资源描述
广州中学初二年级 2022 学年上学期期末线上测试数学问卷
一、单选题：（每小题有且只有一个正确答案，每小题 3 分）
1. 下列汉字中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐标系中．点 P(1, -2) 关于 x 轴对称的点的坐标是（ ）
A (1, 2) B. (1, -2) C. (-1, 2) D.
(-1, -2)
3. 全球首款基于 7 纳米芯片的产品在中国成功量产，7 纳米（7 纳米＝0.000 000 007 米）用科学记数法表示为7 ´10n 米（n 为负整数），则 n 的值为（ ）
A. －8 B. －9 C. －10 D. 9
4. 下列运算中正确的是（ ）
第 4页/共 5页
A. 2a2 ´ 3a3 = 6a5
B. a6 ¸ a3 = a2
C. a + 2b = 2ab D.
(-2a2 )3 = -6a6
1
5. 若分式
x -1
在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是( )
A. x ¹ 1
B. x ¹ -1
C. x ¹ 0
D. x ³1
6. 若一个正多边形的各个内角都是 140°，则这个正多边形是（ ）
A. 正七边形 B. 正八边形 C. 正九边形 D. 正十边形
7. 如图，在VABC 中， ÐC = 90° ， AD 平分ÐBAC ， DC = 3 ，△ABD 的面积 12，则
AB 的长是（ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
8. 已知 x2 + kx + 9 可以用完全平方公式进行因式分解，则 k 的值为（ ）
A. -6 B. 3 C. 6 D. ±6
二、多选题（共 2 小题，每小题有不只一个答案，每小题 5 分）
9. 如图， Ð1=Ð2 ， BC =EF ，要添加一个条件使△ABC ≌△DEF ．添加的条件可以是
（ ）
A. ÐB = ÐE
B. ÐA = ÐD
C. AB = ED D.
AB ∥ ED
10. 如图， AB = 4cm，AC = BD = 3cm，ÐCAB = ÐDBA ，点 P 在线段 AB 上以 1cm/s
的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．设运动时间为 t
（s），则当△ACP 与V BPQ 全等时，点 Q 的运动速度为（ ）
A. 1 cm/s 3
B. 1cm/s C. 1.5cm/s D. 2cm/s
三、耐心填一填（本题有 6 个小题，每小题 4 分，满分 24 分）
11. 分解因式：a2-6a+9= .
12. 等腰三角形的一边长为9 cm，另一边长为 4cm，则它的第三边长为 cm．
13. 若m + n = 1，mn = 2 ，则 2 + 2 的值为 ．
m n
14. 若关于 x 的分式方程 3 + x + m = 1有增根，则 m 的值是 ．
x - 2 2 - x
15. 一艘轮船从海平面上 A 地出发，向北偏东 50°的方向行驶 60 海里到达 B 地，再由 B 地
向南偏东 10°的方向行驶 60 海里到达 C 地，则 A，C 两地相距 海里．
16. 如图，等腰VABC 的底边 BC 长为 8，面积为 24，腰 AB 的垂直平分线 EF 分别交
AB，AC 于点 E，F，若点 D 为底边 BC 的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则 BM + DM
的最小值是 ．
四、解答题（本大题有 8 个小题，共 62 分．）
17. 计算：
（1） (-1)2021 - (p- 3.14)0 + (- 1 )-2
2
（2） (x + y)(x - y)+y(x + 2 y) - (x - y)2
18. 如图，在VABC 中， ÐABC = 50°， ÐACB = 70° ， AD 平分ÐBAC ， AE 是 BC 边上的高．
（1） 求ÐBAD 的度数；
（2） 求ÐDAE 的度数．
19. 如图，在边长为 1 的小正方形网格中建立平面直角坐标系， DABC 的顶点坐标分别是
A(-1, 2) ， B (-4,1) ， C (-2, -2) ．根据下列要求，回答问题：
（1） 在图中作出DABC 关于 y 轴的对称图形DA1B1C1 ；
（2） 直接写出点 A1， B1 ， C1 的坐标．
20. 随着人们对空气污染问题的重视，空气净化器的销量也随之大增．某电器商场从空气净 化器厂家购进了甲、乙两种型号的空气净化器进行销售，已知一台甲型空气净化器的进价比 一台乙型空气净化器的进价多 300 元．且用 7500 元购进甲型空气净化器和用 6000 元购进乙型空气净化器的台数相同．求一台甲型空气净化器和一台乙型空气净化器的进价各为多少 元？
21. 如图，在VABC 中， ÐC = 90° ， ÐB = 30° ， DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为点 E，
DE 交 BC 于点 D，连接 AD ．
（1） 求证： AD 平分ÐCAB ；
（2） 若CD = 3 ，求 BD 的长．
22. 阅读下列材料：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平 方式或几个完全平方式的和．巧妙地运用配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式进行 因式分解，还能结合非负数的意义来解决一些问题．
如： x2 + 2x - 3
解：原式= x2 + 2x + 1- 4
= (x +1)2 - 22
= ( x +1+ 2)( x +1- 2)
= ( x + 3)( x -1) ．
（1）请你仿照以上方法，完成因式分解： a2 + 4ab - 5b2 ．
（2）若m2 + 2n2 + 6m - 4n + 11 = 0 ，求 m + n 的值．
23. 已知△ABC 中，∠ACB 的平分线 CD 交 AB 于点 D，DE//BC．
（1） 如图 1，如果点 E 是边 AC 的中点，AC＝8，求 DE 的长；
（2） 如图 2，若 DE 平分∠ADC，∠ABC＝30°，在 BC 边上取点 F 使 BF＝DF，若 BC＝9， 求 DF 的长．
24. 如图， VABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿
AB、BC 方向匀速移动．
（1） 当点 P 的运动速度是 1cm/s，点 Q 的运动速度是 2cm/s，当 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s），当t = 2 时，判断V BPQ 的形状，并说明理由；
（2） 当它们的速度都是 1cm/s，当点 P 到达点 B 时，P、Q 两点停止运动，设点 P 的运动时间为 t（s），则当 t 为何值时， VPBQ 是直角三角形？
广州中学初二年级 2022 学年上学期期末线上测试数学问卷
一、单选题：（每小题有且只有一个正确答案，每小题 3 分）
1. 下列汉字中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选 C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定 义．
2. 在平面直角坐标系中．点 P(1, -2) 关于 x 轴对称的点的坐标是（ ）
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A. (1, 2) B. (1, -2)
(-1, -2)
【答案】A
【解析】
C. (-1, 2) D.
【分析】根据点关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出对称点坐标．
【详解】解：点 P（1，−2）关于 x 轴的对称点的坐标是（1，2），故选：A．
【点睛】此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
3. 全球首款基于 7 纳米芯片的产品在中国成功量产，7 纳米（7 纳米＝0.000 000 007 米）用
科学记数法表示为7 ´10n 米（n 为负整数），则 n 的值为（ ）
A. －8 B. －9 C. －10 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值小于 1 的数用科学记数法表示的形式即可确定 n 的值，从而得到答案．
【详解】7 纳米＝0.000 000 007 米= 7 ´10-9 米故 n=−9
故选：B
【点睛】本题考查了绝对值小于 1 的数用科学记数法表示，其形式为 a ´10n (1 £| a |< 10) ， 且 n 为负整数，原数的第一个非零数前的零的个数（包括小数点前的零）的相反数即为 n．
4. 下列运算中正确的是（ ）
A. 2a2 ´ 3a3 = 6a5
B. a6 ¸ a3 = a2
C. a + 2b = 2ab D.
(-2a2 )3 = -6a6
【答案】A
【解析】
【分析】根据单项式乘以单项式，同底数幂除法，合并同类项和积的乘方等计算法则求解判 断即可．
【详解】解：A、 2a2 ´ 3a3 = 6a5 ，计算正确，符合题意；
B、 a6 ¸ a3 = a6-3 = a3 ，计算错误，不符合题意；
C、a 与2b 不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；
D、(-2a2 )3 = -8a6 ，计算错误，不符合题意；故选 A．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，同底数幂除法，合并同类项和积的乘方，熟知 相关计算法则是解题的关键，注意同底数幂除法指数是相减，积的乘方指数是相乘．
1
5. 若分式
x -1
在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是( )
A. x ¹ 1
B. x ¹ -1
C. x ¹ 0
D. x ³1
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
1
【详解】解：若分式
解得 x≠1，
x -1
在实数范围内有意义，则 x-1≠0，
故选：A．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件：分母不等于零是解题 的关键．
6. 若一个正多边形的各个内角都是 140°，则这个正多边形是（ ）
A. 正七边形 B. 正八边形 C. 正九边形 D. 正十边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形内角和公式进行求解即可．
【详解】解；设这个正多边形的边数为 n， 由题意得180°×(n - 2) = 140°× n ，
解得 n = 9 ，
∴这个正多边形为正九边形， 故选 C．
【点睛】本题主要考查了正多边形内角和问题，熟知正 n 边形的内角和为180°×(n - 2) 是解
题的关键．
7. 如图，在VABC 中， ÐC = 90° ， AD 平分ÐBAC ， DC = 3 ，△ABD 的面积 12，则
AB 的长是（ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】过点 D 作 DE⊥AB 于 E，根据角平分线的性质定理可以得到 DE=DC=3，再根据三角形的面积公式即可得出 AB．
【详解】过点 D 作 DE⊥AB 于 E，
∵ ÐC = 90° ， AD 平分ÐBAC ， DC = 3 ，
∴DE=DC=3，
∵△ABD 的面积 12，
∴ SV ABD
= 1 AB × DE = 12 ，
2
∴ AB = 8 ． 故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握是本题的关键．
8. 已知 x2 + kx + 9 可以用完全平方公式进行因式分解，则 k 的值为（ ）
A. -6 B. 3 C. 6 D. ±6
【答案】D
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出 k 的值．
【详解】解：∵ x2 + kx + 9 可以用完全平方公式进行因式分解，
∴ x2 + kx + 9 = x2 ± 6x + 9 = (x ± 3 )2 ，
∴ k = ±6 ， 故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
二、多选题（共 2 小题，每小题有不只一个答案，每小题 5 分）
9. 如图， Ð1=Ð2 ， BC =EF ，要添加一个条件使△ABC ≌△DEF ．添加的条件可以是
（ ）
A. ÐB = ÐE
B. ÐA = ÐD
C. AB = ED D.
AB ∥ ED
【答案】ABD
【解析】
【分析】已知一边和一角对应相等，再添加任意对对应角相等，或已知角的另一边相等就可
以由AAS 、 ASA 或SAS 判定两个三角形全等．
【详解】解：选项 A 中ÐB 与ÐE 是对应角，能与已知构成ASA 的判定，可以判定三角 形全等，故选项 A 符合题意；
选项 B 中ÐA = ÐD 是对应角，结合已知可以由 AAS 判定△ABC ≌△DEF ，故选项 B 符
合题意；
选项 C 中 AB = ED 是对应边，但不是两边及其夹角相等，无法判定△ABC ≌△DEF ，故选项 C 不合题意；
选项 D 中由已知 AB // ED 可得ÐB = ÐE ，是对应角，结合已知可以由 ASA 判定
△ABC ≌△DEF ，故选项 D 符合题意； 故选：ABD．
【点睛】本此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方 法．判定三角形全等的方法有： SSS ， SAS ， AAS ， ASA ， HL (直角三角形)．
10. 如图， AB = 4cm，AC = BD = 3cm，ÐCAB = ÐDBA ，点 P 在线段 AB 上以 1cm/s
的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．设运动时间为 t
（s），则当△ACP 与V BPQ 全等时，点 Q 的运动速度为（ ）
A. 1 cm/s 3
【答案】BC
【解析】
B. 1cm/s C. 1.5cm/s D. 2cm/s
【 分析】设点 Q 的运动速度是 xcm / s ， 有两种情况： ① AP = BQ，AC = BP ；
② AP = BP，AC = BQ ，列出方程，然后求出方程的解即可．
【详解】解：设点 Q 的运动速度是 xcm / s ，
∵点 P 的运动速度为1cm/s ，点 Q 的运动速度为 xcm / s ，它们运动的时间为t (s) ， 又∵ AB = 4cm，AC = BD = 3cm ，
∴ AP = tcm，BP = (4 - t ) cm，BQ = xtcm ，
∵ ÐCAB = ÐDBA ，
∴当△ACP 与V BPQ 全等时，有两种情况：
① AP = BQ，AC = BP ，
ìt = xt
î
∴ í4 - t = 3，
ìt = 1
î
解得： íx = 1；
② AP = BP，AC = BQ ，
ìt = 4 - t
î
则： íxt = 3 ，
ìt = 2，
î
解得： íx = 1.5 ；
∴当△ACP 与V BPQ 全等时，点 Q 的运动速度为1cm/s 或1.5cm/s ． 故选 BC．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系，方程等知识．能求出 符合题意的所有情况是解题的关键．
三、耐心填一填（本题有 6 个小题，每小题 4 分，满分 24 分）
11. 分解因式：a2-6a+9= .
【答案】（a-3）2
【解析】
【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可得.
【详解】a2-6a+9
=a2-2×a×3+32
=(a-3)2，
故答案为（a-3）2.
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键.
12. 等腰三角形的一边长为9 cm，另一边长为 4cm，则它的第三边长为 cm．
【答案】9
【解析】
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为 4cm 和 9cm，而没有明确腰、底分别是多少， 所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：分两种情况：
当第三边为 4 时，4+4＜9，所以不能构成三角形； 当第三边为9 时，4+9＞9，所以能构成三角形．
∴第三边为 9cm．
故答案为 9．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目 一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点 非常重要，也是解题的关键．
13. 若m + n = 1，mn = 2 ，则 2 + 2 的值为 ．
m n
【答案】1
【解析】
【分析】根据所求式子可以转换成
2 (m + n)
mn
进行求解即可．
【详解】解：∵ m + n = 1，mn = 2 ，
∴ 2 + 2
m n
= 2n + 2m mn mn
= 2 (m + n )
mn
= 2
2
= 1，
故答案为；1．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，正确将所求式子转换成
2 (m + n)
mn
是解题的关键．
14. 若关于 x 的分式方程 3 + x + m = 1有增根，则 m 的值是 ．
x - 2 2 - x
【答案】1
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出 m 的值即可
【详解】解：去分母得：3﹣x﹣m＝x﹣2， 由分式方程有增根，得到 x﹣2＝0，即 x＝2， 把 x＝2 代入整式方程得：3﹣2﹣m＝0，
解得：m＝1， 故答案：1．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整 式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15. 一艘轮船从海平面上 A 地出发，向北偏东 50°的方向行驶 60 海里到达 B 地，再由 B 地向南偏东 10°的方向行驶 60 海里到达 C 地，则 A，C 两地相距 海里．
【答案】60
【解析】
【分析】根据题意画出图形，可判断VABC 为等边三角形，答案可得．
【详解】解：由题意可得 AB = BC, ÐABC = 60° ，
∴ VABC 为等边三角形，
∴ AC = 60 海里， 故答案为： 60 ．
【点睛】本题考查了等边三角形判定与性质，根据题意画出图形是解题的关键．
16. 如图，等腰VABC 的底边 BC 长为 8，面积为 24，腰 AB 的垂直平分线 EF 分别交
AB，AC 于点 E，F，若点 D 为底边 BC 的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则 BM + DM
的最小值是 ．
【答案】6
【解析】
【分析】连接 AD 交 EF 与点 M ¢ ，连接 AM ，依据等腰三角形三线合一定理可证明 AD 为
VABC 底边上的高线，依据三角形的面积为 12 可求得 AD 的长；由线段垂直平分线的性质可知 AM = BM ，则 BM + DM = DM + AM ，故此当 A、M、D 在一条直线上时，
BM + DM 有最小值，即 AD 的长．
【详解】解：连接 AD 交 EF 与点 M ¢ ，连接 AM ，
∵ VABC 是等腰三角形，点 D 是底边 BC 的中点，
∴ AD ^BC ，
∴ S△ABC
= 1 BC × AD = 1 ´ 4 ´ AD = 12 ，
2 2
∴ AD = 6 ，
∵ EF 是线段 AB 的垂直平分线，
∴ AM = BM ．
∴ BM + DM = DM + AM ．
∴当点 M 位于点 M ¢ 处时， BM + DM 有最小值，最小值是 6． 故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确理解题意推出当 点 M 位于点 M ¢ 处时， BM + DM 有最小值是解题的关键．
四、解答题（本大题有 8 个小题，共 62 分．）
17. 计算：
（1） (-1)2021 - (p- 3.14)0 + (- 1 )-2
2
（2） (x + y)(x - y)+y(x + 2 y) - (x - y)2
【答案】（1）2 （2） 3xy
【解析】
【分析】（1）根据乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算；
（2）根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式的法则，合并同类项的法则化简即 可．
【小问 1 详解】
解： (-1)2021 - (p- 3.14)0 + (- 1 )-2
2
= -1 -1 + 4
=2
【小问 2 详解】
解： (x + y)(x - y)+y(x + 2 y) - (x - y)2
=(x2 - y2 ) + (xy + 2 y2 ) - (x2 - 2xy + y2 )
= x2 - y2 + xy + 2y2 - x2 + 2xy - y2
= 3xy
【点睛】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算．掌握乘法公式，单项式乘多项式、 零指数幂和负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
18. 如图，在VABC 中， ÐABC = 50°， ÐACB = 70° ， AD 平分ÐBAC ， AE 是 BC 边
上的高．
（1） 求ÐBAD 的度数；
（2） 求ÐDAE 的度数．
【答案】（1） ÐBAD = 30°
（2） ÐDAE = 10°
【解析】
【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出ÐBAC 的度数，再根据角平分线的定义求出
ÐBAD 的度数即可；
（2）先根据三角形内角和定理求出ÐBAE 的度数，即可求出ÐDAE 的度数．
【小问 1 详解】
解：∵ ÐABC = 50°， ÐACB = 70° ，
∴ ÐBAC = 180° - ÐABC - ÐACB = 60° ，
∵ AD 平分ÐBAC ，
∴ ÐBAD = 1 ÐBAC = 30°，
2
【小问 2 详解】
解：∵ AE 是 BC 边上的高，
∴ Ð AEB = 90° ，
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∴ ÐBAE = 180° - ÐABC - ÐAEB = 40° ，
∴ ÐDAE = ÐBAE - ÐBAD = 40°- 30°= 10°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的定义，熟知三角 形内角和定理是解题的关键．
19. 如图，在边长为 1 的小正方形网格中建立平面直角坐标系， DABC 的顶点坐标分别是
A(-1, 2) ， B (-4,1) ， C (-2, -2) ．根据下列要求，回答问题：
（1） 在图中作出DABC 关于 y 轴的对称图形DA1B1C1 ；
（2） 直接写出点 A1， B1 ， C1 的坐标．
【答案】（1）见详解 （2） A1(1, 2) ， B1(4,1) ， C1 (2, -2) ．
【解析】
【分析】（1）根据轴对称性质对称轴垂直平分对应点连线；
（2）根据（1）的图直接写出坐标即可．
【小问 1 详解】
解：根据轴对称性质对称轴垂直平分对应点连线找到对应点 A1 ，B1 ，C1 ，连接 A1B1
A1C1 如下图：
；
【小问 2 详解】
解：由（1）可得，
A1(1, 2) ， B1(4,1) ， C1 (2, -2) ．
，B1C1 ，
【点睛】本题考查作轴对称图像及求坐标，解题的关键是根据轴对称性质对称轴垂直平分对 应点连线作出DA1B1C1 ．
20. 随着人们对空气污染问题的重视，空气净化器的销量也随之大增．某电器商场从空气净 化器厂家购进了甲、乙两种型号的空气净化器进行销售，已知一台甲型空气净化器的进价比 一台乙型空气净化器的进价多 300 元．且用 7500 元购进甲型空气净化器和用 6000 元购进乙型空气净化器的台数相同．求一台甲型空气净化器和一台乙型空气净化器的进价各为多少 元？
【答案】一台甲型空气净化器和一台乙型空气净化器的进价分别为 1500 元，1200 元
【解析】
【分析】根据题意找出等量关系式，列出分式方程求解即可．
【详解】解：设一台乙型空气净化器的进价为 x 元，则一台甲型空气净化器进价为（x + 300）
元，
由题意，得： 6000 =
7500
，
x x + 300
解得： x = 1200 ，
经检验 x = 1200 是原方程的解， 则 x + 300 = 1500 ．
答：一台甲型空气净化器和一台乙型空气净化器的进价分别为 1500 元，1200 元．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是找出等量关系式列出分式方程．
21. 如图，在VABC 中， ÐC = 90° ， ÐB = 30° ， DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为点 E，
DE 交 BC 于点 D，连接 AD ．
（1） 求证： AD 平分ÐCAB ；
（2） 若CD = 3 ，求 BD 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）6
【解析】
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到 AD = BD ，则ÐBAD = ÐB = 30° ，再根据直角三角形两锐角互余求出ÐBAC = 60° ，即可得到ÐCAD = ÐBAD ，从而证明结论；
（2）先根据角平分线的性质得到 DE = CD = 3 ，再根据含 30 度角的直角三角形的性质求
解即可．
【小问 1 详解】
证明：∵ DE 是 AB 的垂直平分线，
∴ AD = BD ，
∴ ÐBAD = ÐB = 30° ，
∵ ÐC = 90° ，
∴ ÐBAC = 90° - ÐB = 60°，
∴ ÐCAD = ÐBAC - ÐBAD = 30° ，
∴ ÐCAD = ÐBAD ，
∴ AD 平分ÐCAB ；
【小问 2 详解】
解：∵ AD 平分ÐCAB ， ÐC = 90°，DE⊥AB ，
∴ DE = CD = 3，∠DEB = 90° ， 又∵ ÐB = 30° ，
∴ BD = 2DE = 6 ．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余，灵活运用所学知识是解题的关键．
22. 阅读下列材料：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平 方式或几个完全平方式的和．巧妙地运用配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式进行 因式分解，还能结合非负数的意义来解决一些问题．
如： x2 + 2x - 3
解：原式= x2 + 2x + 1- 4
= (x +1)2 - 22
= ( x +1+ 2)( x +1- 2)
= ( x + 3)( x -1) ．
（1） 请你仿照以上方法，完成因式分解： a2 + 4ab - 5b2 ．
（2）若m2 + 2n2 + 6m - 4n + 11 = 0 ，求 m + n 的值．
【答案】（1） (a + 5b)(a - b)
（2）-2
【解析】
【分析】（1）先加上 4b2 再减去 4b2 即可求解；
（2） 先对等式左边进行分组配方，再求出 m，n 的值，最后代入即可．
【小问 1 详解】
原式= a2 + 4ab + 4b2 - 9b2
= (a + 2b)2 - (3b)2
= (a + 2b + 3b)(a + 2b - 3b)
= (a + 5b)(a - b) ．
【小问 2 详解】
∵ m2 + 2n2 + 6m - 4n + 11 = 0 ，
∴ m2 + 6m + 9 + 2n2 - 4n + 2 = 0 ，
∴ (m + 3)2 + 2(n -1)2 = 0 ．
∵ (m + 3)2 ³ 0 ， 2(n -1)2 ³ 0 ．
∴ m + 3 = 0 ， n -1 = 0 ．
∴ m = -3 ， n = 1 ，
∴ m + n = -3 + 1 = -2 ．
【点睛】本题考查了配方法，解题关键是掌握配方的步骤，对于四项及以上的情况可以考虑 先分组再配方．
23. 已知△ABC 中，∠ACB 的平分线 CD 交 AB 于点 D，DE//BC．
（1） 如图 1，如果点 E 是边 AC 的中点，AC＝8，求 DE 的长；
（2） 如图 2，若 DE 平分∠ADC，∠ABC＝30°，在 BC 边上取点 F 使 BF＝DF，若 BC＝9， 求 DF 的长．
【答案】（1）DE＝4；（2）DF＝3．
【解析】
【分析】（1）由角平分线的性质得到∠BCD＝∠ACD，再由两直线平行内错角相等得到∠EDC
＝∠BCD，继而解得∠EDC＝∠ACD，再由等角对等边解得 ED＝EC，最后根据线段中点性质解题；
（2）由两直线平行同位角相等结合角平分线性质解得∠B＝∠BCD，再由等角对等边解得DB＝DC，作 DG⊥BC 于点 G，由等腰三角形三线合一性质解得 GB＝4.5，最后根据含 30° 角的直角三角形性质解题即可．
【详解】解：（1）∵DC 平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DE//BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴ED＝EC，
∵点 E 是边 AC 的中点，AC＝8，
∴EC = 1 AC＝4，
2
∴DE＝4；
（2）∵DE//BC，
∴∠ADE＝∠B，∠CDE＝∠BCD，
∵DE 平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
如图，作 DG⊥BC 于点 G，
∵DB＝DC，DG⊥BC，
∴GB = 1 BC = 1 ´ 9＝4.5，
2 2
∵∠ABC＝30°，BF＝DF，
∴∠BDF＝∠B＝30°，
∴∠DFG＝∠B+∠BDF＝60°，
∴∠FDG＝30°，
∴BF＝DF＝2FG，
∴GF＝1.5，
∴DF＝2FG＝3．
【点睛】本题考查角平分线性质、平行线性质、等腰三角形的判定与性质、含 30°角的直角三角形性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
24. 如图， VABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿
AB、BC 方向匀速移动．
（1） 当点 P 的运动速度是 1cm/s，点 Q 的运动速度是 2cm/s，当 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s），当t = 2 时，判断V BPQ 的形状，并说明理由；
（2） 当它们的速度都是 1cm/s，当点 P 到达点 B 时，P、Q 两点停止运动，设点 P 的运动时间为 t（s），则当 t 为何值时， VPBQ 是直角三角形？
【答案】（1） V BPQ 是等边三角形，理由见解析
（2）当点 P 的运动时间为 2s 或 4s 时， VBQP 是直角三角形
【解析】
【分析】（1）分别求出 BP、BQ 的长可知 BP = BQ ，再由等边三角形的性质得到ÐB=60° ，即可证明V BPQ 是等边三角形；
（2）分当Ð PQB = 90° 时和当ÐBPQ = 90° 时两种情况利用含 30 度角的直角三角形的性质求解即可．
【小问 1 详解】
解： V BPQ 是等边三角形，理由如下；
由题意得，当t = 2 时， AP = 2cm，BQ = 4cm ，
∴ BP = AB - AP = 4cm ，
∴ BP = BQ ，
∵ VABC 是等边三角形，
∴ÐB=60°，
∴V BPQ 是等边三角形；
【小问 2 详解】
解；∵运动时间为ts ，
∴ AP = tcm，BQ = tcm ，
∴ BP = AB - AP = (6 - t ) cm ，
如图 1 所示，当Ð PQB = 90° 时，
∵ÐB=60°，
∴∠BPQ = 90° -∠B = 30° ，
∴ BP = 2BQ ，
∴ 6 - t = 2t ， 解得t = 2 ；
如图 2 所示，当ÐBPQ = 90° 时， 同理可得ÐBQP = 30° ，
∴ BQ = 2BP ，
∴ 2(6 - t ) = t ， 解得t = 4 ；
综上所述，当点 P 的运动时间为 2s 或 4s 时， VBQP 是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含 30 度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质与判定条件并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
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