第九讲 二维变量函数的分布与期望.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本次课讲授：第二章第十一节，第十二节，第三章第一节，,下次课讲第三章第二节，第三节，第四节；,下次上课时交作业,P29P30,重点：二维变量函数的分布,难点：二维随机变量函数的分布。,第九讲 二维变量函数的分布与期望,第九讲 二维变量函数的分布与期望,x+y=z,的分布函数,：,考虑随机变量,设,Z,为,连续随机变量,X,与,Y,的和,求,一、,X,、,Y,是连续型随机变量时：和的分布,1.,连续变量和的分布函数：,第九讲 二维变量函数的分布与期望,特殊地，如果,X,与,Y,独立,，则,或,例,9-1-1,（,07,数学一，,11,分）,第九讲 二维变量函数的分布与期望,第九讲 二维变量函数的分布与期望,第九讲 二维变量函数的分布与期望,2.,平方和的分布,设二维连续随机变量,(,X,Y,),的概率密度为,f,(,x,y,),寻求,的分布。,考虑,Z,的分布函数：,显然有,从而有,第九讲 二维变量函数的分布与期望,设二维连续随机变量,(,X,Y,),的概率密度为,例,9-1-2,解,考虑,Z,的分布函数,显然有,从而有,第九讲 二维变量函数的分布与期望,第九讲 二维变量函数的分布与期望,3.,最大值与最小值的分布,设随机变量,X,与,Y,独立,，,它们的分布函数分别为,(1),最大值的分布,(,最大小于号，小于都小于）,(2),最小值的分布,（最小大于号，大于都大于）,第九讲 二维变量函数的分布与期望,推广到有限多个独立随机变量的情形,有,特别地,若,独立同分布,设它们的分布函数为,则,第九讲 二维变量函数的分布与期望,解,各部件的使用寿命,的分布函数,先求,两个串联组的寿命,的分布函数,某仪器由六个相互独立的部件,组成,联接方式如图所示。设各部件的使用寿命,服从相同的指数,求仪器使用寿命的概率密度。,分布,例,9-1-3,第九讲 二维变量函数的分布与期望,第九讲 二维变量函数的分布与期望,再求,仪器使用寿命,Z,的分布函数,Z,的概率密度为,第九讲 二维变量函数的分布与期望,例题,9-1-4,（,2008,数学一，,4,分）,第九讲 二维变量函数的分布与期望,例,9-1-5,（,2001,数学三，,8,分）,第九讲 二维变量函数的分布与期望,第九讲 二维变量函数的分布与期望,第九讲 二维变量函数的分布与期望,二、离散型随机变量的数学期望（均值）,1.,定义,：,绝对收敛时。称,当级数,为随机变量,的,数学期望,，又称,均 值,设 是一离散型随机变量，其分布列为：,2.,均值背景与说明,（,1,）期望源自平均值之意：,例如，某班,20,名学生，英语成绩按照,5,分计，该班学生成绩分布为,第九讲 二维变量函数的分布与期望,第九讲 二维变量函数的分布与期望,解,3.,例题讲解,例,9-2-1,设随机变量,服从,“,01,”,分布,，求数学期望,例,9-2-2,设随机变量 ，求数学期望,解,第九讲 二维变量函数的分布与期望,第九讲 二维变量函数的分布与期望,例,9-2-3,设随机变量 ，求数学期望,解,例,9-2-4:,几何分布,第九讲 二维变量函数的分布与期望,第九讲 二维变量函数的分布与期望,三,.,连续型随机变量的数学期望,1.,定义背景,第九讲 均值、矩与方差,2.,定义：,设,为连续型随机变量,则,的数学期望为,:,其概率密度为,注,假定广义积分绝对收敛,即 存在,.,第十讲 均值、矩与方差,解,的密度函数为：,例,9-3-1,设随机变量,求数学期望,3.,例题讲解：,例,9-3-2,设随机变量服从指数分布,求数学期望,的密度函数为：,解,第九讲 均值、矩与方差,四、随机变量函数的数学期望,1.,离散型一维变量函数的均值定义,则定义随机变量函数,的数学期望为：,2.,连续型一维变量函数的均值定义,第九讲 均值、矩与方差,注,：,假定积分,绝对收敛。,的数学期望为：,则定义随机,变量函数,X,的分布密度为 ，,例,9-4-1,设随机变量,的概率分布为：,求随机变量函 数,的数学期望,.,-,2,-,1,0,1,2,3,0.10,0.20,0.25,0.20,0.15,0.10,第九讲 均值、矩与方差,例,9-4-2,解,第九讲 均值、矩与方差,例,9-4-3,第九讲 均值、矩与方差,第九讲 均值、矩与方差,五,.,二维随机变量条件下的单变量数学期望,第九讲 均值、矩与方差,第九讲 均值、矩与方差,第九讲 均值、矩与方差,2.,例题讲解：,例,9-5-1,设二维随机变量,(,X,Y,),服从区域,D=(,x,y,),|0,x,1,0,y,x,上的均匀分布,求,:,E,(,X,),E,(,Y,),E,(,XY,).,x,y,y=x,第九讲 均值、矩与方差,例,9-5-2,一个系统由两个子系统并联而成,若只有一个子系统发生故障,系统还能正常工作,设两个子系统的工作寿命分别为,:,X,Y,且相互独立,并服从相同的指数分布,:,求,:,系统工作寿命,T,的数学期望,.,解,:,因为,X,Y,相互独立,所以,第九讲 均值、矩与方差,x,y,y=x,第九讲 均值、矩与方差,定理,(1,2),证明,若,X,是一连续型随机变量，则有：,若,X,是一离散型随机变量，,六、关于数学期望的定理,1.,定理与公式,第九讲 均值、矩与方差,推论,证,若,X,与,Y,为离散随机变量：,定理,3,若,X,与,Y,为连续型随机变量,第九讲 均值、矩与方差,推论,定理,4,定理,5,设随机变量,X,与,Y,相互,独立,，则,证,若,X,与,Y,为离散随机变量：,第九讲 均值、矩与方差,若,X,与,Y,为连续型随机变量,=,E,(,X,),E,(,Y,),定理,6,设随机变量,X,1,X,2,X,n,相互,独立,，则,2.,例题讲解：,第九讲 均值、矩与方差,=,E,(,X,),E,(,Y,),例,9-6-1,第九讲 均值、矩与方差,第九讲 均值、矩与方差,