第九章 二元选择模型.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章 离散被解释变量数据计量经济学模型,二元选择模型,Models with Discrete Dependent VariablesBinary Choice Model,一、二元离散选择模型的经济背景,二、二元,LPM,、,Probit,和,Logit,离散选择模型及其参数估计,三、二元离散选择模型的变量显著性检验,说明,在经典计量经济学模型中，被解释变量通常被假定为连续变量。,离散被解释变量数据计量经济学模型（,Models with Discrete Dependent Variables,）和离散选择模型,(DCM,Discrete Choice Model),。,二元选择模型,(Binary Choice Model),和多元选择模型,(Multiple Choice Model),。,本节只介绍二元选择模型。,离散选择模型起源于,Fechner,于,1860,年进行的动物条件二元反射研究。,1962,年，,Warner,首次将它应用于经济研究领域，用以研究公共交通工具和私人交通工具的选择问题。,70,、,80,年代，离散选择模型被普遍应用于经济布局、企业定点、交通问题、就业问题、购买决策等经济决策领域的研究。,模型的估计方法主要发展于,80,年代初期。,一、二元离散选择模型的经济背景,实际经济生活中的二元选择问题,研究选择结果与影响因素之间的关系。,影响因素包括两部分：,决策者的属性,和,备选方案的属性,。,对于单个方案的取舍。例如，购买者对某种商品的购买决策问题，求职者对某种职业的选择问题，投票人对某候选人的投票决策，银行对某客户的贷款决策。由,决策者的属性决定。,对于两个方案的选择。例如，两种出行方式的选择，两种商品的选择。由,决策者的属性,和,备选方案的属性共同决定。,二、二元离散选择模型,1.,线性概率,(LPM),模型,假设有以下二元选择模型：,(9.1),其中，,Xi,是包含常数项的,k,元解释变量，,假设在给定,Xi,的时候，,Yi=1,的概率为,p,，即 ，则在给定,Xi,的时候，,Yi=0,的概率为,1-p,，即 。,当,(9.1),式满足 时 ，,(9.2),另外，因为,Yi,只取,1,和,0,两个值，其条件期望为,(9.3),综合,(9.2),式和,(9.3),式得：,(9.4),因此，,(9.1),式拟合的是当给定解释变量,Xi,的值时，某事件发生（即,Yi,取值为,1,）的平均概率。在,(9.4),式中，这一概率体现为线性的形式 ，因此,(9.1),式称为线性概率模型（,Linear Probability Model,，,LPM,）。,对于线性概率模型，可以采用普通最小二乘法进行估计，但是会存在一些问题。常见的问题和相应的解决方法如下：,(1),对,(9.1),式的拟合的结果是对某一事件发生的平均概率的预测，即,但是，的值并不能保证在,0,和,1,之间，完全有可能出现大于,1,和小于,0,的情形。实际应用中，当出现的预测值大于,1,或小于,0,的情况不是太多时，如果预测值大于,1,，就把它看作是等于,1,，如果预测值小于,0,，就把它看作是等于,0.,(2),由于,Y,是二元变量，因此扰动项,也应该是二元变量，它应该服从二项分布，而不是我们通常假定的正态分布。但是，当样本足够多时，二项分布收敛于正态分布。,(3),在,LPM,中，扰动项的方差为：,因此，扰动项是异方差的。为了克服异方差，可以采用处理异方差的方法去估计模型。,(4),由于因变量是二元选择的结果，因此按传统线性回归模型所计算的判定系数,R2,不再有实际的意义。可以定义,当,Y,的实际预测的值大于,0.5,时，我们视其预测值为,1,；当小于,0.5,时，视其预测值为,0,。然后比较预测值与实际值是否存在差异，如果不存在差异，则认为是正确的预测。然后将正确的预测的个数与总预测个数比较，得到一个新的拟合优度的指标。,(5),边际效应的分析,对,LPM,进行边际效应分析得：,因此，当解释变量是非虚拟变量时，表示的是解释变量变动一个单位时对,Y,取值为,1,的平均概率的影响。如果解释变量是虚拟变量，则 表示的是虚拟解释变量取值为,1,和取值为,0,时，,Y,的取值为,1,的概率的差异。因此，,LPM,的边际效应是一个常数，,它与解释变量取值的大小无关。,在,LPM,中，假设,Yi=1,的概率是线性的，也就是假设,中的函数,F,为恒等函数，即,但是，不能保证概率的取值在,0,和,1,之间。,标准正态分布的概率分布函数,逻辑分布的概率分布函数,如果将函数,F,定义为标准正态分布函数 ，即,会把概率的取值限定在,0,和,1,之间，,这时的概率模型称为,Probit,模型。,如果将函数,F,定义为,Logistic,分布函数 ，,则产生的概率模型为,Logit,模型,：,同样，也将概率的取值限定在,0,和,1,之间。,2.Probit,模型,考察以下模型,(9.6),其中，,Y,i*,是潜变量或隐变量,(Latent Variable),，它无法获得实际观测值，但是却可以观测到它的性状，如,Y,i*0,或,Y,i*0,。因此，我们实际上观测到的变量是,Y,i,而不是,Y,i*,。,(9.6),式称为潜变量反应函数（,Latent Response Function,）或指示函数,(Index Function),。,一般假设：,A1,：；,A2,：是,i.i.d,.,的正态或,Logistic,分布；,A3,：。,在,A1A3,的假定之下，考察,(9.6),式中,Yi,的概率特征：,(9.7),当 为标准正态分布的概率密度函数,时，,(9.7),式可以写成：,(9.8),这样，,(9.8),式正是,Probit,模型。,3.Logit,模型,当,(9.7),式中的 是,Logistic,的概率密度函数时，,(9.7),式可以进一步表达为,(9.9),(9.9),式正是,Logit,模型。,边际效应分析,对于,Probit,模型来说，其边际效应为：,(9.10),对于,Logit,模型，其边际效应为：,(9.11),其中，。,从,(9.10),式和,(9.11),式中可以看到，,Probit,和,Logit,模型中解释变量对,Yi,取值为,1,的概率的边际影响不是常数，它会随着解释变量取值的变化而变化。对于非虚拟的解释变量，一般是用其样本均值代入到,(9.10),式和,(9.11),式中，估计出平均的边际影响。,但是，对于虚拟解释变量而言，则需要先分别计算其取值为,1,和,0,时的值，二者的差即为虚拟解释变量的边际影响。,最大似然估计（,MLE,）,Probit,和,Logit,模型都是非线性模型，不能用,OLS,法估计。对于非线性模型的估计方法之一是最大似然法。,对于,Probit,或,Logit,模型来说，,所以似然函数为,对数似然函数为,(9.12),最大化,logL,的一阶条件为,(9.13),由于,(9.13),式不存在封闭解，所以要用非线性求解的迭代法求解。常用的迭代方法之一是建立在泰勒级数展开基础上的,Newton-,Raphson,迭代法或二次攀峰算法（,Quadratic Hill Climbing,）。,似然比检验和拟合优度,似然比检验类似于检验模型整体显著性的,F,检验,原假设为全部解释变量的系数都为,0,，检验的统计量,LR,为：,(9.14),其中，,lnL,为对概率模型进行,MLE,估计的对数似然函数值，,lnL0,为估计只有截距项的模型的对数似然函数值。当原假设成立时，,LR,的渐近分布是自由度为,k-1,（即除截距项外的解释变量的个数）的 分布。,对于,Probit,和,Logit,模型，同样可以计算,(9.5),式中,的以反映模型的拟合优度。此外，还可以计算类似于传统,R,2,的,McFadden,似然比指数,(McFaddens Likelihood Ratio Index),来度量拟合优度。似然比指数的定义为,(9.15),McFadden R,2,总是介于,0,和,1,之间。当所有的斜率系数都为,0,时，,McFadden R,2,=0,，但是，,McFadden R,2,不会恰好等于,1,。,McFadden R,2,越大，表明拟合得越好。,例,贷款决策模型,分析与建模：,某商业银行从历史贷款客户中随机抽取,78,个样本，根据设计的指标体系分别计算它们的“商业信用支持度”（,CC,）和“市场竞争地位等级”（,CM,），对它们贷款的结果（,JG,）采用二元离散变量，,1,表示贷款成功，,0,表示贷款失败。目的是研究,JG,与,CC,、,CM,之间的关系，并为正确贷款决策提供支持。,样本观测值,CC=XY,CM=SC,该方程表示,，当,CC,和,CM,已知时，代入方程，可以计算贷款成功的概率,JGF,。例如，将表中第,19,个样本观测值,CC=15,、,CM=,1,代入方程右边，计算括号内的值为,0.1326552,；查标准正态分布表，对应于,0.1326552,的累积正态分布为,0.5517,；于是，,JG,的预测值,JGF=1,0.5517=0.4483,，即对应于该客户，贷款成功的概率为,0.4483,。,输出的估计结果,模拟预测,预测：,如果有一个新客户，根据客户资料，计算的“商业信用支持度”（,XY,）和“市场竞争地位等级”（,SC,），代入模型，就可以得到贷款成功的概率，以此决定是否给予贷款。,3,、重复观测值可以得到情况下二元,Probit,离散选择模型的参数估计,对每个决策者有多个重复（例如,10,次左右）观测值。,对第,i,个决策者重复观测,n,i,次，选择,y,i,=1,的次数比例为,p,i,，那么可以将,p,i,作为真实概率,P,i,的一个估计量。,建立“概率单位模型”，采用广义最小二乘法估计。,实际中并不常用。,Brsch-Supan,于,1987,年指出,:,如果选择是按照效用最大化而进行的，具有极限值的逻辑分布是较好的选择，这种情况下的二元选择模型应该采用,Logit,模型。,Probit,0.999999,1.000000,0.447233,0.000000,3,、重复观测值可以得到情况下二元,logit,离散选择模型的参数估计,对每个决策者有多个重复（例如,10,次左右）观测值。,对第,i,个决策者重复观测,n,i,次，选择,y,i,=1,的次数比例为,p,i,，那么可以将,p,i,作为真实概率,P,i,的一个估计量。,建立“对数成败比例模型”，采用广义最小二乘法估计。,实际中并不常用。,详见教科书。,三、二元离散选择模型的变量显著性检验,1,、检验假设,经典模型中采用的变量显著性,t,检验仍然是有效的。,如果省略的变量与保留的变量不是正交的，那么对参数估计量将产生影响，需要进一步检验这种省略是否恰当。,2,、统计量,如果,X2,中的变量省略后对参数估计量没有影响，那么,H1,和,H0,情况下的对数最大似然函数值应该相差不大，此时,LR,统计量的值很小，自然会小于临界值，不拒绝,H0,。,