2021-2022学年广州市黄埔区八年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2021-2022 学年广东省广州市黄埔区八年级（上） 期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

2. 已知点 A 坐标为（3,-2）,点 B 与点 A 关于 x 轴对称，则点 B 的坐标为 ( )

A. （-3,-2） B. （-3,2） C. （2,-3） D. （3, 2）

3. 下列运算正确的是( )

A. (x3)2＝x5 B. (－x)5＝－x5
C. x3·x2＝x6 D. 3x2＋2x3＝5x5

4. 下列各式：
x - 3

x
5 + y
，
p
a + b 1
， ，
a - b n

中，是分式的共有（ ）

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
5. 图中的两个三角形全等，则∠a等于（ ）

A. 65° B. 60° C. 55° D. 50°

6. 下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（ ）

A. (-a - b)(a + b)
B. (2 x+ 3 y)(2 x- 3z)
C. (x - y)(-x - y)
D. (m - n)(n - m)

7. 已知一个多边形的内角和等于 900º，则这个多边形是（ ）

A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形
8. 等腰三角形的周长为 13cm，其中一边长为 3cm，则该等腰三角形的底边为（ ）
A. 7cm B. 3cm C. 7cm 或 3cm D. 8cm

9. 如图， AB ∥CD ，∠A=45°，∠C=∠E，则∠C 的度数为（ ）

A. 45° B. 22.5° C. 67.5° D. 30°
10. 如图， △ABC≌△AED ，点 D 在 BC 边上．若∠EAB＝50°，则∠ADE的度数是（ ）

A. 50° B. 60° C. 65° D. 30°
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分满分 18 分．）
11 计算：（1）x2•x6＝ ；（2）a2n•an+1＝ ；（3）（﹣2）×（﹣2）2×（﹣2）3＝ ．

12. 计算：（1） (2x)3 = ；（2） (-5a2b)(-3a) = ；（3） (ab)5 ¸ (ab)2 = ．

13. 分解因式：（1）ax+ay＝
；（2） x2 + x + 1 ＝
4
；（3） a2 - 1 b2 ＝ ．

4

14. 已知△ABC 的面积为 10，D 为 AC 中点，则△ABD 的面积为 ．

15. 已知 OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 D、E，PD=10，则 PE 的长度为 ．
16. 如图，在锐角△ABC 中，BC=4，∠ABC=30°，∠ABD=15°，直线 BD 交边 AC 于点 D，点 P、Q 分别在线段 BD、BC 上运动，则 PQ+PC 的最小值是 ．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 尺规作图：如图，已知△ABC，作 BC 边的垂直平分线交 AB 于点 D，连接 DC．（不写作法，保留作图痕迹）．
18. 先化简，再求值：（x + 2）（x - 2）-（x -1）（x + 5），其中 x = 1 ．
2

19. 计算： (
m + 2 - m -1 ) ¸ m - 4 ．

m2 - 2m m2 - 4m + 4 m

20. 计算： 15x + 2 =
x2 + x
3
．
1+ x

21. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为 1 的正方形，四边形 ABCD 的顶点与点 E 都是格点．

（1） 作出四边形 ABCD 关于直线 AC 对称的四边形 AB′CD′；

（2） 求四边形 ABCD 的面积；

（3） 若在直线 AC 上有一点 P，使得 P 到 D、E 的距离之和最小，请作出点 P 的位置．

22. 已知正实数 x、y，满足（x+y）2＝25，xy＝4．
（1） 求 x2+y2 的值；
（2） 若 m＝（x﹣y）2 时，4a2+na+m 是完全平方式，求 n 的值．
23. 为了做好防疫工作，保障员工安全健康，某公司用 4000 元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好， 公司又用 6400 元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的 2 倍，且每包便宜 5 元．问第一批口罩每包的价格是多少元？公司前后两批一共购进多少包口罩？
24. 如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，BC=DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．

（1） 求证： △ABC ≌△ADC ；
（2） 测量 OB 与 OD、∠BOA 与∠DOA，你有何猜想？证明你的猜想；

（3） 在“筝形”ABCD 中，已知 AC=6，BD=4，求“筝形”ABCD 的面积．

25. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠C=90°，E 为 BC 上一点，DE、AE 分别为∠ADC、∠DAB 的平分线．

（1） ∠DEA＝ ；（需说明理由）

（2） 求证：CE＝EB；
（3） 探究 CD、DA、AB 三条线段之间的数量关系，并说明理由．

2021-2022 学年广东省广州市黄埔区八年级（上） 期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
9. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A
【解析】

【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
【详解】解：A、不是轴对称图形，故该项符合题意；

B、是轴对称图形，故该项不符合题意； C、是轴对称图形，故该项不符合题意； D、是轴对称图形，故该项不符合题意； 故选：A
【点睛】此题考查轴对称图形的概念，对于轴对称图形的判断问题，应严格把握定义中的对折、重合两个方面；对于轴对称图形的概念要从以下几个方面正确理解：轴对称图形中至少有一条对称轴；对称轴两旁的部分是指同一图形的两部分，而不是两个图形；这个图形在对称轴两侧的部分能够完全重合．
10. 已知点 A 坐标为（3,-2）,点 B 与点 A 关于 x 轴对称，则点 B 的坐标为 ( )

A. （-3,-2） B. （-3,2） C. （2,-3） D. （3, 2）

【答案】D
【解析】

【分析】根据“关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．

【详解】解：∵点 A(3，-2)关于 x 轴对称点为B，

∴点 B 的坐标为(3，2). 故选 D.

【点睛】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．

11. 下列运算正确的是( )

A. (x3)2＝x5 B. (－x)5＝－x5
C. x3·x2＝x6 D. 3x2＋2x3＝5x5
【答案】B
【解析】

【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项的法则逐项进行计算即可得．

【详解】解：A、原式=x6，故选项错误，不符合题意；
B、原式=-x5，故选项正确，符合题意； C、原式=x5，故选项错误，不符合题意；
D、3x2 与 2x3 不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意， 故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，解题的关键是熟练掌握各运算的运算法则．

12. 下列各式：
x - 3

x
5 + y
，
p
a + b 1
， ，
a - b n

中，是分式的共有（ ）

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

【答案】C
【解析】

【分析】根据分式的概念依次判断即可．

【详解】
5 + y
x - 3

x

，形式为

A
A
，且 B 中含有字母，是分式；
B

p
a + b
，形式为 ，但 B 中不含字母，不是分式；
B
A

a - b
1
，形式为
B
A
，且 B 中含有字母，是分式；

，形式为
n B
，且 B 中含有字母，是分式；

故一共有 3 个分式．

故选 C
【点睛】本题主要考查了分式的定义：形如 不是字母．掌握分式的定义是解题的关键．

A
，且 B 中含有字母，这样的式子叫做分式．注意π是常数，
B

13. 图中的两个三角形全等，则∠a等于（ ）

A. 65° B. 60° C. 55° D. 50°

【答案】C
【解析】

【分析】根据全等三角形的性质即可求出答案．

【详解】解：∵两个三角形全等，

∠α是边 a、边 c 的夹角，

∴∠α=180°-65°-60°=55°，

故选：C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关 键．
14. 下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（ ）

A. (-a - b)(a + b)
B. (2 x+ 3 y)(2 x- 3z)
C. (x - y)(-x - y)
D. (m - n)(n - m)

【答案】C
【解析】

【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．

【详解】解：A. (-a - b)(a + b)
不能用平方差进行计算，故不符合题意

18. (2 x+ 3 y)(2 x- 3z) 不能用平方差进行计算，故不符合题意

19. (x - y)(-x - y) 能用平方差公式进行计算的是(x - y)(-x - y) = y 2 - x 2 ，

20. (m - n)(n - m) 不能用平方差进行计算，故不符合题意

故选：C．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

15. 已知一个多边形的内角和等于 900º，则这个多边形是（ ）
A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形

【答案】C

【解析】

【详解】多边形的内角和公式为（n－2）×180°， 根据题意可得：（n－2）×180°=900°，
解得：n=7． 故选 C

16. 等腰三角形的周长为 13cm，其中一边长为 3cm，则该等腰三角形的底边为（ ）

A. 7cm B. 3cm C. 7cm 或 3cm D. 8cm

【答案】B
【解析】

【分析】分 3cm 长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．

【详解】解：当长是 3cm 的边是底边时， 三边为 3cm，5cm，5cm，
等腰三角形成立；

当长是 3cm 的边是腰时，

底边长是：13－3－3＝7cm，

而 3＋3＜7，不满足三角形的三边关系． 故底边长是：3cm．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关 系定理，是解题的关键．
9. 如图， AB ∥CD ，∠A=45°，∠C=∠E，则∠C 的度数为（ ）

A. 45° B. 22.5° C. 67.5° D. 30°

【答案】B
【解析】

【分析】根据平行线的性质可以得出∠DOE 的度数，又根据三角形的外角定理和∠C=∠E，即可得出正确选项．
【详解】∵ AB ∥ CD ，∠A=45°
∴∠DOE=∠A=45°

∵∠C=∠E，∠C+∠E=∠DOE
∴ ÐC = 1 ÐDOE = 1 ´ 45° = 22.5° 2 2
故选 B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，灵活运用性质是本题的关键．
10. 如图， △ABC≌△AED ，点 D 在 BC 边上．若∠EAB＝50°，则∠ADE 的度数是（ ）

A. 50° B. 60° C. 65° D. 30°

【答案】C
【解析】

【分析】根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠EAD，于是可得∠DAC＝∠EAB，代入即可．

【详解】解：△ABC≌△AED，

∴∠BAC＝∠EAD，

∴∠EAB＋∠BAD ＝∠DAC＋∠BAD，

∴∠DAC＝∠EAB＝50°，

∵AD＝AC
1
∴∠ADC＝∠C＝∠ADE＝ （180° - ÐDAC）= 65°
2
故选 C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分满分 18 分．）
11. 计算：（1）x2•x6＝ ；（2）a2n•an+1＝ ；（3）（﹣2）×（﹣2）2×（﹣2）3＝ ．

【答案】 ①. x8
②. a3n+1
③. 26

【解析】

【分析】（1）利用同底数幂的乘法的法则，进行运算即可；

26. 利用同底数幂的乘法的法则，进行运算即可；

27. 利用同底数幂的乘法的法则，进行运算即可．

【详解】（1）原式＝ x2+6 = x8 ；

（2）原式＝ a2n+n+1 = a3n+1 ；
（3）原式＝ (-2)1+2+3 = (-2 )6 = 26 ．故答案为： x8 ； a3n+1 ； 26 ．
【点睛】此题考查了同底数幂的乘法的法则，掌握同底数幂的乘法的法则是解题的关键．

12. 计算：（1） (2x)3 = ；（2） (-5a2b)(-3a) = ；（3） (ab)5 ¸ (ab)2 = ．

【答案】 ①.
8x3
②. 15a3b ③.
a3b3

【解析】

【分析】（1）利用积的乘方法则计算可得；

（4） 利用单项式乘单项式的乘法法则计算可得；

（5） 利用幂的除法法则计算可得．

【详解】（1） (2x)3 = 8x3 ；

（2） (-5a2b)(-3a) = 15a3b ；

（3） (ab)5 ¸ (ab)2 = (ab)3 = a3b3 ．
【点睛】本题考查幂的运算的理解与运用能力，单项式与单项式的乘法．幂的乘法法则： am × an = a(m+n) ； 幂的除法法则： am ¸ an = a(m-n) （ a ¹ 0 ， m ， n 均为正整数，并且 m > n ）．幂的乘方法则： (am )n = amn
（ n 为正整数）．熟练掌握幂的运算法则是解本题的关键．

（3） 分解因式：（1）ax+ay＝
；（2） x2 + x + 1 ＝
4
；（3） a2 - 1 b2 ＝ ．
4

æ 1 ö2
æ 1 öæ 1 ö

【答案】 ①.
a ( x + y )
②. ç x + ÷
2
è ø
③. ç a + b ÷ç a - b ÷
2 2
è øè ø

【解析】

【分析】（1）利用提取公因式进行分解因式即可；

（4） 利用完全平方公式法分解因式；

（5） 利用平方差公式法分解因式．
【详解】解：（1）ax+ay＝ a ( x + y ) ；

1 æ 1 ö2
（2） x2 + x + = ç x + ÷ ；
4 è 2 ø

（3） a2 - 1 b2 = æ a + 1 b öæ a - 1 b ö ．
4 ç 2 ÷ç 2 ÷
è øè ø

÷
æ 1 ö2 æ
1 öæ 1 ö

故答案为:
a ( x + y ) ; ç x +
è
; ç a + b ÷ç a - b ÷ ．
2
2 2
ø è øè ø

【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用 的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不 能再分解为止．
（4） 已知△ABC 的面积为 10，D 为 AC 中点，则△ABD 的面积为 ．

【答案】5
【解析】

【分析】根据三角形中线的性质求解即可．

【详解】解：如图,

∵△ABC 中，D 为 AC 中点，

∴BD 是 AC 边上的中线，
∴S ABD=S CBD= 1 S ABC= 1 ´10=5 ，

△ △ 2 △ 2

故答案为 5．
【点睛】本题考查了三角形的中线的性质：三角形的任意一条中线将原三角形分成的两个三角形面积相等， 掌握这一性质是解题的关键．
（5） 已知 OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 D、E，PD=10，则 PE 的长度为 ．
【答案】10

【解析】

【详解】试题分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以 PD=PE=10． 考点：角平分线的性质定理．

（6） 如图，在锐角△ABC 中，BC=4，∠ABC=30°，∠ABD=15°，直线 BD 交边 AC 于点 D，点 P、Q 分别在线段 BD、BC 上运动，则 PQ+PC 的最小值是 ．
【答案】 2
【解析】
【分析】作点Q 关于 BD 的对称点 M，连接 CM，当CM ^ AB 时．此时 PQ+PC 取得最小值．
【详解】解：∵∠ABC=30°，∠ABD=15°，

∴BD 是∠ABC 的平分线，
作点Q 关于 BD 的对称点 M，连接 PM、CM，

由对称的性质可知， PQ = PM , ÐQBP = ÐMBP = 15°

∴ PQ + PC = PM + PC ³ CM ，

∵ ÐQBP = ÐMBP = 15° ,

∴ ÐQBP + ÐMBP = 30°,
∵ ÐABC = 30° ,
∴M 在 AB 上,
由垂线段最短可知：当CM ^ AB 时． CM 取得最小值，
∴此时 PQ+PC 也取得最小值．

∵ CM ^ AB ，
∴ ÐBMC = 90° ，
∵ ÐABC = 30° ,
∴ CM = 1 BC = 2 ,
2
∴PQ+PC 的最小值为： 2 ． 故答案为： 2 ．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题、30°的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对 称解决最短路径问题．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
（7） 尺规作图：如图，已知△ABC，作 BC 边的垂直平分线交 AB 于点 D，连接 DC．（不写作法，保留作图痕迹）．

【答案】见解析

【解析】

【分析】分别以 B、C 为圆心，以大于 BC 的二分之一的长为半径画弧，两弧两两相交然后连接两弧的交点， 交 AB 于点 D，连接 DC 即可．
【详解】如图：
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的作法，关键是掌握用尺规作线段垂直平分线的方法．
18. 先化简，再求值：（x + 2）（x - 2）-（x -1）（x + 5），其中 x = 1 ．
2
【答案】 -4x +1， -1

【解析】
【分析】先利用平方差公式、整式的乘法法则，再合并同类项对式子进行化简；将 x = 1 代入最简式中计算
2
即可得出结果．

【详解】原式= x2 - 4 - (x2 + 5x - x - 5) = x2 - 4 - x2 - 4x + 5 = -4x + 1 ．
当 x = 1 ， -4x + 1 = -4 ´ 1 + 1 = -1 ．
2 2
【点睛】本题考查整式的混合运算化简求值的运算能力．在解题过程中，要把原式化到最简，再把数值代

入最简式中进行计算是解本题的关键．

19. 计算： (
m + 2 -
m -1
) ¸ m - 4 ．

m2 - 2m m2 - 4m + 4 m
1
【答案】 m2 - 4m + 4
【解析】

【分析】原式括号中两项通分后利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简

结果．

é m + 2 - m -1 ù ¸ m - 4

【详解】解：原式= ê m (m - 2) (m - 2)2 ú m
êë úû
é(m + 2)(m - 2) - m(m -1) ù ¸ m - 4
2
ëê
= ê m(m - 2)2 m(m - 2) úú m
û

= 2
é m2 - 4
- m2 - m ù ¸ m - 4

ê
2
êë m (m - 2)
ú
m (m - 2 ) úû m

= -4 + m ´ m
m (m - 2)2 m - 4

1
= (m - 2)2
1
= m2 - 4m + 4
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．

20 计算： 15x + 2 =
x2 + x
【答案】x＝ - 1
6
3
．
1+ x

【解析】

【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、解整式方程、验根得结论即可．

【详解】解：将15x + 2 =
x2 + x
3

1+ x
整理得 15x + 2 =
（x x + 1）
3
1 + x ，

方程两边同乘以 x（x＋1）得 15x＋2＝3x，

解得 x＝ - 1 ，
6
检验：当 x＝ - 1 时，x（x＋1） ¹ 0，
6
因此，x＝ - 1 是原分式方程的解，
6
所以，原分式方程的解为 x＝ - 1 ．
6
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，牢记验根是解决分式方程问题的关键．

（4） 如图，方格纸中每个小方格都是边长为 1 的正方形，四边形 ABCD 的顶点与点 E 都是格点．

（1） 作出四边形 ABCD 关于直线 AC 对称的四边形 AB′CD′；

（2） 求四边形 ABCD 的面积；

（3） 若在直线 AC 上有一点 P，使得 P 到 D、E 的距离之和最小，请作出点 P 的位置．

【答案】（1）见解析；（2）9；（3）见解析
【解析】

【分析】（1）分别作出 B, D 两点关于直线 AC 的对称点 B¢ , D¢ ，连接 AD¢,CD¢, AB¢,CB¢ ,四边形 AB′CD′
即为所求四边形；

（2） 根据网格的特点，S 四边形 ABCD＝S△ABD+S△BCD 即可求得答案；
（3） 连接 D ¢E 与直线 AC 交于点 P ，由 PD + PE = PD¢+ PE ³ D¢E ，可得 P 到 D、E 的距离之和最小， 则 P 点即为所求作的点．
【详解】（1）如图，分别作出 B, D 两点关于直线 AC 的对称点 B¢ , D¢ ，连接 AD¢,CD¢, AB¢,CB¢ ,四边形
AB′CD′即为所求四边形；

（2）S
1 1
2 2
ABCD＝S ABD+S BCD= ´ 6 ´ 2 + ´ 6 ´1

△ △


=9；

四边形

（3）如图, 连接 D ¢E 与直线 AC 交于点 P ，由 PD + PE = PD¢+ PE ³ D¢E ，可得 P 到 D、E 的距离之和最小，则 P 点即为所求作的点；
【点睛】本题考查了轴对称作图，轴对称的性质，求网格中四边形的面积，掌握轴对称的性质是解题的关 键．
（5） 已知正实数 x、y，满足（x+y）2＝25，xy＝4．
（1） 求 x2+y2 的值；
（2） 若 m＝（x﹣y）2 时，4a2+na+m 是完全平方式，求 n 的值．
【答案】（1）17 （2）±12
【解析】

【分析】（1）依据完全平方公式可知 x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy 即可求解；

（2）由题意可知 m 的值，再依据完全平方公式的特点可求 n 的值

【小问 1 详解】

∵ xy = 4 ，

∴ (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 = x2 + y2 + 2´ 4 = 25 ，

∴ x2 + y2 =17．
【小问 2 详解】

∵ (x - y)2 = x2 - 2xy + y2 = 17 - 2´ 4 = 9 ，
∴ m = 9 ，

∴ 4a2 + na + m = 4a2 + na + 9 是完全平方式，

∴ na = ±(2´ 2a ´ 3) = ±12a ，
∴ n = ±12 ，
【点睛】本题考查了完全平方公式，关键在于要理解它的特征，灵活运用．

（6） 为了做好防疫工作，保障员工安全健康，某公司用 4000 元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好， 公司又用 6400 元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的 2 倍，且每包便宜 5 元．问第一批口罩每包的价格是多少元？公司前后两批一共购进多少包口罩？
【答案】第一批口罩每包的价格是 25 元，公司前后两批一共购进 480 包口罩
【解析】

【分析】设第一批口罩每包的价格是 x 元，则第二批口罩每包（x−5）元，根据数量＝总价÷单价，结合第二批口罩的数量是第一批的 2 倍，即可得出关于 x 的分式方程，解出检验后即可得出结论．
【详解】解：设第一批口罩每包 x 元，则第二批口罩每包(x - 5) 元．根据题意，得
6400 = 2 ´ 4000 ．

x - 5 x
解得 x = 25 ．
经检验， x = 25 是所列方程的根．
则 4000 ´ 3 = 480 （包）．
25
答：第一批口罩每包的价格是 25 元，公司前后两批一共购进 480 包口罩．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，抓住第二批口罩的数量是第一批的 2 倍，找到相等关系是解决问题的关键．
（7） 如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，BC=DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．

（1） 求证： △ABC ≌△ADC ；
（2） 测量 OB 与 OD、∠BOA 与∠DOA，你有何猜想？证明你的猜想；

（3） 在“筝形”ABCD 中，已知 AC=6，BD=4，求“筝形”ABCD 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）OB=OD、ÐBOA = ÐDOA
（3）12
【解析】

【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可；
（2） 测量得出 OB=OD、ÐBOA = ÐDOA ，故猜想：OB=OD、ÐBOA = ÐDOA ，根据垂直平分线的判定和性质即可得出证明；
（3） 根据 S筝形ABCD = S△ ABD + S△BCD 进行计算即可．
【小问 1 详解】
证明： 在△ABC 和△ADC 中，
ì AB＝AD
í
ïBC＝DC ，
î
ï AC＝AC
∴△ABC≌△ADC，

【小问 2 详解】
猜想：OB=OD、ÐBOA = ÐDOA ，证明如下：
∵AB=AD，BC=DC，

∴ A, C 在 BD 的垂直平分线上，
∴ AC ^ BD , AC 平分 BD ，
∴ ÐBOA = ÐDOA = 90°，OB=OD，
∴ ÐBOA = ÐDOA ，OB=OD，
【小问 3 详解】

∵ S△ ABD
= 1 BD ´ AO,S
2


△BCD
= 1 BD ´ CO,
2

∴ S筝形ABCD = S△ ABD + S△BCD
= 1 BD ´ AO + 1 BD ´ CO
2 2
= 1 BD ´( AO + CO)
2
= 1 BD ´ AC
2
= 1 ´ 4 ´ 6 2
=12
∴“筝形”ABCD 的面积为：12 ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质,垂直平分的判定和性质，“筝形”的面积求法,掌握以上知识 点是解题的关键．
（8） 如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠C=90°，E 为 BC 上一点，DE、AE 分别为∠ADC、∠DAB 的平分线．

（1） ∠DEA＝ ；（需说明理由）

（2） 求证：CE＝EB；

（3） 探究 CD、DA、AB 三条线段之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）90°；
（2）见详解； （3）CD+AB=DA．
【解析】

【分析】（1）由∠B=∠C=90º可得 CD∥AB，再由平行线的性质和角平分线的性质可得∠EDA+∠DAE=90º， 因此∠DEA=90º．
（2） 作 EF 丄 AD 于 F，由角平分线的性质定理可得 EC=EF=EB，结论得证．

（3） 先由 HL 证明 Rt△DCE≌Rt△DFE，因此得 DC=DF，同理可证 AF=AB，结论得证．

【小问 1 详解】

解：∵∠B=∠C=90º，

∴∠B+∠C=180º，

∴AB∥CD，

∴∠ADC+∠DAB=180º．

∵DE、AE 分别为∠ADC、∠DAB 的平分线，

∴∠EDA= 1 ∠ADC，∠DAE= 1 ∠DAB，
2 2

∴∠EDA+∠DAE= 1 （∠ADC + ∠DAB ）
2
= 1 ´180°
2
=90°．

∴∠DEA=180º-(∠EDA+∠DAE)

=90º．

故答案为 90°．

【小问 2 详解】

证明：作 EF 丄 AD 于 F

∵DE 平分∠ADC，且∠C=90º，EF 丄 AD，

∴CE=FE．

∵AE 平分∠DAB，且∠B=90º，EF 丄 AD，

∴FE=EB，
∴CE=EB．
【小问 3 详解】

在 Rt△DCE 和 Rt△DFE 中

ìDE = DE
î
í CE = FE

∴Rt△DCE≌Rt△DFE，

∴DC=DF．

同理可证：Rt△AFE≌Rt△ABE，

∴AF=AB，

∴CD+AB=DF+AF=AD．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以 上知识是解题的关键．