分类：弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞；(3)恢复系数：恢复系数：69由以上两式解出碰撞后两小球的速度为由以上两式解出碰撞后两小球的速度为形变完全恢复，为弹性碰撞形变完全恢复，为弹性碰撞形变部分恢复，非弹性碰撞形变部分恢复，非弹性碰撞形变完全不能恢复，完全非弹性碰撞形变完全不能恢复，完全非弹性碰撞70例例8：光光滑滑的的水水平平桌桌面面上上，有有一一质质量量为为m、速速度度为为u的的小小球球A沿沿水水平平方方向向飞飞行行，与与一一静静止止的的小小球球B碰碰撞撞后后，A球球的的速速度度变变为为 1，其其方方向向与与u方方向向成成90，B球球的的质质量量为为5m，它它被被撞撞后后以以速速度度 2飞飞行行，2的的方方向向与与u成成=arcsin(3/5)角角，求求两两小小球球相相碰碰后速度后速度 1、2的大小。的大小。对两小球组成的系统，显然动量对两小球组成的系统，显然动量守恒守恒:x方向：方向：mu=5m 2cos y方向：方向：0=-m 1+5m 2sin 解以上两式得解以上两式得 1=3u/4,2=u/4xy90Amu 2B 5m 1解：解：71“碰撞碰撞”：相互靠近，由于斥力：相互靠近，由于斥力而分离的过程而分离的过程散射。散射。例例9：粒子散射中，质量为粒子散射中，质量为m的的 粒子与质量为粒子与质量为M的静止氧原的静止氧原子核发生子核发生“碰撞碰撞”。实验测出碰撞后，。实验测出碰撞后，粒子沿与入射方向成粒子沿与入射方向成=72 角方向运动，而氧原子核沿与角方向运动，而氧原子核沿与 粒子入射方向成粒子入射方向成 =41 角反冲，如图所示，求角反冲，如图所示，求“碰撞碰撞”前后前后 粒子速率之比。粒子速率之比。对对 粒子和氧原子核系统，碰撞过粒子和氧原子核系统，碰撞过程总动量守恒。程总动量守恒。解：解：Mm建立直角坐标系，如图所示。建立直角坐标系，如图所示。72解得解得“碰撞碰撞”前后前后 粒子速率之比粒子速率之比:直角坐标系中直角坐标系中:xyxyMm737.质心、质心定理质心、质心定理质点系的运动质点系的运动=质心的运动质心的运动+各质点相对质心的运动各质点相对质心的运动(1)质心质心设质点系由设质点系由n个质点组成个质点组成,m1、m2、mn分别是各质点分别是各质点的质量，的质量，r1、r2、rn分别表分别表示各质点的位矢，则质心的位示各质点的位矢，则质心的位矢矢.ccccc74在直角坐标系中，质心的坐标在直角坐标系中，质心的坐标对质量连续分布的物体对质量连续分布的物体显然，对质量均匀分布的物体，质心也就是它的几何显然，对质量均匀分布的物体，质心也就是它的几何中心。中心。752.质心运动定理质心运动定理质心速度质心速度:由上式可知由上式可知即质点系的总动量等于总质量乘以质心的速度。即质点系的总动量等于总质量乘以质心的速度。由质点系的动量定理由质点系的动量定理质心可视为整个质点系的一个等效质点，质心的运动质心可视为整个质点系的一个等效质点，质心的运动就代表了系统的整体运动。就代表了系统的整体运动。76质心加速度质心加速度:质心运动定理质心运动定理由此可见，若质点系所受合外力为零，质心静止或匀速直由此可见，若质点系所受合外力为零，质心静止或匀速直线运动。即线运动。即这就是质点系的动量守恒定律。这就是质点系的动量守恒定律。77例例8：光滑水平地面上放有一质量为：光滑水平地面上放有一质量为M的楔形物体的楔形物体(倾角为倾角为)，其上又放一质量为其上又放一质量为m的小楔形体。的小楔形体。M的水平直角边的边长为的水平直角边的边长为a，m的水平直角边的边长为的水平直角边的边长为b。设它们由静止开始滑动，求当。设它们由静止开始滑动，求当m的下边缘滑到水平面时，的下边缘滑到水平面时，M在水平面上移动的距离。在水平面上移动的距离。abmM xoV解：解：对对M与与m组成的系统，由于水平方向受外力为零，故系统质组成的系统，由于水平方向受外力为零，故系统质心在水平方向无运动，即心在水平方向无运动，即x坐标不变。即坐标不变。即用质心定理求用质心定理求x0、X0分别代表初始时刻分别代表初始时刻m、M的质的质心的坐标心的坐标78abmM xoV由伽利略变换，由伽利略变换，m的下边缘滑到的下边缘滑到水平面时：水平面时：这就是这就是m的下边缘滑到水平面时，的下边缘滑到水平面时，M在水平面上的位移，在水平面上的位移，负号表示位移方向与负号表示位移方向与x轴正方向相反。轴正方向相反。即即(x-x0)-m在水平方向的位移在水平方向的位移(X-X0)-M在水平方向的位移在水平方向的位移79一一.质点动能定理质点动能定理1.功功力的空间累积量力的空间累积量若若质质点点从从a点点运运动动到到b点点，则则力力f对对质质点点所所做的总功就是各元功之和做的总功就是各元功之和:dr设一质点在力设一质点在力 作用下作用下,发生一无限小位移发生一无限小位移，力对质点所，力对质点所做的元功做的元功2-3 能量守恒定律能量守恒定律研究内容：力的空间累积效应研究内容：力的空间累积效应 abf80若质点在恒力若质点在恒力 作用下，作用下，位移为位移为,则力做的功为则力做的功为(1)功是标量功是标量,且有正负。且有正负。在直角坐标中在直角坐标中说明力说明力所做的功等于各分力所做的功等于各分力fx、fy、fz 所作的功的代数和。所作的功的代数和。说明说明ab81推广：若质点同时受到几个力的作用，则合力做的功等于各推广：若质点同时受到几个力的作用，则合力做的功等于各分力作的功的代数和。分力作的功的代数和。(2)功是过程量，功是力对空间的累积，功总是和某个运动过功是过程量，功是力对空间的累积，功总是和某个运动过程相联系。因此功的值既与质点运动的始末位置有关程相联系。因此功的值既与质点运动的始末位置有关,也与运也与运动路径有关。动路径有关。(3)功是相对量，功是相对量，其大小随所选参考系的不同而不同。其大小随所选参考系的不同而不同。(4)力在单位时间内作的功称为功率，用力在单位时间内作的功称为功率，用P表示表示82(5)一对力的功：一对力的功：om1m2和和是一对相互作用力，则是一对相互作用力，则设在某段时间内，设在某段时间内，m1和和m2分别分别发生了位移发生了位移和和，则这一，则这一对力所做的功：对力所做的功：上式说明两质点间的一对相互作用力的元功等于其中一个质上式说明两质点间的一对相互作用力的元功等于其中一个质点受的力和该质点相对另一质点的元位移的标积。点受的力和该质点相对另一质点的元位移的标积。83对上式积分可得到两质点从初始位置到终点位置对上式积分可得到两质点从初始位置到终点位置,一对力做的一对力做的总功：总功：结论结论A.一对相互作用力做的总功只取决于两质点间的相对运动一对相互作用力做的总功只取决于两质点间的相对运动,与与参考系的选择无关。参考系的选择无关。B.如果两质点间无相对运动，或相对运动的方向与相互作如果两质点间无相对运动，或相对运动的方向与相互作用力垂直，则一对力所做的功之和为零，否则，一对力的总用力垂直，则一对力所做的功之和为零，否则，一对力的总功不为零。功不为零。84mM xoVuL例：如图所示，物体例：如图所示，物体m放在粗糙斜面放在粗糙斜面M上，而斜面上，而斜面B放在光放在光滑水面上。当滑水面上。当m下滑时，下滑时，M也将运动。试说明在这个过程中，也将运动。试说明在这个过程中，m、M间的一对摩擦力做功之和是正还是负？间的一对摩擦力做功之和是正还是负？A、B间的一对间的一对正压力做功之和又如何？正压力做功之和又如何？A=-fL在在m下滑的过程中，下滑的过程中，m与与M之之间的一对摩擦力做的功间的一对摩擦力做的功:一对正压力做的功一对正压力做的功:A=0852.质点动能定理质点动能定理上上式式说说明明:合合力力对对质质点点所所作作的的功功等等于于质质点点动动能能的的增增量量。这这一一结论称为质点动能定理。只在惯性系中成立。结论称为质点动能定理。只在惯性系中成立。功代表力的空间累积，那么力对物体做功会产生什么效果呢？功代表力的空间累积，那么力对物体做功会产生什么效果呢？是质点以速率是质点以速率v运动时具有的动能运动时具有的动能dr abf86学习要点：计算变力的功。学习要点：计算变力的功。解：解：例例1：一质量为：一质量为m的质点，在的质点，在x-y平面上运动，力平面上运动，力作用在质点上，试求质点沿两条不同路径作用在质点上，试求质点沿两条不同路径(ODE、OCE)运动运动时，力所做之功。时，力所做之功。YOX22EDC力做功与路径有关！力做功与路径有关！沿沿OCE：沿沿ODE：87例例2：质量：质量m=2kg的质点在力的质点在力F=12t i(SI)的作用下，从静止出发的作用下，从静止出发沿沿X轴正向作直线运动，求前三秒该力所作的功。轴正向作直线运动，求前三秒该力所作的功。解：解：(1)式积分不能直接求出，由牛顿定律：式积分不能直接求出，由牛顿定律：代入代入(1)式：式：88由动能定理：由动能定理：另法：另法：冲量冲量例例2：质量：质量m=2kg的质点在力的质点在力F=12t i(SI)的作用下，从静止出发的作用下，从静止出发沿沿X轴正向作直线运动，求前三秒该力所作的功。轴正向作直线运动，求前三秒该力所作的功。由动量定理：由动量定理：89当当t=0时时，x=a,y=0;当当t=/(2)时时，x=0,y=b。例例3：一质量为一质量为m的质点在的质点在xoy平面上运动，其位置矢量为平面上运动，其位置矢量为(SI),式中式中a、b、是正值常数，且是正值常数，且ab。求：。求：t=0到到t=/(2)时间内合外力的功及分力时间内合外力的功及分力Fx、Fy的功的功.解：解：其中其中:x=acos t,y=bsin t合外力：合外力：分力：分力：Fx=-m 2x,Fy=-m 2y,合外力的功为合外力的功为：90分力分力Fx、Fy的功为：的功为：另法：合外力的功也可由动能定理直接求出。另法：合外力的功也可由动能定理直接求出。所以合外力的功：所以合外力的功：当当t=0时时，o=b j,动能动能:当当t=/(2)时时,=-a i,动能动能:91由动能定理得合外力的功为由动能定理得合外力的功为这样作的优点是：不必求出力，就能求出这个力的功，且这样作的优点是：不必求出力，就能求出这个力的功，且更简便。更简便。92例例4：一粗细均匀的柔软绳子，长为：一粗细均匀的柔软绳子，长为L，质量为，质量为m，放在桌面上，放在桌面上靠边处，并使其一端下垂的长度为靠边处，并使其一端下垂的长度为a。设绳子与桌面之间的摩。设绳子与桌面之间的摩擦系数为擦系数为，绳由静止开始运动。求，绳由静止开始运动。求(1)到绳离开桌边的过程到绳离开桌边的过程中，摩擦力对绳作了多少功？中，摩擦力对绳作了多少功？(2)绳离开桌边时的速率是多少绳离开桌边时的速率是多少？oXxL-x解：解：(1)建立建立ox坐标如图所示坐标如图所示设某一时刻绳下落的长度为设某一时刻绳下落的长度为x，桌，桌面上的绳受到的摩擦力面上的绳受到的摩擦力:摩擦力的功：摩擦力的功：93(2)绳离开桌边时的速率是多少？绳离开桌边时的速率是多少？oXxL-x设绳离开桌边时的速率为设绳离开桌边时的速率为v，根据动能定理，根据动能定理绳在下落过程中，除了摩擦力作功，还有重力作功，即绳在下落过程中，除了摩擦力作功，还有重力作功，即A=Af+AP重力作功重力作功:最后得到最后得到94二二.势能势能1.保守力作功的特点保守力作功的特点hbLabmghaoyxC功是过程量，但有些力的功却与路径无关，只与质点的始末功是过程量，但有些力的功却与路径无关，只与质点的始末位置有关位置有关保守力。保守力。(1)重力的功重力的功 设设质质量量为为m的的质质点点沿沿一一曲曲线线L从从a点点运运动动到到b点点(高高度度分分别别为为ha和和hb),重力对质点重力对质点m作的功为作的功为 重力作功只与质点的始末位置有关重力作功只与质点的始末位置有关,而而与质点所经过的实际路径形状无关。与质点所经过的实际路径形状无关。95当小球由当小球由a点运动到点运动到b点过程中点过程中,弹性力所作的功为弹性力所作的功为弹性力作功和重力作功一样，只与运动质点的始末位置有弹性力作功和重力作功一样，只与运动质点的始末位置有关，而与其经过的实际路径形状无关。关，而与其经过的实际路径形状无关。(2)弹性力的功弹性力的功xa (原长原长)oxbabx96质质量量为为m的的质质点点在在质质量量为为M的的质质点点的的引引力力场场中中,由由a点点沿沿任任意意路径运动到路径运动到b点。引力对质点点。引力对质点m所做的功为所做的功为万万有有引引力力的的功功也也只只与与质质点点始始末末位位置置有有关关,而与质点所经过的实际路径形状无关。而与质点所经过的实际路径形状无关。(3)万有引力的功万有引力的功rarbabMdr m注意到：注意到：97(4)摩擦力力的功摩擦力力的功Saboyx设一质点在水平面内沿曲线运动，设一质点在水平面内沿曲线运动，受到滑动摩擦力受到滑动摩擦力的作用的作用质点从质点从a点到点到b点，摩擦力作的功：点，摩擦力作的功：S是质点从是质点从a到到b所经过的路程。由此可见，摩擦力作功不仅与始所经过的路程。由此可见，摩擦力作功不仅与始末位置有关，而且还与质点走过的路程有关。末位置有关，而且还与质点走过的路程有关。是轨道切线方向上的单位矢量。是轨道切线方向上的单位矢量。98因为保守力做功只与质点的始末位置有关，而与路径无关因为保守力做功只与质点的始末位置有关，而与路径无关,故保守力沿任意闭合路径故保守力沿任意闭合路径L所作的功总为零所作的功总为零,亦即亦即上式表明：保守力的环流上式表明：保守力的环流(沿任意闭合路径沿任意闭合路径L的线积分的线积分)为零。为零。这也是保守力的一种定义。这也是保守力的一种定义。结论结论保守力保守力做功只与质点的始末位置有关，而与路径形状无关。做功只与质点的始末位置有关，而与路径形状无关。如重力、弹性力、万有引力等。如重力、弹性力、万有引力等。非保守力非保守力做功不仅与质点的始末位置有关，而且还与路径做功不仅与质点的始末位置有关，而且还与路径形状有关。如摩擦力。形状有关。如摩擦力。99 2.势能势能重力的功重力的功弹性力的功弹性力的功引力的功引力的功定义：定义：Epa是系统在位置是系统在位置a的势能的势能;Epb是系统在位置是系统在位置b的势能。的势能。保守力的功等于势能增量的负值，这一结论称为势能定理。保守力的功等于势能增量的负值，这一结论称为势能定理。100说明说明(1)只有以保守力相互作用的系统才能引入势能。只有以保守力相互作用的系统才能引入势能。(2)势能不属于一个质点或物体，势能属于以保守力相互作用势能不属于一个质点或物体，势能属于以保守力相互作用的整个系统。势能是一种相互作用能。的整个系统。势能是一种相互作用能。(3)势能具有相对意义。要确定系统在任意位置的势能，必须势能具有相对意义。要确定系统在任意位置的势能，必须选定势能零点。选定势能零点。上上式式表表示示，系系统统在在位位置置a的的势势能能等等于于系系统统从从该该位位置置移移到到势势能能零零点点时时保保守守力力所所作作的的功功。这这就就是是计计算算势势能能的的方方法法。原原则则上上，势势能零点的位置可以任意选择。能零点的位置可以任意选择。101力学中三种常见的势能：力学中三种常见的势能：(1)零势面可任意选择。