第二章流体静力学第一节 流体静压强及其特性.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 流体静力学,第一节 流体静压强及其特性,第七节 流体平衡微分方程式,第二节 流体静压强的分布规律,第三节 压强的计算基准和度量单位,第四节 液柱测压计,第五节 静止流体作用在平面上的总压力,第六节 静止流体作用在曲面上的总压力,第一节 流体静压强及其特性,一、流体静压强的定义,二、流体静压强的特性,面积,A,上的平均流体静压强,P,：,A,点 上 的 流 体 静 压 强,P,：,一,.,流体静压强的定义,流体静压力：,作用在某一面积上的总压力；,流体静压强：,作用在某一面积上的平均压强或 某一点的压强。,流体静压力与流体静压强的区别：,1,、静压强的方向,沿作用面的内法线方向,流体静压强的方向,二、流体静压强的特性,假定图中某点的静压强不是垂直于作用面，则静压强,p,必然可分解为两个分量，,个与作用面相切，为切向分量，也就是切应力；另一个与作用面相垂直，为法向分量。从牛顿内摩擦定律中可以看出，静止流体内部是不会出现切应力的，若 ，则流体的平衡会遭到破坏。因而在静止的流体中切向分量是不存在的，即 。因此，流体静压强只可能垂直于作用面。,又因为流体处于静止时不能承受拉应力，拉应力的存在也会破坏流体的平衡，所以流体静压强的方向必然是沿着作用面的内法线方向。,由于流体内部的表面力只存在着压力，因此流体静力学的根本问题是研究流体静压强的问题。,2,、在静止流体内部，任一点的流体静压强的大小与作用面的方向无关，只与该点的位置有关。,流体微小四面体平衡,在静止的或相对静止的流体中，取出一个包括,O,点在内的微小四面体,OABC,，如图,2-3,所示，并将,O,点设置为坐标原点。取正交的三个边长分别为,d,x,、,d,y,、,d,z,，它们分别与坐标轴,x,、,y,、,z,重合。与坐标面,x,、,y,、,z,及倾斜面,ABC,垂直的面上平均压强分别为,px,、,py,、,pz,及,pn,。,作用在各面上的流体静压力等于各面的平均静压强与该作用面面积的乘积，即,作用在微小四面体上的质量力在各轴向的分力等于单位质量力在各轴向的分力与流体质量的乘积。流体的质量等于流体密度与微小四面体体积的乘积。设单位质量力在,x,、,y,、,z,轴的分力分别是，则质量力在各轴向的分力为：,微小四面体在上述表面力和质量力的作用下处于平衡状态，则外力的轴向平衡关系式为：,微小四面体在上述表面力和质量力的作用下处于平衡状态，外力的轴向平衡关系式为：，即各向分力投影之和为零：,x,方向受力分析,:,上式第（,1,）项展开写成：,当四面体无限地趋于,O,点时，则,d,x,趋于,0,，所以有：,p,x,=,p,n,。,类似地有：,p,x,=,p,y,=,p,z,=,p,n,说明：,1.,静止流体中不同点的压强一般是不等的，一 点的各向静压强大小相等。,2.,运动流体是理想流体时，由于,=0,，不会产生切应力，所以理想流体动压强呈静水压强分布特性。,第二节 流体静压强的分布规律,一、重力作用下流体静压强的基本方程,二、,分界面和自由面是水平面,三、气体压强计算,四、等密面是水平面,一、重力作用下流体静压强的基本方程,在静止液体中，任意取出一倾斜放置的微小圆柱体，微小圆柱体长为,，端面积为,dA,，并垂直于柱轴线。,周围的液体对圆柱体有侧面压力及两端面压力。侧面压力与轴向正交，沿轴向没有分力；轴的两端面的压力为,P,1,和,P,2,。,静止液体受的质量力只有重力，重力与轴线夹角为,，可以分解为平行于轴向的,Gcos,和垂直于轴向的,Gsin,两个分力。,倾斜微小圆柱体轴向力的平衡，就是两端压力,P1,、,P2,及重力的轴向分力,Gcos,三个力作用下,的平衡。即,微小圆柱体断面积,dA,极小，断面上各点压强的变化可以忽略不计，可以认为断面各点压强相等,设圆柱上端面的压强,p,1,下端面的压强,p,2,，端面压力为,P,1,p,1,dA,，,P,2,p,2,dA,，重力,G=,dA,，代入上式，得,:,消去,dA,，并由于,Gcos,=,h,，整理得压强关系式：,倾斜微小圆柱体的端面是任意选取的。因此，可以得出普遍关系式：即静止液体中任两点的压强差等于两点间的深度差乘以容重。压强随深度不断增加，而深度增加的方向就是静止液体的质量力,重力作用的方向。所以，压强增加的方向就是质量力的作用方向。,用压强关系式求静止液体内某一点的压强，设液面压强为,p,o,，液体容重为,，该点在液面下深度为,h,，则：,流体静力学基本方程式,结论：,1,）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深度按线性规律增加。,2,）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。,3,）自由表面下深度,h,相等的各点压强均相等,只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。,设水箱水面的压强为,p,o,，水中,1,、,2,点到任选基准面,oo,的高度为,Z,l,及,Z,2,，压强为,p,1,及,p,2,，将式中的深度改为高度差后得：,液体静力学基本方程式的另一种形式,这就是液体静力学基本方程式的另一种形式，也是我们常用的水静压强分布规律的一种形式。,结论：在同一种液体中，无论哪一点,(Z+P/,),总是一个常数。,几何意义：,位置水头,z,：,任一点在基准面,0-0,以上的位置高度，表示单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称位能。,压强水头 ：,表示单位重量流体从压强为大气压算起所具有的压强势能，简称压能（压强水头），是该点在压强作用下沿测压管所能上升的高度。,测压管水头（）：,测压管水头，它表示测压管水面相对于基准面的高度。,两水头相加等于常数，表示同一容器的静止液体中，所有各点的测压管水头均相等。因此，在同一容器的静止液体中，所有各点的测压管水面必然在同一水平面上。,能量意义：,表示单位重量流体的压力能，称为,比压力能,。,因为压力为,p,、体积为,V,的流体所做的膨胀功为,pV,，则单位重量物体所具有的压力能为：,pV,/G=,p/,。,比位能,z,和比压力能,p/,的单位都是,焦耳,/,牛顿,。,式中,z,表示单位重量流体相对于某一基准面的位能，称为,比位能,。,从物理学得知，把质量为,m,的物体从基准面提升一定高度,z,后，该物体所具有的位能是,mgz,，则单位重量物体所具有的位能为：,(,mgz,)/(mg)=z,。,称为单位重量流体的,总势能,。,重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的。这就是,静止流体中的能量守恒定律。,二、分界面和自由面是水平面,两种容重不同万不混合的液体，在同一容器中处于静止状态，两种液体之间形成分界面。这种分界面既是水平面又是等压面。现在，我们从反面证明如下：,图,29,盛有,2,1,的两种不同液体，设分界面不是水平面而是倾斜面，我们在分界面上任选,1,、,2,两点，其深度差为,，,根据压差关系式，从分界面上、下两方分别求压差为：,由于液体容重不等于零，且,2,1,。必然是,0,，即分界面是水平面，不可能是倾斜面。将,0,代人压差关系式，得,0,。这就证明分界面是等压面，所以，分界面既是水平面又是等压面。,静止的液体和气体接触的自由面，受到相同的气体压强，所以，自由面是分界面的一种特殊形式。它既是等压面，也是水平面。,需要指出：上述规律是在同种液体处于静止、连续的条件下推导出来的。因此，液体静压强分布规律只适用于静止、同种、连续液体。,静力学基本方程的适用条件：,1.,静止,2.,连通,(,连续,),3.,连通的介质为同一均质流体,4.,质量力仅有重力,5.,同一水平面,三、气体压强计算,以上规律，虽然是在液体的基础上提出采纳，但对不可压缩气体也仍然适用。,由于气体容重很小，在高差不大的情况下，气柱产生的压强值很小，可以忽的压强的影响，则流体静力学基本方程式可以简化为：,表示空间各点气体压强相等例如认为液体容器，测压管、锅炉等上部的气体空间各点的压强也是相等的。,四、等密面是水平面,在静止非均质流体中，取轴线水平的微小圆柱体如图,212,。作用在静止流体上的质量力只有重力，侧面压力垂直于轴线，所以这两种力沿轴向均无分力。沿轴向外力的平衡，表现为两端面压力相等。两端面的面积相等，则压强也必然相等。即,p,1,p,2,圆体体轴线在水平面上是任意选取的，两点压强相等，说明水平面上各点压强相等，非均质流体的水平面仍然是等压面。,静止均质流体的水平面是等压面是否也适用于静止非均质流体呢？,水平面上的容重是否变化呢,?,在静止非均质流体内部，取相距为,h,的两个水平面，在它们之间任选两个铅直微小住体，分别计算它们的压强差为：,两柱体的压强差相等，因而,a,必等于,b,，否则，流体就不会静止，要流动。当两等压面无限接近，即,h0,时，,a,和,b,就,变成同一等压面上两点的容重，此两点容重相等，说明水平面不仅是等压面，而且是等容重面。,容重与密度成正比，所以，等容重面也是等密度面。,第三节 压强的计算基准和度量单位,一、压强的两种计算基准（绝对压强和相对压强）,c.,真空：,是指绝对压强小于一个大气压的受压状态，是负的相对压强。,a.,绝对压强：,是以绝对真空状态下的压强（绝对零压强）为基准计量的压强，用 表示。,b.,相对压强：,又称“表压强”，是以当地工程大气压,(at),为基准计量的压强。用表示 ，,可“”可“,”,，也可为“,0”,。,正 压：,相对压强为正值（压力表读数）。,负 压：,相对压强为负值。,真空度：,负压的绝对值,(,真空表读数，用,Pv,表示,),。,敞开容器中静止流体的,A,点相对压强的计算,相对压强的实际意义,1,假定容器的活塞打开，容器内外气体压强一致，,p,o,p,a,，相对压强为零。,2,假定容器的压强,p,o,p,a,，这个超过大气压强的部分，对器壁产生的力学效应，使器壁向外扩张。如果打开活塞，气流向外流出，流出速度与相对压强的大小有关。,3,假定容器压强严,p,o,p,a,。大气压强的部分对器壁产生力学效应，使容器向内压缩。打开活塞，空气一定会吸入，吸入的速度也和负的相对压强大小有关。,二、压强的三种度量单位,a.,应力单位,这是从压强定义出发，以单位面积上的作用力来表示的，,N/m,2,，,Pa,，,kN,/m,2,，,kPa,。,b.,大气压,标准大气压：,1,标准大气压,(,atm,)=1.013X105Pa=101.3,kPa,工程大气压：,at,（,1kgf/,）,c.,液柱高度,水柱高,mH,2,0,：,1atm,相当于,1at,相当于,汞柱高,mmHg,：,1,atm,相当于,1at,相当于,常用换算关系：,1atm=,1.03323at,=101325Pa=,1.01325bar,=760mmHg=,10332.3mmH,2,O,1at=98070Pa=,10000mmH,2,O,=735.6mmHg,第四节 液柱测压计,一、测压管,测压管：,是以液柱高度为表征测量点压强的连通管。一端与被测点容器壁的孔口相连，另一端直接 和大气相通的直管。,适用范围：测压管适用于测量较小的压强，,但不适合测真空。,注意：,1.,由于各种液体重度不同，所以仅标明高度尺寸不能代表压力的大小，还必须同时,注明是何种液体的液柱高度,才行。,2.,测压管只,适用于测量较小的压力，一般不超过,10kPa,。,如果被测压力较高，则需要加长测压管的长度，使用就很不方便。,3.,测压管中的工作介质就是被测容器,(,或管道,),中的流体，所以,测压管只能用于测量液体的正压，,而对于测量液体的负压以及气体的压力则不适用。,4.,在测量过程中，,测压管一定要垂直放置，,否则将会产生测量误差。,二、,U,形测压计,这种测压计是一个装在刻度板上的两端开口的,U,型玻璃管。测量时，管的一端与大气相通，另一端与被测容器相接,(,如图,),，然后根据,U,型管中液柱的高度差来计算被测容器中流体的压力。,U,型管内装有重度,2,大于被测流体重度,1,的液体工作介质，,如水、酒精、四氯化碳和水银等。它是根据被测流体的性质、被测压力的大小和测量精度等来选择的。,注意,，工作介质与被测流体相互不能掺混。,A,B,C,h,1,2,如果被测流体的压力较高，用一个,U,型管则较长，可以采用串联,U,型管组成多,U,型管测压计。通常采用双,U,型管或三,U,型管测压计。,图,b,测压管水面低于,A,点，以,1-1,为等压面，则,故,A,点的负压或真空度为：,如果需要测定气体压强，可以采用,u,形管盛水，如图,c,所示。因为空气容重远小于水，一般容器中的气体高度又不太大，因此、可以忽略气柱高度所产生的压强。认为静止气体充满的生间各点脓强相等。现仍以,1-1,面为等压面，则,图,a,测压管水面高于,A,点，,AA,为正值。即,U,型管差压计用来测量两个容器或同一容器,(,或管道等,),流体中不同位置两点的压力差。测量时，把,U,型管两端分别和不同的压力测点,A,和,B,相接，如图所示。,三、差压计,如果测量较小的液体压力差时，也可以采用倒置式,U,型管差压计。如果被测量的流体的压力差较大，则,可采用,双,U,型管或多,U,型管差压计。,图,a,为测定,A,、,B,两处液体压强差的空气压差计由于气柱高度不大，可以认为两液面为等压面，故得,需要测定的压差较大时，采用图,b,所示的水银压差计。根据,1,、,2,点为等压面得,如,A,、,B,为同种液体，即,A,B,如,A,、,B,为同种液体，在同一高度，,ZI,Z2,，则,如果，,A,、,B,两处为同一气体，则,当测量很微小的流体压力时，为了提高测量精度，常常采用微压计。微压计的结构如图所示，一般用于测定气体压强。它是由一个大容器连接一个可以调整倾斜角度的细玻璃管组成，其中盛有重度为,的工作液体。,四、微压计,测压前，微压计两端与大气相通，容器与斜管内的液面平齐。,当测量容器或管道中的某处压力时，将微压计上端的测压口与被测气体容器或管道的测点相接，若被测气体的压力,p,pa,，则在该压力作用下，微压计容器中液面下降至新位置,而倾斜玻璃管中的液面上升了,长度，其上升高度,h=,sin,。,当测量时，,为定值，只需测得倾斜长度,Z,，就可得出压差。由于,/sin,，当,sin,0.5,时，,2h,；当,sin,0.2,时，,5h,。说明倾斜角度越小，,比,h,放大的倍数就越大，侧的精度就更高。,愈小，读数,就越大。因此，常用容重比水更小的液体，例如酒精以提高精度。,用于,测定较大的压强,。,优点：,携带方便、装置简单、安装容易、测读方便、经久耐用，是测量压强的主要仪器。,构造：,常用的一种弹簧测压计见图。,原理：,其内装有一端开口，一端封闭端面为椭圆形的镰刀形黄铜管，开口端与被测定压强的液体连通，测压时，由于压强的作用，黄铜管随着压强的增加而发生伸展，从而带动扇形齿轮使指针偏转，把液体的相对压强值在表盘上显示出来。,五、金属压力表,第五节 作用在平面上的流体静压力,在工程实际中，有时需要解决液体对固体壁面的总作用力问题。在已知流体的静压力分布规律后，,求总压力的问题，实质上就是求受压面上分布力的合力问题。,本节讨论作用在平面上的总压力及其压力中心。,作用在平面上总压力的计算方法有两种：,解析法和图解法。,一、解析法,1.,平面总压力大小,h,h,C,h,D,y,y,C,y,D,.,.,.,o,x,y,b,a,dA,C,D,设有一与水平面成,夹角的倾斜平面,ab,，其面积为,A,，左侧受水压力，水面大气压强为,p,0,，在平板表面所在的平面上建立坐标，原点,o,取在平板表面与液面的交线上，,ox,轴与交线重合，,oy,轴沿平板向下。,设在受压平面上任取一微元面积,dA,，其中心点在液面下的深度为,h,，作用在,dA,中心点上的压强为,p=p,0,+h,，则作用在微元面积,dA,上的总压力为,h,h,C,h,D,y,y,C,y,D,.,.,.,o,x,y,b,a,dA,C,D,dF,=,pdA,=(p,0,+h)dA=p,0,dA+ysindA,考虑相对压强,dF,=,pdA,=,hdA,=,ysindA,整个平面由无数,dA,组成，则整个平板所受水静压力由,dF,求和得到。,h,h,C,h,D,y,y,C,y,D,.,.,.,o,x,y,b,a,dA,C,D,根据平行力系求和原理，作用在平面上的水静压力,式中,为面积,A,对,ox,轴的,静面矩,，,由理论力学知，它等于面积,A,与其形心坐标,yc,的乘积，即,F=,sin,ycA,=,h,c,A,=,p,c,A,上式表明：,静止液体作用在任意形状平面上的总压力的,大小,，等于该平面形心处的静压力与平面面积的乘积。液体总压力的,方向,垂直指向受压面的内法线方向。,h,h,C,h,D,y,y,C,y,D,.,.,.,o,x,y,b,a,dA,C,D,2.,确定总压力的作用点,压力中心,总压力的作用点又称为,压力中心,。压力中心,D,的位置，可根据理论力学中的,合力矩定理,求得，即,各分力对某一轴的静力矩之和等于其合力对同一轴的静力矩。,h,h,C,h,D,y,y,C,y,D,.,.,.,o,x,y,b,a,dA,C,D,微小面积,dA,所受水静压力,dF,=,hdA,=,ysin,dA,对,0 x,轴力矩,合力矩,总压力,F,对,ox,轴的静力矩为,:,h,h,C,h,D,y,y,C,y,D,.,.,.,o,x,y,b,a,dA,C,D,整个平面所受合压力,F,，假设作用点距,ox,轴为,y,D,，则：,根据合力矩定理,所以,式中 为受压面对,ox,轴的惯性矩,根据平行移轴定理：,h,h,C,h,D,y,y,C,y,D,.,.,.,o,x,y,b,a,dA,C,D,其中 为受压面对通过平面形心并与平行于,ox,轴的轴的惯性矩。,由于 恒为正值，故有,y,D,y,c,。说明,压力中心,D,点总是低于形心,C,。,结论：,（,1,）水静压力大小为形心处压强乘以平面面积。,（,2,）水静压力方向垂直于受压平面，并指向平面内法线方向。,（,3,）作用点,y,D,在形心下方，用,y,D,=,y,C,+J,C,/,y,c,A,来算。,常见图形的几何特征量,例,1,：,一铅直船闸门门宽,B=5m,，闸门一侧水深为,H=7.5m,，另一侧水深,h=3m,，求作用在此闸门上的水平合压力及作用线位置。,B,5m,H=7.5m,h=3m,x,y,y,D1,y,D2,y,F,P,1,P,2,解：,左边：迎水面积,形心：,作用力：,作用点：,右边：面积,形心,B,5m,H=7.5m,h=3m,x,y,y,D1,y,D2,y,F,P,1,P,2,作用力：,作用点：,合力,作用线：假设合力的作用线距底边为,y,，则：,代入数据，,B,5m,H=7.5m,h=3m,x,y,y,D1,y,D2,y,F,P,1,P,2,例,2,：,矩形闸门,AB,可绕其顶端,A,轴旋转，由固定闸门上的一个重物来保持闸门的关闭。已知闸门宽,1.2m,，长,0.9m,，整个闸门和重物,1000kg,，重心在,G,处，与,A,水平距离为,0.3m,，求水深多大时，闸门刚好打开（,=60,，设水深为,H,）。,x,.,.,.,b=1.2m,h=0.9m,0.3m,G,A,C,D,o,y,h,C,h,D,H,P,E,B,解：,要使闸门打开，闸门迎水面所受水的总压力对转轴,A,的力矩至少应等于闸门与重物重量对,A,的力矩,。,x,.,.,.,b=1.2m,h=0.9m,0.3m,G,A,C,D,o,y,h,C,h,D,H,P,E,B,M,水,M,物（,等号为刚好打开,）,面积,A=,bh,形心,力,压力作用点：,又,x,.,.,.,b=1.2m,h=0.9m,0.3m,G,A,C,D,o,y,h,C,h,D,H,P,E,B,代入以上数据，得,H0.88m,故当,H=0.88m,，闸门刚好打开。,二、图解法,1.,绘制水静压强分布图,使用图解法，首先需要绘制静压力分布图，然后再根据它来计算总压力。,静压力分布图,是依据水静力学基本方程,p=p0+h,，直接在受压面上绘制表示各点静压力大小和方向的图形。,几种常见受压面的静压力分布图。,静水压强分布图绘制规则：,1,）按照一定的比例尺，用一定长度的线段代表静水压强的大 小；,2,）用箭头标出静水压强的方向，并与该处作用面垂直。受压面为平面的情况下，压强分布图的外包线为直线；当受压面为曲线时，曲面的长度与水深不成直线函数关系，故压强分布图外包线亦为曲线。,计算总压力的大小,现在对高为,H,、宽为,b,、底边平行于水平面的垂直矩形平面,AB(,如图,),，计算其总压力，为,上式中,(2p0+H)H/2,恰为静压力分布图,ABCD,的面积，我们用,表示，则上式可写成,P=,b,由此可见，,液体作用在底边平行于水平面的矩形平面上的总压力，等于静压力分布图的面积与矩形平面宽度的乘积。,或者说，其总压力等于静压力分布图的体积。,由于静压力分布图所表示的正是力的分布情况，而总压力则是平面上各微元面积上所受液体压力的合力。所以,总压力的作用线，必然通过静压力分布图的形心，其方向垂直指向受压面的内法线方向。,判断：下列压强分布图中哪个是错误的？,第六节 作用在曲面上静止流体的总压力,Hoover Dam,胡佛水坝,Channel,图中圆柱长为,，母线与纸面垂直。受压,曲,面,AB,，左侧受水静压力作用，在表面上任意取一微元面积,dA,取一点,E,，,E,点距水面距离为,h,，以,E,点为中，则作用在,dA,上的水静压力为：,假设,dP,与水平面夹角为,，则,dP,在,水平,方向和,铅直,方向的分量：,水平方向,铅直方向,A,B,C,D,h,dP,dA,x,z,E,dP,Z,dP,X,dA,dA,Z,dA,X,dP,从右图可得：,微元面在铅直面上的投影,微元面在水平面上的投影,则,1,、水平方向：,A,B,C,D,h,dP,dA,x,z,E,dP,Z,dP,X,dA,dA,Z,dA,X,dP,为面,AB,在铅直面上的投影面积,Az,对水面水平轴的静矩。,假设,hc,为,Az,的形心在水面下淹没深度则,作用在曲面上流体压力的水平分量是,Px,等于作用于该曲面铅直投影面上的水静压力。,2,、铅直方向：,A,B,C,D,h,dP,dA,x,z,E,dP,Z,dP,X,hdA,x,是以,dA,x,为底面积，水深,h,为高的柱体体积；,D,C,A,B,dA,x,则为整个受压曲面,AB,与其在自由面的投影面,CD,这两个面之间的柱体,ABCD,的体积；,铅直分量,Pz,为其压力体的液体重量。,3,、压力体,压力体体积的组成：,受压曲面本身；,通过曲面周围边缘所作的铅垂面；,自由液面或自由液面的延长线。,压力体的种类：,实压力体,和,虚压力体,。,实压力体,F,z,方向向下，虚压力体,F,z,方向向上。,4,、压力体的绘制,动画一,动画二,动画六,动画五,动画四,动画三,4,、静水总压力,1,）,作用在曲面上的静水总压力大小：,2,）作用线与水平方向的夹角：,P,x,P,P,z,P,P,X,P,Z,3.,总压力的合成,总压力的大小利用水平分力及铅垂分力通过求合力的方法求得。,结论：曲面上的静水总压力的计算,1.,计算水平分力,正确绘制曲面的铅垂投影图，求出该投影图的面积及形心深度，然后求出水平分力；,2.,计算铅垂分力,正确绘制曲面的压力体。压力体体积由以下几种面围成：受压曲面本身、通过曲面周围边缘作的铅垂面、液面或液面的延长线。铅垂分力的大小即为压力体的重量；,例,1,：如图所示一挡水弧形闸门，已知,R=2m,=30,度,h=5m,试求单位宽度所受的水静总压力的大小。,R,B,A,E,D,C,h,h,c,F,解：水平方向的压力等于面,EB,上的水压力：,R,B,A,E,D,C,h,h,c,F,铅直方向的压力等于压力体,CABEDC,的水重。分成两部分：,1.,2.,R,B,A,E,D,C,h,h,c,F,则：,代入数据得：,第七节 流体平衡微分方程式,一,.,流体平衡微分方程式,二,.,有势质量力及力的势函数,三,.,等压面,一、流体平衡微分方程,欧拉平衡方程,在流体内部取以任意点,A,为中心的微小正六面体，六面体的各边分别与直角坐标轴平行，边长分别为,dx,、,dy,、,dz,。中心点的压强为,p(x,y,z,)=p,，对其进行受力分析：,1.,方程推导,静止流体只受到质量力和由压力产生的法向表面力，这些力应该满足的关系,流体平衡的微分方程式。,作用在六面体上的表面力只有周围流体对它的压力。因此先确定六面体各面上的压强。设点,A,的坐标为,x,、,y,、,z,，压强为,p,。由于压强是坐标的连续函数，则离该点 处的压强为 ，并且可将 在 处用泰勒级数展开，即,如果,d,y,为无限小量，则在上述级数中二阶及二阶以上的高阶小量均可略去，即等号右边只取前两项已经可以满足精度要求，则上式可以简写为：,则沿,y,轴方向的六面体边界面,abcd,和 中心点处的压强分别为 和 。作用在这两个面上的法向力为 和 。,当微小六面体处于平衡状态时，方向的合力为，即：,同理可以写出、方向的力平衡方程式，即：,用 除以上,x,、,y,、,z,轴方向的力平衡方程式，并化简得,以上三个式子用矢量形式表示为,这就是,流体平衡微分方程式。,它是欧拉在,1755,年首先提出的，所以又称为,欧拉平衡微分方程式。,2.,物理意义：,1,）处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与 质量力分量彼此相等。,2,）压强沿轴向的变化率（）等于轴向单位体积上的质量力的分量（,X,，,Y,，,Z,）。,欧拉平衡微分方程是流体静力学最基本的方程，它 可解决流体静力学中许多基本问题。,1.,欧拉平衡微分方程,适用于静止流体、相对静止的流体,在推导欧拉平衡微分方程的过程中，对质量力的性质及方向并未作具体规定。,2.,欧拉平衡微分方程,适用于可压缩流体、不可压缩流体。,在推导中对整个空间的流体密度是否变化或如何变化也未加限制。,3.,欧拉平衡微分方程,适用于理想流体、粘性流体。,流体是处在平衡或相对平衡状态，各流层间没有相对运动。,说明,流体平衡微分方程的另一种形式,因为,p=,p(x,y,z,),压强全微分,流体平衡微分式方程两边乘以,d,x,d,y,d,z,后相加得：,如果流体是不可压缩的，即,P,为常数。上式右边的括号内的数值必然是某一函数,W(x,、,y,、,z),的全微分，即,二、有势质量力及力的势函数,满足上式的函数,W(z,、,y,点,),称为势函数。具有这样势函数的质量力称为有势的力。,凡满足不可压缩流体平衡微分方程的质量力必然是有势力。,或者说：,不可压缩流体只有在有势质量力的作用下才能够处于平衡状态。,当质量力只有重力时,即为流体静力学基本方程式,三、等压面,1.,等压面的定义,：,是指流体中压强相等（,p,=,常数）的各点所组成的面。,等压面满足的方程,2.,等压面具有的重要特性：,1,）不可压缩流体中，等压面与等势面重合。,所谓等势面就是力的势函数,W(x,，,y,，,z)=C,的面。,对于不可压缩流体，等压面也就是等势面。,2,）在平衡流体中，作用于任一点的质量力必定垂直于通过该点的等压面。,答案：,c,A.,f,水,f,水银；,C.,f,水,=,f,水银；,D,、不一定。,例,1,：,比较重力场（质量力只有重力）中，水和水银所受的单位质量力,f,水和,f,水银的大小？,自由落体：,X,Y=0,Z=0,。加速运动：,X=-,a,Y,=0,Z=-g,。,例题,2,：,试问自由落体和加速度,a,向,x,方向运动状态下的液体所受的单位质量力大小（,fX,.,fY,.,fZ,）分别为多少？,39.2kpa 3m,例,.,如图所示的密闭容器中，液面压强,p,0,9.8kPa,，,A,点压强为,49kPa,，则,B,点压强为,多少,在液面下的深度为,多少,。,例,1,如图所示，下述两个静力学方程哪个正确？,B,A,答案,B,例,2,：,仅在重力作用下,静止液体中任意一点对同一基准面的单位势能为,_,？,A.,随深度增加而增加；,B.,随深度增加而减少；,C.,常数；,D.,不确定。,答案：,C,例,3,：,试问图示中,A,、,B,、,C,、,D,点的测压管高度，测压管水头。（,D,点闸门关闭，以,D,点所在的水平面为基准面）,D:,6m,，,6m,C:,3m,，,6m,B:,2m,，,6m,A:,0m,，,6m,例,1.,相对压强是指该点的绝对气压与,_,的差值。,A,标准大气压；,B,当地大气压；,C,真空压强；,D,工程大气压。,答案：,B,例,2.,某点的真空度为,65000Pa,当地大气压为,0.1MPa,该点的绝对压强为（）。,A:65000Pa B:35000Pa,C:165000Pa D:100000Pa,答案：,B,3.,露天水池,水深,5m,处的相对压强（）。,A:5kPa B:49kPa,C:147kPa D:205kPa,例,3,答案：,B,例,4,：,一密闭容器内下部为水，上部为空气，液面下,4.2m,处测压管高度为,2.2m,，设当地大气压为,1,个工程大气压，则容器内绝对压强为几米水柱,?,A.2m,；,B.8m,；,C.1m,；,D.-2m,。,答案：,B,例,5.,某点的绝对压强等于,0.4,个工程大气压，其相对压强为,_,。,A.0.6,工程大气压；,B.-0.4,工程大气压；,C.-58.8kPa D.-39.2kPa,答案：,C,下一页,例,6.,仅在重力作用下，静止液体的测压管水头线必定,_.,A,水平,B,线形降低,C,线形升高,D,呈曲线,答案：,A,例,7.,某点压强为,1.0kgf/cm2,用国际单位表示该处的压强为,_,kPa,。,A.100;B.98;C.1000;D.980,答案：,B,例,8.,仅在重力作用下，静止液体的,_,线必为水平线。,A.,位置水头；,B.,测压管高度；,C.,压强水头,;D.,测压管水头,.,答案：,D,例,9.,某液体的容重为,，在液体内部,B,点较,A,点低,1m,其,B,点的压强比,A,点的压强大,_Pa.,A.,;B.9800;C.10000;D.,不能确定,答案：,A,例,10.,仅在重力作用下，静止液体中任意点对同一基准面的,_,为一常数。,A.,单位位能；,B.,单位势能；,C.,单位压能；,D.,单位动能,答案：,B,