概率论与数理统计第21讲.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率论与数理统计第,21,讲,本讲义可在网址,math.s,下载,1,6.3,置信区间,2,点估计仅仅是未知参数的一个近似值,它没有给出这个近似值的误差范围,.,若能给出一个估计区间,让我们能较大把握地,(,其程度可用概率来度量之,),相信未知参数的真值被含在这个区间内,这样的估计显然更有实用价值,.,本节将引入的另一类估计即为,区间估计,在区间估计理论中,被广泛接受的一种观点是,置信区间,它是奈曼,(Neymann),于,1934,年提出的,.,3,一,置信区间的概念,定义,1,设,q,为总体分布的未知参数,X,1,X,2,X,n,是取知总体,X,的一个样本,对给定的数,1,-,a,(0,a,1),若存在统计量,q,=,q,(,X,1,X,2,X,n,),q,=,q,(,X,1,X,2,X,n,).,使得,P,q,q,q,=1,-,a,.(3.1),则称随机区间,(,q,q,),为,q,的,1,-,a,双侧置信区间,称,1,-,a,为,置信度,又分别称,q,与,q,为,q,的,双侧置信下限,与,双侧置信上限,.,4,注,:,置信度,1,-,a,的含义,:,在随机抽样中,若重复抽样多次,得到样本,X,1,X,2,X,n,的多个样本值,x,1,x,2,x,n,对应每个样本值都确定了一个置信区间,(,q,q,),每个这样的区间要么包含了,q,的真值,要么不包含,q,的真值,.,根据大数定理,这些区间中包含真值的频率接近置信度,1,-,a,.,置信区间,(,q,q,),也是对未知参数,q,的一种估计,区间的长度意味着误差,故区间估计与点估计是互补的两种参数估计,5,置信度与估计精度是一对矛盾,.,置信度,1,-,a,越大,置信区间,(,q,q,),包含,q,的概率就越大,但区间,(,q,q,),的长度就越大,对未知参数,q,的估计精度就越差,.,反之,对参数,q,的估计精度越高,置信区间,(,q,q,),长度就越小,(,q,q,),包含,q,的真值的概率就越低,置信度,1,-,a,越小,.,一般准则,是,:,在保证置信度的条件下尽可能提高估计精度,.,6,7,式子,中的事件,8,由,得,我们得到了,m,的一个置信水平为,1,-,a,的置信区间,9,这样的置信区间常写成,如果取,a,=0.05,即,1,-,a,=0.95,又若,s,=1,n,=16,查表得,u,a,/2,=,u,0.025,=1.96.,于是我们得到一个置信水平为,0.95,的置信区间,10,再者,若由一个样本值算得样本均值的观察值,x,=5.20,则我们得到一个置信水平为,0.95,的置信区间,(5.200.49),即,(4.71,5.69),注意,这已经不是随机区间了,.,但我们仍称它为置信水平为,0.95,的置信区间,是指的这个区间包含,m,的可信程度为,95%.,11,例,2,设总体,X,N,(,m,8),m,为未知参数,X,1,X,36,是取自总体,X,的简单随机样本,如果以区间,(,X,-,1,X,+1),作为,m,的置信区间,那么置信度是多少,?,解,12,二,寻求置信区间的方法,寻求置信区间的基本思想,:,在点估计的基础上,构造合适的含样本及待估参数的函数,U,且已知,U,的分布,.,再针对给定的置信度导出置信区间,.,13,14,(4),对不等式,l,1,U,l,2,作恒等变形后化为,P,q,q,q,=1,-,a,(3.5),则,(,q,q,),就是,q,的置信度为,1,-,a,的双侧置信区间,.,15,三,(0-1),分布参数的置信区间,考虑,(0-1),分布情形,设其总体,X,的分布率为,P,X,=1=,p,P,X,=0=1,-,p,(0,p,1),现求,p,的置信度为,1,-,a,的置信区间,.,已知,(0-1),分布的均值和方差分别为,E,(,X,)=,p,D,(,X,)=,p,(1,-,p,),设,X,1,X,2,X,n,是总体,X,的一个样本,当,n,充分大时,样本均值,X,可作为,p,的点估计,且近似有,X,N,(,p,p,(1,-,p,)/,n,),16,X,N,(,p,p,(1,-,p,)/,n,),给定置信度,1,-,a,则有,经不等式变形得,P,ap,2,+,bp,+,c,0,1,-,a,其中,17,经不等式变形得,P,ap,2,+,bp,+,c,0,1,-,a,其中,解式中不等式得,P,p,1,p,p,2,=1,-,a,其中,(,p,1,p,2,),就是,p,的置信度为,1,-,a,的置信区间,.,18,四,单侧置信区间,前面讨论的置信区间,(,q,q,),称为双侧置信区间,但在有些实际问题中只要考虑选取满足,P,u,l,1,=,a,或,P,u,l,2,=,a,的,l,1,或,l,2,对不等式作恒等变形后化为,P,q,q,=1,-,a,或,P,q,q,=1,-,a,(3.9),从而得到形如,(,q,+),或,(,-,q,的置信区间,.,19,例如,对产品设备,电子元件等来说,我们关心的是平均寿命的置信下限,而在讨论产品的废品率时,我们感兴趣的是其置信上限,.,于是我们引入单侧置信区间,.,20,定义,2,设,q,为总体分布的未知参数,X,1,X,2,X,n,是取自总体,X,的一个样本,对给定的数,1,-,a,(0,a,1),若存在统计量,q,=,q,(,X,1,X,2,X,n,),满足,P,q,q,=1,-,a,.,则称,(,q,+,),为,q,的置信度为,1,-,a,的,单侧置信区间,称,q,为,q,的,单侧置信下限,;,21,若存在统计量,q,=,q,(,X,1,X,2,X,n,),满足,P,q,q,=1,-,a,.,则称,(,-,q,),为,q,的置信度为,1,-,a,的,单侧置信区间,称,q,为,q,的,单侧置信上限,.,22,例,5,从一批灯泡中随机地抽取,5,只作寿命试验,其寿命如下,(,单位,:h)1050 1100 1120 1250 1280,已知这批灯泡寿命,X,N,(,m,s,2,),求平均寿命,m,的置信度为,95%,的单侧置信下限,.,解,因为,对于给定置信度,1,-,a,有,23,即,可得,m,的置信度为,1,-,a,的单侧置信下限为,24,由所得数据计算,有,x,=1160,s,=99.75,n,=5,a,=0.05,查表得,t,0.05,(4)=2.14,从而平均寿命,m,的置信度为,95%,的置信下限为,也就是说,该灯泡的平均寿命至少在,1064.56h,以上,可靠程度为,95%.,25,6.5,正态总体的置信区间,26,与其他总体相比,正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛,.,在构造正态总体参数的置信区间的过程中,t,分布,c,2,分布,F,分布以及标准正态分布,N,(0,1),扮演了重要角色,.,27,本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形,:1.,单正态总体均值,(,方差已知,),的置信区间,;2,单正态总体均值,(,方差未知,),的置信区间,;3,单正态总体方差的置信区间,;4,双正态总体均值差,(,方差已知,),的置信区间,;5.,双正态总体均值差,(,方差未知,),的置信区间,;6.,双正态总体方差比的置信区间,.,28,一,单正态总体均值的置信区间,(1),设总体,X,N,(,m,s,2,),其中,s,2,已知,而,m,为未知参数,X,1,X,2,X,n,是取自总体,X,的一个样本,.,对给定的置信水平,1,-,a,由上节例,1,已经得到,m,的置信区间,29,例,1,某旅行社为调查当地旅游者的平均消费额,随机访问了,100,名旅游者,得知平均消费额,x,=80,元,.,根据经验,已知旅游者消费服从正态分布,且标准差,s,=12,元,求该地旅游者平均消费额,m,的置信度为,95%,的置信区间,.,解,由,1,-,a,=0.95,a,=0.05,a,/2=0.025.,查表得,u,0.025,=1.96,将数据,n,=100,x,=80,s,=12,代入,(4.1),式,算出对应的置信区间为,(77.6,82.4).,30,例,2,设总体,X,N,(,m,s,2,),其中,m,未知,s,2,=4.,X,1,X,n,为其样本,.(1),当,n,=16,时,试求置信度分别为,0.9,及,0.95,的,m,置信区间的长度,.(2),n,多大方能使,m,的,90%,置信区间的长度不超过,1?(3),n,多大方能使,m,的,95%,置信区间的长度不超过,1?,31,解,(1),记,m,的置信区间长度为,D,则,于是当,1,-,a,=90%,时,当,1,-,a,=95%,时,32,33,二,单正态总体的置信区间,(2),设总体,X,N,(,m,s,2,),其中,m,s,2,未知,X,1,X,2,X,n,是取自总体,X,的一个样本,.,此时可用,s,2,的无偏估计,S,2,代替,s,2,构造统计量,对给定的置信水平,1,-,a,由,34,即,因此,均值,m,的,1,-,a,置信区间为,(4.2),35,例,3,某旅行社随机访问了,25,名旅游者,得知平均消费额,x,=80,元,子样标准差,s,=12,元,已知旅游者消费额服从正态分布,求旅游者平均消费额,m,的,95%,置信区间,.,解,对于给定的置信度,95%(,a,=0.05),t,a,/2,(,n,-,1)=,t,0.025,(24)=2.0639,将,x,=80,s,=12,n,=25,t,0.025,(24)=2.0639,代入,(4.2),式得,m,的置信度为,95%,的置信区间为,(75.09,84.95).,36,例,4,有一大批糖果,.,现从中随机取,16,袋,称得重量,(,以克计,),如下,:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496,设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值,m,的置信水平为,0.95,的置信区间,.,37,解,1,-,a,=0.95,a,/2=0.025,n,-,1=15,t,0.025,(15)=2.1315,由给出数据算得,x,=503.75,s,=6.2022.,可得均值,m,的一个置信水平为,0.95,的置信区间为,即,(500.4,507.1).,38,三,单正态总体方差的置信区间,上面给出了总体均值,m,的区间估计,在实际问题中要考虑精度或稳定性时,需要对正态总体的方差,s,2,进行区间估计,.,39,设总体,X,N,(,m,s,2,),其中,m,s,2,未知,X,1,X,2,X,n,是取自总体,X,的样本,.,求方差,s,2,的置信度为,1,-,a,的置信区间,.,s,2,的无偏估计为,S,2,而且有,对给定的置信水平,1,-,a,由,40,得,于是方差,s,2,的,1,-,a,置信区间为,41,而标准差,s,的,1,-,a,置信区间,42,例,5,为考察某大学成年男性的胆固醇水平,现抽取了样本容量为,25,的一样本,并测得样本均值,x,=186,样本标准差,s,=12,假定所论胆固醇水平,X,N,(,m,s,2,),m,与,s,2,均未知,.,试分别求出,m,及,s,的,90%,置信区间,.,43,44,45,四,双正态总体均值差的置信区间,(1),在实际问题中,往往需要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异,从而要研究两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间,.,46,47,对给定的置信水平,1,-,a,由,可导出,m,1,-,m,2,的置信度为,1,-,a,的置信区间为,48,例,6,1986,年在某地区分行业调查职工平均工资情况,:,已知体育,卫生,社会福利事业职工工资,X,(,单位,:,元,),N,(,m,1,218,2,);,文教,艺术,广播事业职工工资,Y,(,单位,:,元,),N,(,m,2,227,2,),从总体,X,中调查,25,人,平均工资,1286,元,从总体,Y,中调查,30,人,平均工资,1272,元,求这两大类行业职工平均工资之差的,99%,的置信区间,.,49,解,由于,1,-,a,=0.99,故,a,=0.01,查表得,u,0.005,=2.576,又,n,1,=25,n,2,=30,s,1,2,=218,2,s,2,2,=227,2,x,=1286,y,=1272,于是,由公式,(4.5),算出,m,1,-,m,2,的置信概率为,99%,的置信区间为,-,140.96,168.96,50,五,双正态总体均值差的置信区间,(2),设,X,是总体,N,(,m,1,s,2,),的容量为,n,1,的样本均值,Y,是总体,N,(,m,2,s,2,),的容量为,n,2,的样本均值,且两总体相互独立,其中,m,1,m,2,及,s,未知,.,从第五章第三节定理,4,知,其中,51,对给定置信水平,1,-,a,由,可导出,m,1,-m,2,的,1,-,a,置信区间为,52,例,7,A,B,两个地区种植同一型号的小麦,.,现抽取了,19,块面积相同的麦田,其中,9,块属于地区,A,另外,10,块属于地区,B,测得它们的小麦产量,(,以,kg,计,),分别如下,:,地区,A:100,105,110,125,110,98,105,116,112;,地区,B:101,100,105,115,111,107,106,121,102,92.,设地区,A,的小麦产量,X,N,(,m,1,s,2,),地区,B,的小麦产量,Y,N,(,m,2,s,2,),m,1,m,2,s,2,均未知,.,试求这两个地区的平均产量之差,m,1,-,m,2,的,90%,置信区间,.,53,解,由题意知所求置信区间的两个端点为,由,a,=0.1,n,1,=9,n,2,=10,查表得,t,0.1/2,(17)=1.7396,按已给数据计算得,54,于是置信下限为,置信上限为,故均值差,m,1,-,m,2,的,90%,置信区间为,(,-,3.59,9.59),55,56,57,58,59,在表,6-4-1,和表,6-4-2,中分别总结了有关单正态总体参数和双正态总体参数的置信区间,以方便查用,.,60,作业 习题,6-4,第,218,页开始第,1,3,4,6,题,61,