函数的连续与间断2.ppt

*,第一章,第七节,函数在一点连续,函数的间断点,函数的连续与间断,区间上的连续函数,间断点的分类,复习,(,通俗说法,),函数,f,(,x,),当,x,x,0,时的极限,（,f,(,x,),在,x,0,的某,去心,邻域有定义）,0,0,当,0|,x,x,0,|,时,|,f,(,x,),A,|,.,=A,是指,:,2.,1.,(-,定义,),当,x,无限趋近于,x,0,时,函数,f,(,x,),的值无限趋近于常数,A,不存在的常见情形,O x,0,x,O x,0,x,O x,0,x,两个单侧极限存在,但不相等,至少一个单侧极限,无穷大,至少一个单侧极限为,振荡型,第一章,第七节,函数在一点连续,函数的间断点,函数的连续与间断,区间上的连续函数,间断点的分类,O x,0,24,x,1.,引例,设某地昨天的气温：,y=,f(x,)(0 x24),在,x,0,处：点,(x,0,f(x,0,),两侧“粘连”着,其图象“连绵不断”，可一笔画成,新课,函数在一点连续的概念,气温,f(x,),在,x,0,处,不,可能出现如下情形：,（在,x,0,处无定义）,O x,0,x,O x,0,x,O x,0,x,气温,f(x,),在,x,0,处,不,可能出现如下情形：,（在,x,0,处无定义）,O x,0,x,O x,0,x,O x,0,x,不存在,f(x,0,)A,气温,f(x,),在,x,0,处,不,可能出现如下情形：,（在,x,0,处无定义）,O x,0,x,O x,0,x,O x,0,x,=A,这些情形给人“不连续”的印象,曲线的“连续性”在,x,0,处遭到破坏,何谓“连续”呢？,不存在,气温,f(x,),在,x,0,处,不,可能出现如下情形：,（在,x,0,处无定义）,f(x,0,)A,O x,0,x,O x,0,x,O x,0,x,=A,须存在,极限值须等于,函数值,不存在,极限值等于函数值,2.,函数在一点连续的定义,若,则称,f,(,x,),在,x,0,处,连续,。,f,(,x,),在,x,0,的某邻域内有定义，且,注意：,不是去心邻域,定义,1,涉及极限,还涉及函数在,x,0,的值,极限值等于函数值,2.,函数在一点连续的定义,定义,2,若,则称函数,f,(,x,),在,x,0,处连续,。,若,则称,f,(,x,),在,x,0,处,连续,。,f,(,x,),在,x,0,的某邻域内有定义，且,即,即,定义,1,f,(,x,),在,x,0,的某邻域内有定义，且,动画演示,两增量趋于,0,极限值等于函数值,定义,2,若,则称函数,f,(,x,),在,x,0,处连续,。,若,则称,f,(,x,),在,x,0,处,连续,。,f,(,x,),在,x,0,的某邻域内有定义，且,定义,1,f,(,x,),在,x,0,的某邻域内有定义，且,两增量趋于,0,把连续性与极限联系起来了,且提供了连续函数求极限的简便方法,只需求该点函数值,（,无穷小定义法）,自变量在,x,0,处作微小变化时,相应函数值的变化也很微小,形象地表示了连续性的特征,.,2.,函数在一点连续的定义,定义,3,把定义严密化,便于分析论证,.,0,0,当,0|,x,x,0,|,时,|,f,(,x,),|,A,用,-,语言表述,设,f,(,x,),在,x,0,的某邻域有定义,称,f(x,),在,x,0,处连续,如果对于,0,0,当,0|,x,x,0,|,时,|,f,(,x,),|,.,f(x,0,),(,定义,1),可替换为,定义,3,设,f,(,x,),在,x,0,的某邻域有定义,称,f(x,),在,x,0,处连续,如果对于,0,0,当,0|,x,x,0,|,时,|,f,(,x,),|,.,f(x,0,),0,|,x,x,0,|,|,x,x,0,|,0,0,当,0|,x,x,0,|,时,|,f,(,x,),|,A,(,定义,1),可替换为,定义,3,设,f,(,x,),在,x,0,的某邻域有定义,称,f(x,),在,x,0,处连续,如果对于,0,0,当,0|,x,x,0,|,时,|,f,(,x,),|,.,f(x,0,),0,|,x,x,0,|,|,x,x,0,|,0,0,当,0|,x,x,0,|,时,|,f,(,x,),|,A,(,定义,1),例,解,(,定义,1),函数,处是否连续？,?,所以,(,有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量,),0,练习,设,解,因为,所以,必需且只需,即,必需且只需,即,判断下面的命题是否正确：,如,处处连续,但,不连续,.,练习,(1),(2),提示：,3.,左连续、右连续,左连续；,右连续,；,左连续,右连续,（统称为单侧连续）,f(x,),在,x,0,处,:,连续,“,极限值等于函数值”,左,连续,“,左,极限值等于函数值”,右,连续,“,右,极限值等于函数值”,3.,左连续、右连续,f(x,),在,x,0,左连续且右连续,f(x,),在,x,0,连续,=,=A,因为,所以,=,=f(x,0,),问：,连续与单侧连续的关系？,极限与单侧极限,的关系,即：,4.,区间上的连续函数,在,内每一点都连续,.,如果函数在区间上每一点都连续，则称函数在该,区间上连续。,如：,在区间,连续是指：,4.,区间上的连续函数,在,内每一点都连续,如果函数在区间上每一点都连续，则称函数在该,区间上连续。,连续是指右连续，,如：,在区间,连续是指：,在,左端点,a,如果区间包括端点，那么函数在左端点,.,右连续。,在右端点连续是指左连续。,定义,出现如下三种情形之一,:,5.,函数的间断点,(,即不连续点,),无定义,;,不存在,;,间断点,.,从三处破坏,(,回到引例,),不存在,f(x,0,),气温,f(x,),在,x,0,处,不,可能出现如下情形：,（在,x,0,处无定义）,f(x,0,)A,O x,0,x,O x,0,x,O x,0,x,间断点,=A,O x,0,x,f(x,0,),O x,0,x,O x,0,x,图形变化相对平缓,O x,0,x,f(x,0,),O x,0,x,O x,0,x,图形变化无限剧烈,图形变化相对平缓,O x,0,x,f(x,0,),O x,0,x,O x,0,x,第一类间断点,第二类间断点,f(x,0,+0),，,f(x,0,-0),都存在,f(x,0,+0),f(x,0,-0),至少一个不存在,图形变化无限剧烈,图形变化相对平缓,L,练习,X J,x,=,1,是函数,f,(,x,),的 间断点,第一类,1,讨论函数,解,例,f(1+0),f(1-0),都存在,(,图形变化相对平缓,),L,练习,X J,f(0+0),f(0-0),至少一个不存在,(,图形变化无限剧烈,),例,3,f(0+0),和,f(0-0),都,不存在,故,为,f,(,x,),的 间断点,.,第二类,之间来回无穷次振荡,在,解,讨论函数,在,x=0,的连续性。,X J,指出函数,x,=2,是第二类间断点,.,的间断点及其类型,.,答案,:,x,=1,是第一类间断点,;,练习,小 结,函数在一点连续的三个定义；,区间上的连续函数,;,函数的间断点及其分类,.,左连续、右连续,;,主要内容：,极限值等于函数值,定义,2,若,则称函数,f,(,x,),在,x,0,处连续,。,若,则称,f,(,x,),在,x,0,处,连续,。,f,(,x,),在,x,0,的某邻域内有定义，且,定义,1,f,(,x,),在,x,0,的某邻域内有定义，且,两增量趋于,0,把连续性与极限联系起来了,且提供了连续函数求极限的简便方法,只需求该点函数值,（,无穷小定义法）,自变量在,x,0,处作微小变化时,相应函数值的变化也很微小,形象地表示了连续性的特征,.,2.,函数在一点连续的定义,可替换为,定义,3,设,f,(,x,),在,x,0,的某邻域有定义,称,f(x,),在,x,0,处连续,如果对于,0,0,当,0|,x,x,0,|,时,|,f,(,x,),|,.,f(x,0,),0,|,x,x,0,|,|,x,x,0,|,0,0,当,0|,x,x,0,|,时,|,f,(,x,),|,A,(,定义,1),3.,左连续、右连续,左连续；,右连续,；,左连续,右连续,f(x,),在,x,0,处,:,连续,“,极限值等于函数值”,左,连续,“,左,极限值等于函数值”,右,连续,“,右,极限值等于函数值”,（统称为单侧连续）,3.,左连续、右连续,f(x,),在,x,0,连续,f(x,),在,x,0,左连续且右连续,=,=A,因为,所以,=,=f(x,0,),问：,连续与单侧连续的关系？,极限与单侧极限,的关系,即：,4.,区间上的连续函数,在,内每一点都连续,如果函数在区间上每一点都连续，则称函数在该,区间上连续。,连续是指右连续，在右端点连续是指左连续。,如：,在区间,连续是指：,在,左端点,a,如果区间包括端点，那么函数在左端点,.,右连续。,定义,出现如下三种情形之一,:,5.,函数的间断点,(,即不连续点,),无定义,;,不存在,;,间断点,.,从三处破坏,O x,0,x,f(x,0,),O x,0,x,O x,0,x,第一类间断点,图形变化相对平缓,第二类间断点,f(x,0,+0),，,f(x,0,-0),都存在,f(x,0,+0),f(x,0,-0),至少一个不存在,图形变化无限剧烈,作业,习题,1.7(,第,30,页,),第,2 ,3,题,再见,