高中数学课件 两条直线的交点坐标、两点间的距离.ppt

3.3,直线的交点坐标与距离公式,3.3.1,两条直线的交点坐标,3.3.2,两点间的距离,1.,能用解方程组的方法求两直线的交点坐标,.,2.,探求并掌握两点间的距离公式,.,1.,几何元素及代数表示,几何元素及关系,代数表示,点,P,坐标,P(x,y),直线,l,方程,Ax+By+C=0,点,P(x,0,y,0,),在直线,l,上,坐标,(x,0,y,0,),满足方程,即,_,点,P(x,0,y,0,),是,l,1,l,2,的交点,坐标,(x,0,y,0,),满足方程组,即,_,Ax,0,+By,0,+C=0,2.,两条直线的交点问题,方程组,的解,一组,无数组,_,两条直线,l,1,l,2,的公共点,一个,无数个,零个,直线,l,1,l,2,的位置关系,_,_,_,无解,相交,重合,平行,3.,两点间的距离公式,(1),条件：两点,P,1,(x,1,y,1,),P,2,(x,2,y,2,).,(2),结论：,|P,1,P,2,|=_.,(3),特别地,原点,O(0,0),与任一点,P(x,y),的距离,|OP|=_.,1.“,判一判”理清知识的疑惑点,(,正确的打“”，错误的打,“,”).,(1),两条直线,A,1,x+B,1,y+C,1,=0,与,A,2,x+B,2,y+C,2,=0,的交点坐标就是方程,组 的实数解,.(),(2),若方程组 无解，则两直线没有交点，两,直线平行,.(),(3),直线,x=2,与,y=3,没有交点,.(),(4),平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式,.(),提示：,(1),正确,.,根据直线交点坐标的含义,.,故此说法是正确的,.,(2),正确,.,方程组无解，两直线没有交点，两直线平行,.,故这种说法是正确的,.,(3),错误,.,直线,x=2,与,y=3,交点为,(2,3).,故这种说法是错误的,.,(4),正确,.,两点间的距离公式适用于平面内的任意两点求距离,.,答案：,(1)(2)(3),(4),2.“,练一练”尝试知识的应用点,(,请把正确的答案写在横线,上,).,(1),直线,x-y=0,与直线,x+y+2=0,的交点坐标是,.,(2),直线,y=x+2,与直线,y=-x+2a,的交点在,x,轴上,则,a=,.,(3)A(a,2a),B(1,2),两点的距离为,则,a=,.,【,解析,】,(1),解方程组,所以交点坐标为,(-1,，,-1).,答案：,(-1,-1),(2),解方程组,由题意得,a+1=0,所以,a=-1.,答案：,-1,(3),由 得,a=0,或,a=2.,答案：,0,或,2,一、两条直线的交点坐标,探究：根据方程组 的解与两条直线交点的,关系，思考下列问题,.,(1),思考如何解这个方程组？,提示：,采用消元的方法来解方程组,B,2,-,B,1,得,(A,1,B,2,-A,2,B,1,)x=B,1,C,2,-B,2,C,1,，,当,A,1,B,2,-A,2,B,1,0,时，方程组有唯一解,当,A,1,B,2,-A,2,B,1,=0,且,B,1,C,2,-B,2,C,1,0,方程组无解,;,当,A,1,B,2,-A,2,B,1,=0,且,B,1,C,2,-B,2,C,1,=0,方程组有无数多解,.,(2),为什么说求两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公共解？,提示：,两条直线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个方程组成的方程组的唯一解；反之，如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点，必是直线,l,1,和,l,2,的交点,.,因此求这两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公共解,.,【,探究提升,】,1.,对求两条直线交点坐标的两点说明,(1),求解直线的交点坐标时,要注意无解和有无数多解的特殊情况,它们分别对应直线两种特殊的位置关系,.,(2),若探讨直线的位置关系,最后要把解的情况还原为几何问题即直线的位置关系,.,2.,方程组的解与两条直线的位置关系的联系,（,1,）若已知两条直线的方程,可通过解方程组利用方程组解的个数研究两条直线的位置关系,.,（,2,）若方程组有唯一解,两直线相交,;,方程组有无穷多解,两直线重合,;,方程组无解,两直线平行,.,二、两点间的距离公式,探究,1,：在直角坐标系中,已知两点,P,1,(x,1,y,1,),P,2,(x,2,y,2,),结合图形探究下列问题：,(1),过,P,1,P,2,分别向,x,轴和,y,轴作垂线,垂足分别为,M,1,(x,1,0),M,2,(x,2,0),N,1,(0,y,1,),N,2,(0,y,2,),直线,P,1,N,1,与,P,2,M,2,相交于点,Q,|P,1,Q|,|QP,2,|,分别是多少,?,提示：,因为,|P,1,Q|=|M,1,M,2,|,|QP,2,|=|N,1,N,2,|,所以,|P,1,Q|=|x,2,-x,1,|,|QP,2,|=|y,2,-y,1,|.,(2),如何推导出公式,|P,1,P,2,|=,的？,提示：,在构造的直角,P,1,QP,2,中，利用勾股定理，得到,|P,1,P,2,|,2,=|P,1,Q|,2,+|QP,2,|,2,由此得到两点间的距离公式,|P,1,P,2,|=.,探究,2,：观察两点间的距离公式,|P,1,P,2,|=,(,其中,P,1,(x,1,y,1,),P,2,(x,2,y,2,),并思考下列问题：,(1),公式中,x,1,与,x,2,y,1,与,y,2,的顺序是否可以互换,?,提示：,因为公式中含有的是,(x,2,-x,1,),2,与,(y,2,-y,1,),2,的和,故可以交,换顺序,.,(2),式子 的几何意义是什么,?,提示：,式子,=,表示平面上的点,(x,y),到原点的距离,.,(3),当,P,1,P,2,垂直于坐标轴时,公式的形式是怎样的,?,提示：,当,P,1,P,2,垂直于,y,轴时,|P,1,P,2,|=|x,1,-x,2,|;,当,P,1,P,2,垂直于,x,轴,时,|P,1,P,2,|=|y,1,-y,2,|.,【,拓展延伸,】,利用两点间距离公式的几何意义研究函数的值,域,对平面上两点间距离公式的直接运用,要注意公式的形式,关,于两条线段的和最小或差的绝对值最大问题,如果直接代入两,点间距离公式,由于有两个根式,所以求解非常烦琐,故经常采,用对称方法转化后,再由两点间距离求解,.,例如：求函数 的值域,.,【,解析,】,原式可变形为,它表示动点,P(x,0),到 的距离之差，,如图所示：,即,y=PA-PB,，由于,|PA-PB|AB=1,所以,|y|1,，即,-1y1,，所以函数的值域为,(-1,1).,【,探究提升,】,对两点间距离公式的两点说明,(1),求两点间的距离时,可直接把坐标代入相应公式,需注意公式中被开方数是横坐标差的平方与纵坐标差的平方和,切不可把横纵坐标混用,.,(2),两点间的距离公式除求距离外,还可以求参数的值,求解时直接利用题设建立参数的方程,然后求解得参数值便可,.,类型 一,求两条直线的交点坐标,通过解答下列与求两条直线交点问题有关的题目,试总结求两条直线的交点坐标问题的策略及注意事项,.,1.(2013,烟台高一检测,),在平面直角坐标系,xOy,中,若三条直线,2x+y-5=0,x-y-1=0,和,ax+y-3=0,相交于一点,则实数,a,的值为,.,2.,已知直线,l,1,：,nx-y=n-1,l,2,：,ny-x=2n.,判断两条直线的位置关系,;,如果相交,求出交点坐标,.,【,解题指南,】,1.,可先求直线,2x+y-5=0,与,x-y-1=0,的交点坐标,然后将该交点坐标代入直线方程,ax+y-3=0,即可求出,a,的值,.,2.,对方程组进行消元,根据情况分类讨论,.,【,解析,】,1.,解方程组,将,x=2,y=1,代入,ax+y-3=0,，得,2a+1-3=0,解得,a=1.,答案：,1,2.,解方程组 消去,y,得,(n,2,-1)x=n,2,+n.,当,n=1,时,方程组无解,所以两直线无公共点,l,1,l,2,.,当,n=-1,时,方程组有无数解,所以两直线有无数个公共点,l,1,与,l,2,重合,.,当,n1,且,n-1,时,方程组有唯一解,得到,l,1,与,l,2,相交,.,所以当,n=1,时,l,1,l,2,;,当,n=-1,时,l,1,与,l,2,重合,;,当,n1,且,n-1,时,l,1,与,l,2,相交,交点是,【,技法点拨,】,求两直线的交点坐标问题的策略及注意事项,(1),策略：解方程的重要思想就是消元,先消去一个变量,代入任意一个方程能解出另一个变量的值,.,最后把方程解的情况还原为直线的位置关系,.,(2),注意事项：解题过程中注意对其中参数进行分类讨论,.,【,变式训练,】,已知直线,l,1,：,Ax+3y+C=0,l,2,：,2x-3y+4=0,若,l,1,l,2,的交点在,y,轴上,则,C,的值为,(,),A.4 B.-4,C.4,或,-4 D.,与,A,的取值有关,【,解析,】,选,B.,由,因为直线,l,1,，,l,2,的交点在,y,轴上，所以 即,C=-4.,类型 二,过定点的直线系方程,尝试完成下列题目,试归纳含有一个参数的直线方程过定,点问题的解法技巧,.,1.(2013,重庆高一检测,),对任意实数,m,直线,(m-1)x+2my+6=0,必经过的定点是,(,),A.(1,0)B.(0,-3)C.(6,-3)D.,2.,设直线,l,1,：,x-3y+4=0,和,l,2,：,2x+y+5=0,的交点为,P,则过点,P,和原点的直线方程为,(,),A.19x-9y=0 B.9x+19y=0,C.19x-3y=0 D.3x+19y=0,3.,若,p,q,满足,p-2q=1,直线,px+3y+q=0,必过一个定点,该定点坐标为,.,【,解题指南,】,1.,整理为,A,1,x+B,1,y+C,1,+(A,2,x+B,2,y+C,2,)=0,的形式,解方程组得定点坐标,.,2.,利用交点坐标或者用过定点的直线系方程求解即可,.,3.,化成关于一个参数的方程,再求定点,.,【,解析,】,1.,选,C.,直线方程,(m-1)x+2my+6=0,可化为：,-x+6+m(2y+x)=0.,因此，该直线恒过直线,-x+6=0,与,x+2y=0,的交,点,.,由 故选,C.,2.,选,D.,方法一：求交点 又,O(0,0),写出方程为,3x+19y=0.,方法二：过两直线,l,1,：,x-3y+4=0,及,l,2,：,2x+y+5=0,的交点的直线,系方程可以写为,x-3y+4+(2x+y+5)=0(,不包括直线,l,2,),，把,O(0,0),代入过,P,点的直线系方程,x-3y+4+(2x+y+5)=0,得,故所求直线方程为：,x-3y+4-(2x+y+5)=0,即,3x+19y=0.,3.,因为,p=2q+1,代入整理：,(2x+1)q+3y+x=0,对,q,为一切实数恒成,立,即,2x+1=0,且,3y+x=0,，所以,x=,答案：,【,互动探究,】,本题,2,条件不变，求过点,P,和点,(1,1),的直线方,程，结果如何？,【,解析,】,设过,P,点的直线方程为,x-3y+4+(2x+y+5)=0,，把,点,(1,1),代入，解得 ，故所求方程为：,即,2x-13y+11=0.,【,技法点拨,】,含有一个参数的直线方程过定点问题的三种解,法,(1),若含有一个参数的二元一次方程能整理为,A,1,x+B,1,y+C,1,+,(A,2,x+B,2,y+C,2,)=0,其中,是参数,则说明了它表示的直线必过,定点,其定点可由方程组 解得,.,(2),若整理成,y-y,0,=k(x-x,0,),的形式,则表示的所有直线必过定,点,(x,0,y,0,).,(3),因方程对参数的任意取值,所得直线都过定点,所以可取参,数的两个特殊值,解方程组可得定点坐标,.,【,拓展延伸,】,常见的直线系,(1),与直线,L,：,Ax+By+C=0,平行的直线系方程为：,Ax+By+m=0(,其中,mC,m,为待定系数,).,(2),与直线,L,：,Ax+By+C=0,垂直的直线系方程为：,Bx-Ay+m=0(m,为待定系数,).,(3),过定点,P(x,0,y,0,),的直线系方程为：,A(x-x,0,)+B(y-y,0,)=0.,(4),若直线,l,1,：,A,1,x+B,1,y+C,1,=0,与直线,l,2,：,A,2,x+B,2,y+C,2,=0,相交于,M(x,0,y,0,),则方程,A,1,x+B,1,y+C,1,+(A,2,x+B,2,y+C,2,)=0(R),表示过,l,1,与,l,2,交点的直线系方程,(,但不包括直线,l,2,),其中,为待定系数,.,类型 三,两点间的距离公式,试着解答下列与两点间距离有关的题目,并总结两点间距离的求法,.,1.,已知,A(2,1),B(-1,b),|AB|=5,则,b,的值为,(,),A.-3 B.3 C.-3,或,5 D.-1,或,-3,2.,若等腰三角形,ABC,的顶点,A,是,(3,0),底边,BC,的长为,4,BC,边的中点为,D(5,4),求等腰,ABC,的腰长,.,【,解题指南,】,1.,直接利用两点间距离公式即可求出,b,的值,.,2.,先用两点间距离公式求等腰三角形的高,AD,，然后借助勾股定理求腰长,.,【,解析,】,1.,选,C.,因为,|AB|=,所以,9+(b-1),2,=25,所以,b=5,或,b=-3.,2.,因为,|AD|,在,RtABD,中，由勾股定理得,|AB|=,所以等腰,ABC,的腰长为,.,【,技法点拨,】,1.,两点间距离的求法,(1),当直线和坐标轴垂直时,可以用两点间距离公式的特殊形式,如,A(x,y,1,),B(x,y,2,),则,|AB|=|y,1,-y,2,|.,(2),两点间距离公式对任意两点都成立,解题过程中注意恰当设点,确定两点坐标即可代入公式求距离,.,2.,利用两点间距离求参数的方法,已知距离求参数是最常见的距离公式的应用,一般是通过距离公式列出方程,解方程求参数,.,【,变式训练,】,已知,A(2,2),B(5,-2),，点,P,在,x,轴上且,|PA|=|PB|,，,试求,|AB|+|PA|,的值,.,【,解析,】,设,P(x,0),，依题意有,故,x=,所以,P(,，,0).,所以,|AB|+|PA|=,【,拓展类型,】,两点间距离公式在几何证明中的应用,尝试解答下列与两点间距离公式证明几何问题有关的题目,总结用解析法证明几何问题的三个步骤,.,1.ABD,和,BCE,是在直线,AC,同侧的两个等边三角形,用解析法证明：,AE=CD.,2.,证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和,.,【,解题指南,】,建立适当的平面直角坐标系,写出各个点的坐标,再利用两点间的距离公式求解即可,.,【,解析,】,1.,如图所示，以,B,为坐标原点，取,AC,所在的直线为,x,轴,以垂直于,AC,且经过,B,点的直线为,y,轴，建立平面直角坐标系,.,设,ABD,和,BCE,的边长分别为,a,和,c,，,则,则,所以,AE=CD.,2.,已知：四边形,ABCD,为平行四边形,.,求证：,AB,2,+BC,2,+CD,2,+AD,2,=AC,2,+BD,2,.,证明：如图,以顶点,A,为坐标原点,AB,边所在的直线为,x,轴,垂直于,AB,且过,A,点的直线为,y,轴,建立平面直角坐标系,有,A(0,0).,令,B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质得点,C,的坐标为,(a+b,c).,因为,AB,2,=a,2,CD,2,=a,2,AD,2,=b,2,+c,2,BC,2,=b,2,+c,2,AC,2,=(a+b),2,+c,2,BD,2,=(b-a),2,+c,2,所以,AB,2,+CD,2,+AD,2,+BC,2,=2(a,2,+b,2,+c,2,),AC,2,+BD,2,=2(a,2,+b,2,+c,2,).,所以,AB,2,+CD,2,+AD,2,+BC,2,=AC,2,+BD,2,.,因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和,.,【,技法点拨,】,用解析法解决几何问题的三个步骤,1.,已知,A(2,，,-1),B(3,-1),，则,|AB|=(),A.1 B.2 C.3 D.,【,解析,】,选,A.|AB|=|3-2|=1.,2.,直线,3x+5y-1=0,与,4x+3y-5=0,的交点坐标是,(),A.(-2,，,1)B.(-3,，,2)C.(2,，,-1)D.(3,-2),【,解析,】,选,C.,解方程组,故两直线的交点为,(2,-1).,3.,直线,2x+(3y+2)=0,过定点,_.,【,解析,】,由,所以该直线过定点,(0,，,-).,答案：,(0,，,-),4.,已知点,A(3,6),在,x,轴上的点,P,与点,A,的距离等于,10,，则点,P,的,坐标为,_.,【,解析,】,设,P(x,0),因为,|PA|=,所以,(x-3),2,+36=100,，,所以,x=11,或,-5.,所以,P(11,0),或,P(-5,，,0).,答案：,(11,，,0),或,(-5,，,0),5.,已知定点,A(0,，,1),，点,B,在直线,x+y=0,上运动，当线段,AB,最短,时，点,B,的坐标是,_.,【,解析,】,定点,A(0,，,1),，点,B,在直线,x+y=0,上运动，当线段,AB,最,短时，就是直线,AB,和直线,x+y=0,垂直时，此时,AB,的方程为：,y-1=x,，它与,x+y=0,联立解得 所以点,B,的坐标是,答案：,6.,设三条直线,x-2y=1,2x+ky=3,3kx+4y=5,交于一点，求,k,的值,.,【,解析,】,由 即前两条直线的交点为,且在第三条直线上，所以,解得,k=1,或,