第一章 绪论和量子力学的基础知识.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,辽宁石油化工大学,物理化学教研室,结构化学1,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,结构化学,1,辽宁石油化工大学,物理化学教研室,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,物理化学教研室,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,物理化学教研室,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,物理化学教研室,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,物理化学教研室,*,物理化学教研室,第一章,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,辽宁石油化工大学,物理化学教研室,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,1,章,量子力学基础,目 录,微观粒子的运动特征,量子力学基本原理,量子力学基本原理的简单应用,1,2,3,第一章 量子力学基础,【,教学要求,】,1.,掌握微观粒子的基本特征,-,能量量子化和波粒二象性。,2.,理解量子力学的五个基本假设。,3.,掌握波函数的物理意义，掌握波函数的条件和性质。,4.,掌握算符的定义、线性算符和轭米算符的定义和性质。,5.,理解本征方程、本征态和本征值等概念，推引定态薛定谔方程。,6.,理解态叠加原理。,第一章 量子力学基础,7.,掌握保里原理的概念，理解保里原理的实质。,8.,建立一维势箱的薛定谔方程，掌握求解薛定谔方程的过程。,【,重点、难点,】,1.,重点,:,实物粒子的能量量子化和波粒二象性；波函数的意义及波函数的条件；一维箱中粒子的处理方法和过程。,2.,难点：波函数的物理意义；轭米算符及薛定谔方程。,一、量子力学产生的背景,19,世纪前经典物理学：,Newton-,经典力学；,Maxwell-,电磁场理论,Gibbs-,热力学；,Boltzmann-,统计物理学,1.1,微观粒子的运动特征,经典物理学的一些观点：,质量,恒定,，不随速度改变,物体的能量是,连续,变化的,物体有,确定,的运动轨道,光现象只是一种,波动,经典物理学的研究范围：,质量,m,原子分子；,速度,v,光速,经典物理向高速领域推广,物体接近光速,相对论力学,；,观点,经典物理向微观领域推广,研 究对象向微观发展,量子力学,观点,在,20,世纪初，经典物理学无法解释的实验现象：,黑体辐射,(blackbody radiation),光电效应,(photoelectric effect),氢原子光谱,(line spectra of hydrogen atom),1,、,黑体辐射和能量量子化,黑体,是指能够完全吸收照射在其上面各种波长的光而无反射的物体。,黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。,黑体是理想化模型。黑体并不一定呈黑色。,光,带有一微孔的空心金属球，非常接近于黑体，进入金属球小孔的辐射，经过多次吸收、反射、使射入的辐射实际上全部被吸收。当空腔受热时，空腔壁会发出辐射，极小部分通过小孔逸出。,黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。,经典理论与实验事实间的矛盾,经典电磁理论假定，黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的，按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。,图,1.1,黑体辐射分布曲线,由图中不同温度的曲线可见，,随温度增加，辐射能,E,值增大，且其极大值向高频移动，最大强度向短波区移动（蓝移）。,随着温度升高，辐射总能量（曲线所包围的面积）急剧增加。,1.1,微观粒子的运动特征,Rayleigh-Jeans(,瑞利金斯,),曲线,Wien,（维恩）曲线,Rayleigh-Jeans,能量按自由度均分原则用到电磁辐射上,波长,实验曲线,黑体辐射能量分布曲线,能量,Wien,假定辐射波长的分布与,Maxwell,分子速度分布类似，,只适用于短波部分,只适用于长波部分，引出了“,紫外灾难,”的争论,1900,年，普朗克（,Planck,）的,能量量子化,公式,:,E=,nh,v,n=0,1,2,1858-1947,经典物理学解释,：,能量是连续变化的。,不能解释,1918,年诺贝尔,物理奖。,普朗克解释,：,黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为,能量为,0,h,的整数倍的电磁能，即黑体只能不连续地以,0,的整数倍一份一份地吸收或发射辐射能量。,Planck,常数：,h=6.626,10,-34,JS,h,称为,能量量子,(quantum of energy),1.1,微观粒子的运动特征,物理量的变化是不连续的，而以某一最小单位作跳跃式的增减，这种变化是“量子化”的，这一最小单位就叫“量子”。,1.1,微观粒子的运动特征,2.,光电效应,(Hertz,，,1887,年,),光电效应,:,光照在金属表面上，使金属发射出电子的现象。,经典理论认为,:,光波的能量与其强度成正比，而与频率无关,。,实验结果,:,照射光的频率超过频率,v,时金属才能发射光电子。,光电子的最大初动能正比于照射频率,v,与临域频率,v,0,的差值，与光照强度。,在单位时间里从金属表面脱出的光电子数与入射光强度成正比,。,1.1,微观粒子的运动特征,1905,年，,Einstein,在,Planck,能量量子化的启发下，提出光子说：,爱因斯坦,(Einstein),光子学说,(1),光的能量是量子化的。其最小单位称为一个光量子或简称光子，光子的能量为,(2),光为一束以光速,c,运动的光子流，其,强度,I,正比于单位体积内光子的数目即光子的密度,1.1,微观粒子的运动特征,(4),光子有一定的动量：,(5),光子与电子碰撞时服从能量守恒和动量守恒定律。,(3),光子有一定的质量：,光子的质量与光的频率或波长有关。注意：,光子没有静止质量。,Einstein,1921,年,Nobel,物理奖,实验验证,1916,年，,密立根在实验上验证了爱因斯坦的解释，所测得的,Planck,常数,h,于黑体辐射得到的结果相同,R A Millikan,1923,年,Nobel,物理奖,3.,氢原子光谱的不连续性,氢原子激发后会发出光来，测其,波长,，得到,原子光谱,。,1885,年巴尔麦（,Balmer,）,和随后的里德堡,(,Rydberg,),建立了对映氢原子光谱的巴尔麦公式。,经典物理无法解释氢原子光谱,656.3,486.1,434.1,nm,410.2,玻尔,(Bohr),理论,（,1,）,定态,(stationary state),规则,:,能量不随时间改变的状态,，即原子处于定态,不辐射能量。,基态,(ground state),激发态,(excited state),1913,年，丹麦物理学家玻尔著名的玻尔理论：,（,2,）,频率规则：,（,3,）,角动量量子化规则：,1922,年,诺贝尔物理学奖,.,Niels,Bohr(1885-1962),（,10,-10,m,）,Bohr,理论对氢原子光谱的解释,在定态中，绕核运动的电子的离心力与静电引力相平衡：,电子的角动量：,+e,-e,r,总能量,动能,势能,氢原子总能量,E,应为其动能和势能之和：,不能解释氢光谱的谱线强度、光谱精细结构、多电子原子的光谱现象。,其假设的平面轨道与电子围绕,原子核呈球形对称的现象不符。,未解释原子稳定存在的原因,。,Bohr,理论的局限性,656.3,486.1,434.1,nm,410.2,旧量子论,：,依然假定微观粒子的,位置和速度可以同时确定,，既可以得到微观粒子的运动轨迹。,量子化的提出，带有明显的人为性质，没有在本质上进行解释。,没有注意到大量微粒所具有的,波动性,特征。,旧的量子论很快被量子力学取代,。,光的本质认识历史,:,光电效应证实光具有粒子性，标志光的粒子性的能量和动量，和标志波动性的光的频率和波长之间，遵循爱因斯坦关系式,粒子,波,相互作用,传播过程,实验证明,1923,年康普顿通过实验证明，高频率的,X,射线被氢元素的电子散射后波长随散射角的增加而加大。,按经典电动力学，电磁波被散射后波长不发生改变。,但如果看作是光子与电子的碰撞的过程，则康普顿效应得到完满解释。,1927,年获奖,4,、微观粒子的波粒二象性,实物微粒是指,静止质量不为零,的微观粒子（,m,0,0,）。如电子、质子、中子、原子、分子等。,法国物理学家德布罗意（,de Broglie,）提出了,实物微粒,也有,波动性的假设,。与其相适应的波长为：,1929,年诺贝尔物理奖,（,1,）德布罗意假设,1892-1987,de Broglie,关系式。形式上与,Einstein,关系式相同，但却是一个新的假设。,实物微粒波也称为德布罗意波。,：德布罗意波的波长；,p,：粒子的动量；,h,：,Planck,常数；,：为粒子能量；,v,：物质波频率。,实物粒子 光子,德布罗依,(De Broglie),波与光波的区别：,光波的传播速度和光子的运动速度相等；德布罗依波的传播速度为相速度,u,，不等于实物粒子的运动速度,V,。,【,例题,】,对于一自由粒子，有人作如下推导,:,请问错何处,?,例,1:,求,m=1.010,-3,kg,的宏观粒子以,1.010,-2,ms,-1,的速度运动时，粒子的,de Broglie,波长。,这个波长与粒子本身的大小相比太小，观察不到波动效应。,（,2,）德布罗意波长的计算,例,2:,求以,1.010,6,ms,-1,的速度运动的电子的,de Broglie,波的波长。,大小相当于分子大小的数量级，说明原子和分子中电子运动的波效应是重要的。但与宏观体系的线度相比，波效应是微小的。,例,3,：计算动能为,300,eV,的电子的,de Broglie,波长。,=7.0810,-9,(cm),一电子被,1000V,的电场所加速，打在靶上，若电子的动能可转化为光能，则相应的光波应落在什么区域？,A),X,光区,B),紫外区,C),可见光区,D),红外区,1925,年，戴维逊和革末第一次得到了电子在单晶体中衍射的现象（,Ni,氧化，单晶），,1927,年他们又精确地进行了这个实验，实验发现从衍射数据中得到的电子的物质波波长与从德布罗意关系中计算的波长一致。,（,3,）德布罗意波长的实验证实,Geore,Paget Thomson,汤姆逊,1927,年使用快电子通过金属箔得到电子衍射图，计算出的结果与德布罗意关系式计算的波长一致,汤姆逊和戴维逊获得,1937,年,Nobel,物理奖,（,4,）德布罗意波长的物理意义,问题：,物质波究竟是一种什么波？或者说：具有波粒二象性的微观粒子，它们遵循什么样的物理规律？,统计结果,-,波动性,时间,1,2,3,4,瞬时作用,-,粒子性,环纹处，,粒子出现的概率大，环纹愈强，概率愈大，,空白区，,概率很小。衍射图上并不能区分个别粒子的位置，看到的是大量粒子的统计平均行为。,1926,年，,Born,提出实物微粒波的概率解释,实物微粒在空间不同区域出现的概率呈波动性分布。,Born,获得,1954,年,Nobel,物理奖,对微粒行为来说：,实物微粒的波性是和微粒行为的统计性联系在一起的，没有象机械波（介质质点的振动）那样直接的物理意义，,实物微粒波的强度反映粒子出现几率的大小。,对实物微粒粒性的理解也要区别于服从,Newton,力学的粒子,，实物微粒的运动没有可预测的轨迹。,一个粒子不能形成一个波，但从大量粒子的衍射图像可揭示出粒子运动的波性和这种波的统计性。,原子和分子中电子的运动可用,波函数,描述，而电子出现的几率密度可用,电子云,描述。,5,、不确定关系,测不准原理,(uncertainty principle),1927,年，德国物理学家,Heisenberg,提出了不确定关系，他认为,具有波性的粒子不能同时具有确定的坐标和动量，它们遵循不确定关系,。,不确定关系式,位置的不确定量,动量的不确定量,同理：,Heisenberg,上式表明具有波性的微粒，不能同时确定坐标和动量，,当它的某些坐标确定的愈精确，其相应的动量就愈不确定，反之亦然。而两个量的不确定程度的乘积约为,h,的数量级。,或者说，如果我们准确地确定粒子的位置，那么，我们就得不到动量得任何信息（完全无法得知），二者同时可测的不确定量乘积至少是,h,（,h/4,）,对一级衍射,y,P,P,A,C,O,D,e,A,O,Q,P,x,C,考虑二级衍射,由更详细的计算可得以下关系式,-,测不准关系式,:,但是任一坐标与另一动量方向分量之间不受这种限制,所以，,子弹位置的不确定范围是微不足道的,。可见子弹的动量和位置都能精确地确定，,不确定关系对宏观物体来说没有实际意义。,例,1.,一颗质量为,10g,的子弹，具有,200ms,-1,的速率，若其动量的不确定范围为动量的,0.01%(,这在宏观范围已十分精确,),，则该子弹位置的不确定量范围为多大,?,解,:,子弹的动量,动量的不确定范围,由不确定关系式，得子弹位置的不确定范围,我们知道,原子大小的数量级为,10,-10,m,，,电子则更小,。在这种情况下，电子位置的不确定范围比原子的大小还要大几亿倍，可见企图精确地确定电子的位置和动量已没有实际意义。,例,2,.,一电子具有,200ms,-1,的速率，动量的不确定范围为动量的,0.01%(,这已经足够精确了,),，则该电子的位置不确定范围有多大,?,解,:,电子的动量为,动量的不确定范围,由不确定关系式，得电子位置的不确定范围,对质量,m=10,-15,kg,的微尘，求速度的测不准量。设微尘位置的测量准确度为,x,=10,-8,m,比起微尘运动的一般速度（,10,-2,m.s,-1,）,是完全可以忽略的，至于质量更大的宏观物体，,v,就更小了。由此可见，,可以认为宏观物质同时具有确定的位置和动量，因而服从经典力学规则。,由测不准关系式得：,例,3,(1),坐标与同一方向上的动量分量不能同时确定。,x,与,p,y,之间不存在上述关系。,(2),测不准原理关系在宏观体系中也适用，只不过是测不准量小到了可忽略的程度。,说明,测不准关系式可用于判断哪些物体其运动规律可用经典力学处理，而哪些则必须用量子力学处理。,应用,宏观物体同时有确定的,坐标和动量,，可用,Newton,力学描述；而微观粒子的坐标和动量,不能同时确定,，需用量子力学描述。,宏观物体,有连续可测的运动轨道,，可追踪各个物体的,运动轨迹加以分辨,；微观粒子具,有几率分布,的特征，,不可能分辨出各个粒子的轨迹,。,宏观物体可,处于任意的能量状态,，体系的能量可以为任意的、,连续变化的数值,；微观粒子只能,处于某些确定的能量状态,，能量的,改变量不能取任意的、连续的数值,，只能是分立的，即量子化的。,测不准关系对宏观物体没有实际意义（,h,可视为,0,）；微观粒子遵循测不准关系，,h,不能看做零。,所以可用测不准关系作为宏观物体与微观粒子的判别标准。,微观粒子和宏观粒子的特征比较,具有波粒二象性的微粒，没有运动轨道，只有在空间出现的几率分布（波的强度与粒子出现的几率相联系），能量的改变量不连续（量子化），并满足测不准关系。其运动规律需由量子力学来描述。,结 论：,解：根据,公式 ，逸出功,W,0,是一个电子脱离金属表面必需的能量，这由照射光供给，即,E=1.81.60210,-19,J=,hv,=,hc/,设一个电子脱离金属钾表面所需的能量为,1.8eV,，问需何种波长的光照射才能产生光电流，照射光子的质量和动量分别为何值,?,照射光的质量：,照射光的动量：,1.2,量子力学基本假设,量子力学,：,描述微观粒子运动规律的科学。主要特点是能量量子化和运动的波性。是自然界的基本规律之一。主要贡献者有：,Schr,dinger,Heisenberg,，,Born,（,1954,）,&,Dirac,海森伯,(1932),薛定谔,(1933),狄拉克,(1933),1.2,量子力学基本假设,一、波函数和微观粒子的状态,假设,I,对一个微观体系，它的状态和有关情况可用波函数,(x,y,z,t,),来表示。,是体系的状态函数，是体系中所有粒子的坐标函数，也是时间函数。,定态波函数：,不含时间的波函数,(x,y,z,),称为,定态波函数,。（即波函数的形式不随时间而改变）,例如：,三粒子体系,=,（,x,1,y,1,z,1,x,2,y,2,z,2,x,3,y,3,z,3,t,）,一般是复数形式：,=f +i g,的共轭复数,*:,*=f -i g,*=,（,f+i g)(f i g)=f,2,+g,2,是实数，而且是正值,常用,2,代替,*,。,关于波函数的几点说明,（,x,y,z,),在空间某点的数值，,可能是正值或负值,，微粒的波性通过,的,+,、,反映出来，与光波相似。,的性质与其是奇、偶函数有关，涉及微粒从一种状态跃迁至另一个状态的几率性质等。,虽不是物理波，但,是粒子运动状态的一种数学表示,，可从中得到体系状态的有关物理量和变化信息。,由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，即在该点附近找到粒子的几率正比于,*,，所以通常将用函数,描述的波称为,几率波。,在原子、分子等体系中：,称为,原子轨道,或,分子轨道；,*,称为,几率密度,，它就是通常所说的,电子云；,*,d,为空间某点附近体积元,d,中电子出现的几率。,【,例题,】,证明,与,所描述,的几率密度分布是相同的。,1.2,量子力学基本假设,1,、波函数的物理意义,波函数用来描述微观粒子的运动状态；,波函数绝对值平方 代表体系几率密度分布。,2,、波函数的合格条件,连续,单值,有限,单值的 即在空间每一点,只能有一个值；,连续的 即,的值不出现突跃；对,x,，,y,，,z,的一级微商也是连续函数；,有限的（平方可积的）即,在整个空间的积分 为一个有限数，通常要求波函数归一化，即,波函数,必须满足三个条件,符合这三个条件的波函数称为：,合格波函数或品优波函数。,例,1,下列波函数是否是合格波函数？,单值性很容易判断；,有限性是指波函数应为收敛函数，即,r,，,0,或一个有限值。,连续性是指一阶导数连续，二阶导数,存在。,关键,例,2.,指出下列那些是合格的波函数,(,粒子的运动空间为,0+),sinx (b)e,-x,(c)1/(x-1),(d)f(x)=e,x,(01),(b),是合格的波函数,3,、波函数的性质,归一性,若,为归一化波函数；,若,为未归一化波函数。,设,则,称为归一化系数,归一化过程,:,为归一化波函数,内是否为归一化波函数？,例,在区间,故,:,未归一化,;,为归一化系数。,算符,：,对某一函数进行,运算,操作，规定运算操作性质的符号。,例如：,sin,cos,log,exp,等,.,二、力学量和算符,假设,II,对一个微观体系的每一个可观测的力学量都对应着一个,线性,自轭,算符,。,1.2,量子力学基本假设,线性算符,：,指算符满足下列条件,log,sin,自轭算符：,指算符 能满足,或,1.2,量子力学基本假设,线性自轭算符,：,既是线性算符又是自轭算符的算符。,厄米算符,假设,II,对一个微观体系的每一个可观测的力学量都对应着一个,线性,自轭,算符,。,例,证明算符 为自轭算符。,1.2,量子力学基本原理,若干力学量及其算符,力学量,算符,力学量,算符,位置,x,势能,V,动量的,x,轴分量,p,x,动能,T=p,2,/2m,角动量的,z,轴分量,M,z,xp,y,yp,x,总能量,E=T+V,例,计算总能量算符,1.2,量子力学基本假设,三、本征态、本征值和薛定谔方程,假设,若某一力学量的算符 作用于某一状态函数,后，等于某一常数,a,乘以,，即,那么对,所描述的这个微观体系的状态，其力学量 具有确定的值,a,a,称为力学量算符 的,本征值,，,称为 的,本征态,或,本征波函数,，,而该方程则称为 的,本征方程,。,自轭算符本征函数和本征值的性质,A.,自轭算符本征值是实数,因此，,a,=,a,*,，即,a,必为实数。,B.,自轭算符本征函数满足正交归一化性,例,试问下列二函数是否是 的本征函数，若是，求出本征值。,d/d x=d a exp(-ax)/d x=-a,2,exp(-ax),=(-a)a exp(-ax)=(-a),本征值为,a,例题,1,：,=a exp(-ax),是算符,d/d x,的本征函数，,求本征值。,例题,2,：,=a exp(-ax),是算符,d,2,/dx,2,的本征函数,求本征值。,d,2,/dx,2,=d,2,a exp(-ax)/dx,2,=-a,2,d exp(-ax)/d x,=a,3,exp(-ax)=a,2,a exp(-ax),=a,2,本征值为,a,2,一个保守体系的总能量,E,在经典力学中用,Hamilton,（哈密顿）函数,H,表示，即,将算符形式代入，得,其中,称为,Laplace,算符,1.2,量子力学基本假设,利用能量算符，得到,上式即为,Schr,dinger,方程，它是决定体系能量算符的本征值和本征函数的方程，是量子力学的一个基本方程。,当体系的势能项,V,中，不含时间变量,t,，,体系的势能不随时间变化,（亦即体系的哈密顿量不随时间变化），这种状态称为,定态,。这个本征态对应的本征值，就是该状态的能量。该波函数称为定态波函数。,(,本课程只讨论定态,),1.2,量子力学基本假设,定态,Schrdinger,方程的意义,:,表示一质量为,m,的粒子，它处于位能为,V,的力场中运动所遵守的运动方程,其每一个,定态,可以用满足这个方程合理解的,波函数,来,描述，与每一个,i,相应的,常数,E,i,就是微粒处在定态时的,能量,。,2,d,就是微粒出现在体积元,d,内的几率。,函数组,i,(,i,=1,2,3),形成,正交归一,函数组：,正交,归一,1.2,量子力学基本假设,四、态叠加原理,假设,IV,若,1,，,2,，,，,n,为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合得到的,也是该体系可能存在的状态。,式中,c,1,c,2,，,c,n,为任意常数。系数,c,1,c,2,c,n,等数值的大小，反映决定,的性质中,i,的贡献；,c,i,2,越大，相应,i,的贡献越大。,1,、物理量的,确定值,若微观体系粒子的运动状态 是某个物理量算符 的本征态，则在该状态 时，力学量 有确定值，其值可由本征方程求得。,为该物理量得,确定值,设与,1,，,2,n,对应的本征值分别为,a,1,，,a,2,，,，,a,n,，当体系处于状态并且已归一化时，可由下式计算力学量的平均值,a,（对应于力学量,A,的实验测定值）：,2,、物理量的平均值,系数,c,i,的大小，反应,i,对,的贡献；,c,i,2,表示,i,在,中所占的百分数。,若 不是 的本征函数，即体系处于某个任意状态，,a,则在此状态，该物理量没有确定值，只能求平均值。,若 为归一化波函数，则：,平均值公式：,例：求函数 的平均坐标,一维势箱中粒子，对应能量,E,1,对应能量,E,2,。求体系在 状态时，能量的平均值 。,例,8,五、泡利原理,假设,V,在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个电子，这两个电子的自旋状态必须相反。,（或者说两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道。）,1.2,量子力学基本假设,或者还可以说：,描述多电子体系轨道运动和,自旋,运动的,完全波函数,，对任意两粒子的全部坐标（空间坐标和自旋坐标）进行交换，一定得反对称的波函数。,1925,年，,G.Uhlenbeck,(,乌仑贝克）和,S.Goudsmit,（哥希密特）提出电子自旋假设，,认为电子具有不依赖于轨道运动的自旋运动，具有固定的角动量和相应的磁矩。,保里不相容原理：,一个多电子体系，两个自旋相同的电子不能占据同一个轨道，即两个电子的量子数不能完全相同。,保里排斥原理：,一个多电子体系，自旋相同的电子尽可能分开，远离。,S,为半整数的粒子称为,费米子,，电子、质子、中子等；,S,为整数的粒子称为,玻色子,，光子、,粒子、,介子等。,一维势箱中的粒子的量子力学来处理问题,量子力学处理一个微观体系的基本步骤：,根据体系的物理条件，写出它的能量,(,动能、势能,),函数的形式；,列出薛定谔方程；,求出薛定谔方程满足条件的解，得到体系波函数和相应的能量；,利用波函数和能量公式作出适当结论。,1.3,箱中粒子的的,Schr,dinger,方程及其解,1.3,箱中粒子的的,Schr,dinger,方程及其解,一、,一维势箱模型,一维势箱,(,势阱）模型,V(x),V=0,X=0,X=,l,V,V,I,II,III,金属中的自由电子,、,化学中的离域键电子等,，可近似按一维势箱模型处理。,m,（,1,）,Schrodinger,方程及其解,箱外：,箱内：,此方程为,二阶常系数线性齐次,方程，接下来对其求解,m,其特征根方程为：,特征根：,通解,:,应用欧拉公式：,该式二阶常系数线性微分方程，其解为：,该解对自由粒子成立，但须用边界条件确定。,（,2,）,根据品优函数的连续性和单值性以及边界条件：,当,x=0,时，,当,x=l,时，,利用归一化条件：,箱外波函数为,0,，,（,3,）求波函数系数,c,2,能量量子化！,二、解的讨论,(1).,能量量子化,n=1,时为基态,第一激发态，,第二激发态。,第三激发态。,(2),零点能效应,体系最低能量状态能量值不为零的现象，称为,零点能效应,。,能级公式表明,即,:,粒子处于最低能量状态，,最低动能恒大于零意味着粒子永远在运动，即运动是绝对的，,这是微观粒子所具有的特点。,经典力学能量为零,(3),离域效应,(delocalization effect):,(a),粒子的运动范围扩大,即,l,增大,则能量减小,E,减小,根据频率规则,吸收光谱的波长增大,出现,红移现象,(b),l,时,E,0,能量连续,说明非束缚态时,能量是连续的,(c),m,增大,与,l,增大,有相同的现象,三,.,波函数与几率密度,(1),箱中各点几率不同,节点，节点数，能量，几率密度关系？,可正可负，,=0,称,节点,，节点数随量子数增加而增加，共有,n-1,个节点，节点越多，能量越高。,的点称为节点，,节点数为,(n-1),个，节点数愈多，状态的能量愈高。,粒子在节点处出现的几率为,0,粒子可以从某处到另一处，而无需经过中间的某点,(,节点,),(2),几率波长,(3),波函数的正交归一性,（,1,）粒子在箱中的平均位置,五、箱中粒子的各种物理量,粒子的平均位置在势箱的中央，说明它在势箱左、右两个半边出现的几率各为,0.5,，即 图形对势箱中心点是对称的。,（,2,）粒子动量的,x,轴分量,p,x,1.3,箱中粒子的的,Schr,dinger,方程及其解,表明粒子向正、反向运动的概率相等。,（,3,）粒子的动量平方,p,x,2,值,1.3,箱中粒子的的,Schr,dinger,方程及其解,六、,一维势箱的应用,(,直链共轭多烯,),情况（,b,）中离域效应使体系的,电子能量比定域双键分子（,a,）中电子的能量要低，离域效应扩大了,电子的活动范围。即,：,增加一维势箱的长度使分子能量降低，稳定性增加。,C,C,C,C,C,C,C,C,E,1,4/9,E,1,1/9,E,1,定域键,离域键,l,l,l,3,l,l,花菁染料的吸收光谱,R,2,N,(CH,CH,),n,CH,N,+,R,2,n,计算,实验,311.6 309.0,412.8 409.0,514.0 511.0,说明此体系可近视看做一维势箱。,势箱总长,l,248n+565pm,，,共有,2n,2,2,个,电子；基态时需占,n+2,个分子轨道，,E,n+2,E,n+3,时，,=E/h=(h/8ml,2,)(n+3),2,-(n+2),2,=(h/8ml,2,)(2n+5),由,=c/,，,=8ml,2,c/(2n+5)h,1.3,箱中粒子的的,Schr,dinger,方程及其解,例题,：,若某一电子的运动可以按一维势箱模型处理,，,其势箱长度为,1,，,计算该粒子由基态到第二激发态的跃迁波数,。,Schrdinger,方程：,Hamiltonian,：,七、一维势箱模型推广到三维情况,微分，再两边同时除以,由于三个方向相互正交，为方便求解，可以假设：,代入,Schrdinger,方程：,得：,上式成立的条件是：,可得：,若,a=b=c,，则,对立方势箱,例：,三个波函数对应三种不同的运动状态，但对应同一个能量值，为简并态，简并度为,3,。,1.3,箱中粒子的的,Schr,dinger,方程及其解,体系的状态由 三个量子数决定，当三个数取值不完全相同时，能量有可能相等，这种一个体系中能量相等的不同状态也称做,简并态,，对应于同一能量值的状态数叫,简并度,；,立方势箱能级最低的前五个能级简并情况,例题：,1,）若立方势箱中运动的粒子的能量为下列值，求其简并度为多少,？,2,）求立方势箱中运动的粒子的能量符合下列条件的所有状态,？,本 章 总 结,一、掌握光的特性及其有关计算,1.,三个著名实验涉及的科学家,2.,光的波粒二象性,Plank,，,einstein,，,Bohr,，,De Broglie,，,Heisenberg,二、掌握实物粒子的特性及其有关计算,2.,德布罗依波长,1.,实物微粒的波粒二象性,3.,不确定关系式,1.,波函数,假设,三、量子力学基本假设,掌握波函数的合格条件及性质,2.,物理量和算符,掌握算符的本征态、本征值及本征方程。,掌握几重要个算符；,掌握几重要个算符；,对于给定体系，会求,：,本征态：物理量的确定值；,任意态：物理量的平均值；,或,3.,掌握一维势相粒子的处理结果,掌握一维势箱波函数及能级公式；,了解零点能效应，离域效应及节点与能量的关系；,会用一维势箱模型确定共轭体系,电子总能量，,跃迁最大吸收波长。,习题讲解,1.,若将,1,3,5,己三烯分子中共轭,电子的运动简化为一维势箱模型，设势箱长,l,，试求出：,共轭电子的总能量；,分子吸收光谱中最大吸收波长,；,对应该波长光子的动量,P,，质量,m,；,当一个,电子处于状态,3,(x),时，其动量,和德布罗依波长。,解：分子中共有,6,个,电子,电子组态：,已知一维势箱粒子的归一化波函数为：,试问：动量有无确定值？若有，求之，若无，,求其平均值。,解题思路：,否则，只能求其平均值：,一粒子在长度为,l,的一维势箱中运动，试求：,在,1/4,势箱的左端区域找到粒子的几率？,n,为何值时此几率最大？,n,时，此几率的极限为何值？说明了什么原理？,解：,说明随着粒子能量的增加,粒子在箱内的分布趋于平均化。,4.,函数,是不是一维势箱中粒子的一种可能的状态？若是，其能量是否有确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值。,解：,根据状态叠加原理，故,:,是一维势箱中粒子的一种可能的状态。,一般情况：,