2021-2022学年广州市海珠区八年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2021-2022 学年广东省广州市海珠区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题有 10 个小题，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
3

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1. 要使分式


x -1
有意义，则 x 的取值范围是（ ）

A. x≠1 B. x＞1 C. x＜1 D. x≠﹣1

2. 用科学记数法表示的数﹣5.6×10﹣4 写成小数是（ ）
A. ﹣0.00056 B. ﹣0.0056 C. ﹣56000 D. 0.00056

3. 已知一个正多边形的每个外角等于 45°，则这个正多边形是( )

A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形
4. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A. x2+2x+1＝x（x+2）+1 B. ﹣7ab2c3＝﹣abc•7bc2
C. m（m+3）＝m2+3m D. 2x2﹣5x＝x（2x﹣5）
5. 如图，已知∠1＝∠2，要得到结论V ABC≌ V ADC，不能添加的条件是（ ）

A. BC＝DC B. ∠ACB＝∠ACD C. AB＝AD D. ∠B＝∠D

6. 已知 2x＝5，则 2x+3 的值是（ ）
A. 8 B. 15 C. 40 D. 125

7. 若 mx+6y 与 x﹣3y 的乘积中不含有 xy 项，则 m 的值为（ ）

A. 0 B. 2 C. 3 D. 6
8. 如图，V ABC 中，AB＞AC，AD 平分∠BAC，AE⊥BC 于 E，若∠B＝α，∠C＝β，则∠ADC 的度数为（ ）

A. 1 (b- a)
2
B. 180° - 1 a - 1 b
2 2

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C. 90° + 1 b- 1 a
2 2
D. 90° + 1 a - 1 b
2 2

9. 如图，△ABC≌△ADE，点 D 在 BC 上，且∠B＝60°，则∠EDC的度数等于（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

10. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的值是（ ）

A. 240° B. 360° C. 540° D. 720°
二、填空题（本题有 6 个小题）
11 计算： (p- 3.14)0 = ．
12. 已知点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标为(1，﹣2)，则点 A 的坐标为 ．
13. 如图，Rt V ABC 中，∠C＝90°，D 是 BC 的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，则 AD+DB 的长为 ．
14. 在 Rt V ABC 中，∠C＝90°，若 BC＝6，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，BD＝2CD，则点 D 到线段 AB 的距离为 ．

15. 边长分别为 m 和 2m 的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 ．

16. 如图，在V ABC 中，CD 是 AB 边上的中线，设 BC＝a，AC＝b，若 a，b 满足 a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0， 则 CD 的取值范围是 ．

三、解答题（本题有 9 个小题，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17. 计算：

（1）（25m2﹣15m3n）÷5m2
（2）8a2•（a4﹣1）﹣（2a2）3

18. 已知：如图，AE∥ FD，AE＝FD，EB＝CF．求证： △ACE @
△DBF ．

19. 先化简，再求值：
a a +1
+ 3a +1 ，其中 a＝2021．
a2 -1

20. 列方程解应用题：一批学生志愿者去距学校 8km 的老人院参加志愿服务活动，一部分学生骑自行车先走，过了 15min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知骑车学生的速度是汽车速度的一半， 求骑车学生的速度．
21. 已知：如图，PC 平分∠APB，CM⊥PA 于 M，CN⊥PB 于 N，D、E 分别是边 PA 和 PB 上的点，且 CD
＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．

22. 如图，在边长为单位 1 的小正方形组成的 10×10 网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），点 A 和点 B 分别在网格的格点上．

（1）分解因式 2a2﹣18；
（2） 若 2a2﹣18＝0，且点 A(a，2)在第二象限，点 B(a+5，﹣1)在第四象限，请求出点 A 和点 B 的坐标， 并在所给的网格中画出平面直角坐标系；
（3） 在（2）的条件下，已知点 A ' (a，﹣4)是点 A 关于直线l 的对称点，点 C 在直线 l 上，且V ABC 的面积
为 6，直接写出点 C 的坐标．
23. 已知V ABC 中，∠B＝ 1 ∠C＝α．
2

（1） 尺规作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：

①作∠EAC 的平分线 AD；
②在 AD 上作点 P，使V ACP 是以 AC 为底边的等腰三角形，并求出∠APC 的度数（用含α的式子表示）；

（2） 在（1）所作的 AD 上是否存在着另外的点 P，使V ACP 也为等腰三角形，若有，请直接用含α的式子

表示∠APC 的大小；若没有，请说明理由．

24. 阅读材料：对于非零实数 a，b，若关于 x 的分式

( x - a)( x - b)

x


的值为零，则解得 x1＝a，x2＝b．又因

(x - a)(x - b) x 2 - (a + b)x + ab ab ab

为 = = x +
x x x
﹣（a+b），所以关于 x 的方程 x+
＝a+b 的解为 x1＝a，
x

x2＝b．

（1）理解应用：方程
x2 + 2 2
= 3 + 的解为：x1＝ ，x2＝ ；

x 3
3

（2） 知识迁移：若关于 x 的方程 x+
x
4
（3） 拓展提升：若关于 x 的方程
＝5 的解为 x1＝a，x2＝b，求 a2+b2 的值；

＝k﹣x 的解为 x1＝t+1，x2＝t2+2，求 k2﹣4k+2t3 的值．

x -1
25. 已知：如图，V ABC 中，AB＝AC，∠A＝45°，E 是 AC 上的一点，∠ABE＝ 1 ∠ABC，过点 C 作 CD⊥AB
3
于 D，交 BE 于点 P．

（1） 直接写出图中除V ABC 外的所有等腰三角形；
（2） 求证：BD＝ 1 PC；
2
（3） 点 H、G 分别为 AC、BC 边上的动点，当V DHG 周长取取小值时，求∠HDG 的度数．

2021-2022 学年广东省广州市海珠区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题有 10 个小题，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
3

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1. 要使分式


x -1
有意义，则 x 的取值范围是（ ）

A. x≠1 B. x＞1 C. x＜1 D. x≠﹣1

【答案】A

【解析】

【详解】根据分式分母不为 0 的条件，要使必须 x - 1 ¹ 0 Þ x ¹ 1

3

x -1


在实数范围内有意义，

故选 A

2. 用科学记数法表示的数﹣5.6×10﹣4 写成小数是（ ）
A. ﹣0.00056 B. ﹣0.0056 C. ﹣56000 D. 0.00056

【答案】A
【解析】

【分析】科学记数法的标准形式为 a×10n（1≤|a|＜10，n 为整数）．本题把数据−5.6×10−4 中−5.6 的小数点向左移动 4 位就可以得到．
【详解】解：把数据−5.6×10−4 中−5.6 的小数点向左移动 4 位就可以得到，为−0.00056． 故选：A．
【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法 a×10−n 表示的数，“还原”成通常表示的数， 就是把 a 的小数点向左移动 n 位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
3. 已知一个正多边形的每个外角等于 45°，则这个正多边形是( )
A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形

【答案】D
【解析】

【分析】已知正多边形的外角和为 360°， 利用 360°除以 45°即可得这个正多边形的边数.

【详解】正多边形的边数为：360°÷45°=8， 则这个多边形是正八边形.
故选 D.

【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟知多边形的外角和是 360°是解决问题的关键.

4. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（
）

A. x2+2x+1＝x（x+2）+1

B. ﹣7ab2c3＝﹣abc•7bc2
C. m（m+3）＝m2+3m
【答案】D
【解析】

D. 2x2﹣5x＝x（2x﹣5）

【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．由定义判断即可．

【详解】解：A．x2+2x+1=（x+1）2，故 A 不符合题意；
B．-7ab2c3 是单项式，不存在因式分解，故 B 不符合题意； C．m（m+3）=m2+3m 是单项式乘多项式，故 C 不符合题意； D．2x2-5x=x（2x-5）是因式分解，故 D 符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义，能够根据所给形式判断是否符合因式分解 的变形是解题的关键．
5. 如图，已知∠1＝∠2，要得到结论V ABC≌ V ADC，不能添加的条件是（ ）

A. BC＝DC B. ∠ACB＝∠ACD C. AB＝AD D. ∠B＝∠D

【答案】A
【解析】

【分析】根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解．

【详解】解：根据题意得： AC = AC

，∠1＝∠2，

A、当 BC＝DC 时， 是边边角，不能得到结论V ABC≌V ADC，故本选项符合题意；
B、当∠ACB＝∠ACD 时，是角边角，能得到结论V ABC≌V ADC，故本选项不符合题意；
C、当 AB＝AD 时，是边角边，能得到结论V ABC≌V ADC，故本选项不符合题意；
D、当∠B＝∠D 时，是角角边，能得到结论V ABC≌V ADC，故本选项不符合题意；

故选：A
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角 边、边边边是解题的关键．
6. 已知 2x＝5，则 2x+3 的值是（ ）
A. 8 B. 15 C. 40 D. 125

【答案】C
【解析】

【分析】根据逆用同底数幂的乘法进行计算即可．

【详解】解：∵2x＝5，

∴ 2x +3 = 2x × 23 = 5´8 = 40

故选 C
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．

7. 若 mx+6y 与 x﹣3y 的乘积中不含有 xy 项，则 m 的值为（ ）

A. 0 B. 2 C. 3 D. 6

【答案】B
【解析】

【分析】先运用多项式的乘法法则，进行乘法运算，再合并同类项，因积中不含 xy 项，所以 xy 项的系数为

0，得到关于 m 的方程，解方程可得 m 的值．

【详解】解：∵（mx+6y）×（x-3y）=mx2-（3m﹣6）xy﹣18y2，且积中不含 xy 项，
∴3m﹣6=0， 解得：m=2． 故选择 B．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的法则，解一元一次方程，根据不含某一项就是让这一项的系数等 于 0 列式是解题的关键．
8. 如图，V ABC 中，AB＞AC，AD 平分∠BAC，AE⊥BC 于 E，若∠B＝α，∠C＝β，则∠ADC 的度数为（ ）

A. 1 (b- a)
2
B. 180° - 1 a - 1 b
2 2

C. 90° + 1 b- 1 a
2 2
D. 90° + 1 a - 1 b
2 2

【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线的性质可知ÐBAD = ÐCAD = 1 ÐBAC ．由三角形内角和定理求出
2
ÐBAC = 180° - ÐB - ÐC ，从而可推出ÐBAD = 90° - 1 ÐB - 1 ÐC ．再由三角形外角性质可知
2 2
ÐADC = ÐB + ÐBAD ，即可得出ÐADC = 90° + 1 ÐB - 1 ÐC ，即得出答案．
2 2
【详解】∵AD 平分∠BAC，
∴ ÐBAD = ÐCAD = 1 ÐBAC ．
2
∵ ÐBAC = 180° - ÐB - ÐC ，
∴ ÐBAD = 1 (180° - ÐB - ÐC ) = 90° - 1 ÐB - 1 ÐC ．
2 2 2
∵ ÐADC = ÐB + ÐBAD ，
∴ ÐADC = ÐB + 90° - 1 ÐB - 1 ÐC = 90° + 1 ÐB - 1 ÐC ．
2 2 2 2
∵∠B＝α，∠C＝β，
∴ ÐADC = 90° + 1 Ða- 1 Ðb．
2 2
故选 D．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．利用数形结合的思想是解答 本题的关键．
9. 如图，△ABC≌△ADE，点 D 在 BC 上，且∠B＝60°，则∠EDC 的度数等于（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

【答案】C
【解析】

【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．

【详解】解：∵△ABC≌△ADE，

∴∠B=∠ADE=60°，AB=AD，

∴∠ADB=∠B=60°，

∴∠EDC=60°． 故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

10. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的值是（ ）

A. 240° B. 360° C. 540° D. 720°

【答案】B
【解析】

【分析】根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解．

【详解】解：如图， AC 、 DF 与 BE 分别相交于点 M 、 N ，

在四边形 NMCD 中， ÐMND + ÐCMN + ÐC + ÐD = 360° ，
QÐCMN = ÐA + ÐE ， ÐMND = ÐB + ÐF ，
\ÐA + ÐB + ÐC + ÐD + ÐE + ÐF = 360°， 故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的外角与内角、三角形的外角性质，解题的关键是熟记多边形的内角和公式及 三角形的外角定理．
二、填空题（本题有 6 个小题）
11. 计算： (p- 3.14)0 = ．
【答案】1
【解析】

【分析】根据 0 指数幂的意义解答即可．
【详解】解：因为p- 3.14 ¹ 0 ，所以(p- 3.14)0 = 1 ． 故答案为：1．
【点睛】本题考查了 0 指数幂的意义，属于应知应会题型，熟知任何非零数的 0 次幂等于 1 是解题的关键．

12. 已知点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标为(1，﹣2)，则点 A 的坐标为 ．
【答案】(1, 2)

【解析】

【分析】根据“关于 x 轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数”，求解即可

【详解】解：∵点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标为(1，﹣2)，
∴点 A 的坐标为(1, 2) 故答案为： (1, 2)
【点睛】本题考查了关于 x 轴对称的点的坐标特征，掌握“关于 x 轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数”是解题的关键．
13. 如图，Rt V ABC 中，∠C＝90°，D 是 BC 的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，则 AD+DB 的长为 ．
【答案】9
【解析】

【分析】根据∠CAD＝30°，得到 AD=2CD，从而得到 AD+BD=3CD,求得 CD 即可．

【详解】∵∠C＝90°，D 是 BC 的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，

∴AD=2CD，BD=CD= 1 BC=3，
2

∴AD+BD=3CD=9，

故答案为：9．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，线段中点即线段上一点，把这条线段分成相等的两条线段的点， 熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
14. 在 Rt V ABC 中，∠C＝90°，若 BC＝6，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，BD＝2CD，则点 D 到线段 AB 的
距离为 ．

【答案】2
【解析】

【分析】过点 D 作 DE⊥AB 于 E，根据题意求出 CD，根据角平分线的性质求出 DE，得到答案．

【详解】解：过点 D 作 DE⊥AB 于 E，

∵BC＝6，BD＝2CD，

∴CD＝2，

∵AD 平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，

∴DE＝CD＝2，即点 D 到线段 AB 的距离为 2， 故答案为：2．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

15. 边长分别为 m 和 2m的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】 2m2

【解析】

【分析】将图形补全为边长为 2m, 3m 的长方形，进而根据阴影部分面积等与长方形面积的一半减去小正方形的面积即可求解

【详解】如图，

图中阴影部分的面积为 1 ´ 2m ´(m + 2m) - m2 = 2m2
2
故答案为： 2m2

【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积，添加辅助线求解是解题的关键．
16. 如图，在V ABC 中，CD 是 AB 边上的中线，设 BC＝a，AC＝b，若 a，b 满足 a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0， 则 CD 的取值范围是 ．

【答案】2＜CD＜7
【解析】

【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出 a 与 b 的值，即可求出 CD 的取值范围．
【详解】解：已知等式整理得：（a2−10a＋25）＋（b2−18b＋81）＝0，即（a−5）2＋（b−9）2＝0，
∵（a−5）2≥0，（b−9）2≥0，
∴a−5＝0，b−9＝0， 解得：a＝5，b＝9，
∴BC＝5，AC＝9，

延长 CD 到 E，使 DE＝CD，连接 AE，

∵CD 为 AB 边上的中线，

∴BD＝AD，

在△BCD 和△AED 中，
ìCD = ED
í
ïÐCDB = ÐEDA ，
î
ïBD = AD
∴△BCD≌△AED（SAS），

∴AE＝BC＝a，

在△ACE 中，AC−AE＜CE＜AC＋AE，
∴AC−BC＜2CD＜AC＋AE，即 b−a＜2CD＜a＋b，

b - a
∴
2

＜CD＜
a + b
，
2

则 2＜CD＜7．

故答案为：2＜CD＜7．
【点睛】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，以及非负数的性质，熟 练掌握完全平方公式是解本题的关键．
三、解答题（本题有 9 个小题，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17. 计算：

（1）（25m2﹣15m3n）÷5m2
（2）8a2•（a4﹣1）﹣（2a2）3
【答案】（1） 5 - 3mn

（2） -8a2

【解析】

【分析】（1）根据多项式除以单项式进行计算即可

（2）根据单项式乘以多项式以及整式的加减进行计算即可

【小问 1 详解】

原式= 25m2 ¸ 5m2 -15m3 n ¸ 5m2 = 5 - 3mn

【小问 2 详解】

原式= 8a6 - 8a2 - 8a6 = -8a2

【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握多项式除以单项式，单项式乘以多项式以及整式的加减是解题

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的关键．

18. 已知：如图，AE∥ FD，AE＝FD，EB＝CF．求证： △ACE @

【答案】见解析

【解析】


△DBF ．

【分析】根据全等三角形的判定方法 SSS、SAS、ASA、AAS 分别进行分析即可．

【详解】∵EB＝CF

∴EB+BC＝CF+BC

∴EC=FB
∵ AE//FD
∴∠E＝∠F
在VACE 与VDBF 中
ì AE = FD
í
ïÐE = ÐF
î
ïEC = FB

∴△ACE @
△DBF

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注
意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

19. 先化简，再求值：
a a +1
+ 3a +1 ，其中 a＝2021．
a2 -1

【答案】

【解析】
a +1

a -1
1011
；
1010

【分析】先通分，再根据同分母的分式相加进行计算，化成最简分式后把 a=2021 代入，即可求出答案．

【详解】解：
a a +1
+ 3a +1
a2 -1

= a(a -1) + 3a +1

(a +1)(a -1) (a +1)(a -1)

= a2 - a + 3a + 1 (a +1)(a -1)

= a2 + 2a +1 (a +1)(a -1)

= (a +1)2
(a +1)(a -1)
= a +1 ；
a -1
当 a = 2021时，原式= 2021+1 = 2022 = 1011
2021-1 2020 1010
【点睛】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算 顺序．
20. 列方程解应用题：一批学生志愿者去距学校 8km 的老人院参加志愿服务活动，一部分学生骑自行车先走，过了 15min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知骑车学生的速度是汽车速度的一半， 求骑车学生的速度．
【答案】骑车学生的速度 16 ㎞/h．
【解析】

【分析】设骑车学生的速度为 xkm/h，则汽车速度为 2xkm/h，根据骑车所用时间- 15 分钟=汽车所用时间，
列方程 8 - 1 = 8 ，解方程即可．
x 4 2 x
【详解】解：设骑车学生的速度为 xkm/h，则汽车速度为 2xkm/h,
根据题意得： 8 - 1 = 8 ,
x 4 2 x

方程两边都乘以 4x 得： 32 -
解得 x = 16 ，
x = 16 ，

经检验得 x = 16 是原方程的根，且符合题意, 答：骑车学生的速度 16 ㎞/h．

【点睛】本题考查列分式方程解行程问题应用题，掌握列分式方程解行程问题应用题方法与步骤，抓住等 量关系：骑车所用时间- 15 分钟=汽车所用时间列方程是解题关键．
21. 已知：如图，PC 平分∠APB，CM⊥PA 于 M，CN⊥PB 于 N，D、E 分别是边 PA 和 PB 上的点，且 CD

＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．

【答案】见详解．

【解析】

【分析】根据 PC 平分∠APB，CM⊥PA 于 M，CN⊥PB 于 N，得出 CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再证 Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE 即可．
【详解】解：∵PC 平分∠APB，CM⊥PA 于 M，CN⊥PB 于 N，

∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，

∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，

在 Rt△MCD 和 Rt△NCE 中，

ìCD = CE
î
íCM = CN ，
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），

∴∠MCD=∠NCE，

∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和，掌握角平分线性质，三角形全 等判定与性质，四边形内角和是解题关键．
22. 如图，在边长为单位 1 的小正方形组成的 10×10 网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），点 A 和点 B 分别在网格的格点上．

（1）分解因式 2a2﹣18；
（2） 若 2a2﹣18＝0，且点 A(a，2)在第二象限，点 B(a+5，﹣1)在第四象限，请求出点 A 和点 B 的坐标， 并在所给的网格中画出平面直角坐标系；
（3） 在（2）的条件下，已知点 A ' (a，﹣4)是点 A 关于直线l 的对称点，点 C 在直线 l 上，且V ABC 的面积
为 6，直接写出点 C 的坐标．

【答案】（1） 2 (a + 3)(a - 3) ；
（2）点 A（-3，2），点 B（2，-1），坐标系见详解；

（3）点 C 的坐标为（-2，-1）或（6，-1）．
【解析】

【分析】（1）先提公因式，再用平方差公式因式分解即可；

（2） 先用因式分解法解一元二次方程，再根据点的坐标所在象限求出 a 的值，利用平移法确定坐标轴建立平面直角坐标系即可；
（3） 先求出点 A 的对称点坐标，找出对称轴，根据点 C 在直线 l 上，设点 C 左边为（m，-1）然后分类当

点 C 在点 B 左边， V ABC 的面积为 6， 1 ´ 3´(2 - m) = 6 ，当点 C 在点 B 的右边， 1 创3
(m - 2)= 6 ，

解方程即可．

【小问 1 详解】
解：2a2﹣18= 2(a2 - 9)=
2 2

2(a + 3)(a - 3)；

【小问 2 详解】解：2a2﹣18＝0，
2(a + 3)(a - 3)= 0

a + 3 = 0，a - 3 = 0

解得： a1 =-3，a2 =3

∵点 A(a，2)在第二象限，

∴a=-3，

∴点 A（-3，2），

点 B(a+5，﹣1)在第四象限，
∴当 a=-3 ， a+5=-3+5=2 ，点 B（2，-1），建立平面直角坐标系如图所示；

∵点 A（-3，2），A′（-3，-4），

∴AA′∥y 轴，

∴AA′的垂直平分线为 y=-1，

∴直线 l 为 y=-1，

∵点 C 在直线 l 上，设点 C 坐标为（m，-1） 当点 C 在点 B 左边，
∵V ABC 的面积为 6，
∴ 1 ´ 3´(2 - m) = 6 2
解得 m= - 2 ，点 C（-2，-1） 当点 C 在点 B 的右边，


【小问 3 详解】

∴ 1 创3 2
(m - 2)= 6

解得 m=6，点 C（6，-1）
∴点 C 的坐标为（-2，-1）或（6，-1）．

【点睛】本题考查因式分解，用因式分解法解一元二次方程，建立平面直角坐标系，点的平移，两点距离， 三角形面积，轴对称性质，掌握因式分解，用因式分解法解一元二次方程，建立平面直角坐标系，点的平移，三角形面积，轴对称性质是解题关键．
2
23 已知V ABC 中，∠B＝ 1 ∠C＝α．

（1） 尺规作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：

①作∠EAC 的平分线 AD；
②在 AD 上作点 P，使V ACP 是以 AC 为底边的等腰三角形，并求出∠APC 的度数（用含α的式子表示）；
（2） 在（1）所作的 AD 上是否存在着另外的点 P，使V ACP 也为等腰三角形，若有，请直接用含α的式子表示∠APC 的大小；若没有，请说明理由．
【答案】（1）①见解析；②作图见解析， ÐAPC = 180° - 3a
（2） 90° - 3a或 3a
4 2
【解析】
【分析】（1）①尺规作图作∠EAC 的角平分线即可；②作线段 AC 的垂直平分线，交 AD 于点 P ，连接 PC ， 则△APC 即为所求；
（2）分 AP = AC, CA = CP 分别求解即可

【小问 1 详解】
①如图，射线 AD 即为所求
②作线段 AC 的垂直平分线，交 AD 于点 P ，连接 PC ，则△APC 即为所求；
QÐB = 1 ÐC =a
2
\ÐC = 2a
\ÐEAC = ÐB + ÐACB = 3a
又Q PA = PC, AD 平分ÐEAC
\ÐPAC = ÐPCA = 3a
2
\ÐAPC = 180° - 3a
【小问 2 详解】

存在，当 AP = AC 时， ÐAPC = ÐACP = 1 æ180° - 3 aö = 90° - 3 a
2 ç 2 ÷ 4
è ø
当CP = CA 时， ÐAPC = ÐCAP = 3a
2
综上所述， ÐAPC 的值为90° - 3a或 3a
4 2
【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性

质，正确的作图是解题的关键．

24. 阅读材料：对于非零实数 a，b，若关于 x 的分式

( x - a)( x - b)

x


的值为零，则解得 x1＝a，x2＝b．又因

(x - a)(x - b) x 2 - (a + b)x + ab ab ab

为 = = x +
x x x
﹣（a+b），所以关于 x 的方程 x+
＝a+b 的解为 x1＝a，
x

x2＝b．

（1） 理解应用：方程
x2 + 2 2
= 3 + 的解为：x1＝ ，x2＝ ；

x 3
3

（2） 知识迁移：若关于 x 的方程 x+
＝5 的解为 x1＝a，x2＝b，求 a2+b2 的值；
x

（3） 拓展提升：若关于 x 的方程
2
4
x -1
＝k﹣x 的解为 x1＝t+1，x2＝t2+2，求 k2﹣4k+2t3 的值．

【答案】（1）3， ；
3
（2）19； （3）12．

【解析】
2
【分析】（1）根据题意可得 x=3 或 x= ；
3
（2） 由题意可得 a+b=5，ab=3，再由完全平方公式可得 a2+b2=（a+b）2-2ab=19；
4

（3） 方程变形为 x-1+


x -1
=k-1，则方程的解为 x-1=t 或 x-1=t2+1，则有 t（t2+1）=4，t+t2+1=k-1，整理得

k=t+t2+2，t3+t=4，再将所求代数式化为 k2-4k+2t3=t（t3+t）+4t3-4=4（t3+t）-4=12．
【小问 1 详解】
ab

解：∵x+
=a+b 的解为 x1=a，x2=b，
x

∴�2+2 = � + 2 = 3 + 2的解为 x=3 或 x= 2 ，

� � 3 3
2
故答案为：3， ；
3
【小问 2 详解】
3

解：∵x+
=5，
x

∴a+b=5，ab=3，

∴a2+b2=（a+b）2-2ab=25-6=19；

【小问 3 详解】
4 4

解：
x -1
=k-x 可化为 x-1+


x -1
=k-1，

∵方程
4

x -1
=k-x 的解为 x1=t+1，x2=t2+2，

则有 x-1=t 或 x-1=t2+1，
∴t（t2+1）=4，t+t2+1=k-1，
∴k=t+t2+2，t3+t=4，
k2-4k+2t3
=k（k-4）+2t3
=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3
=t4+4t3+t2-4
=t（t3+t）+4t3-4

=4t+4t3-4
=4（t3+t）-4
=4×4-4

=12．
【点睛】本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值 是解题的关键．
25. 已知：如图，V ABC 中，AB＝AC，∠A＝45°，E 是 AC 上的一点，∠ABE＝ 1 ∠ABC，过点 C 作 CD⊥AB
3
于 D，交 BE 于点 P．

（1） 直接写出图中除V ABC 外的所有等腰三角形；
（2） 求证：BD＝ 1 PC；
2
（3） 点 H、G 分别为 AC、BC 边上的动点，当V DHG 周长取取小值时，求∠HDG 的度数．
【答案】（1）△ADC，△CPE，△BCE 都是等腰三角形，理由见解析

（2）见解析 （3）45°
【解析】

【分析】（1）△ADC，△CPE，△BCE 都是等腰三角形，分别证明∠BEC=∠ACB=67.5°，∠A=∠ACD=45°，

∠CPE=∠CEP=67.5°，可得结论；

（2） 在线段 DA 上取一点 H，使得 DH=DB，连接 CH，利用全等三角形的性质证明 BH=EC，可得结论；

（3） 作点 D 关于直线 BC 的对称点 M，作点 D 关于 AC 的对称点 F，连接 FM 交 BC 于点 G，交 AC 于点H，此时△DGH 的值最小，证明∠M+∠F=67.5°，可得结论．
【小问 1 详解】

解：△ADC，△CPE，△BCE 都是等腰三角形，理由如下：

∵AB=AC，∠A=45°，

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∴∠ABC = ∠ACB = 1
2
(180°-45°)=67.5°，

1
∵∠ABE＝
3

∠ABC，

∴∠ABE = 22.5°，

∴∠CBE=45°，

∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，

∴∠BEC=∠ACB，

∴BC=BE，即△BCE 为等腰三角形，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC = ∠CDB = 90°，

∴∠ACD = 90°–∠A = 45°

∴∠A=∠ACD=45°，

∴DA= DC，

∴△ADC 是等腰三角形，

∵∠CPE = ∠BPD = 90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP =67.5°，

∴∠CPE = ∠CEB = 67.5°，

∴CP=CE，

∴△CPE 是等腰三角形，
综上所述，除V ABC 外的所有等腰三