数字信号处理高西全课后答案.ppt

单击此处编辑母版标题样式,时域离散信号和时域离散系统,第,1,章,单击此处编辑母版标题样式,时域离散信号和系统的频域分析,第,章,单击此处编辑母版标题样式,离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT),第,章,单击此处编辑母版标题样式,时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现,第,4,章,单击此处编辑母版标题样式,无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计,第,章,单击此处编辑母版标题样式,有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计,第章,1.4习题与上机题解答,1.用单位脉冲序列(,n,)及其加权和表示题1图所示的序列。,题1图,解：,x,(,n,)=(,n,+4)+2(,n,+2)(,n,+1)+2(,n,)+(n1)+2(,n,2)+4(,n,3)+0.5(,n,4)+2(,n,6)2 给定信号：2,n,+54,n,160,n,40 其它(1)画出,x,(,n,)序列的波形，标上各序列值；(2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示,x,(,n,)序列；,(,x,(,n,)=,（3）令,x,1,(,n,)=2,x,(,n,2)，试画出,x,1,(,n,)波形；,（4）令,x,2,(,n,)=2,x,(,n,+2)，试画出,x,2,(,n,)波形；,（5）令,x,3,(,n,)=,x,(2,n,)，试画出,x,3,(,n,)波形。,解,：(1),x,(,n,)序列的波形如题2解图（一）所示。,(2),x,(,n,)=3(,n,+4)(,n,+3)+(,n,+2)+3(,n,+1)+6(,n,),+6(,n,1)+6(,n,2)+6(,n,3)+6(,n,4),（3）,x,1,(,n,)的波形是,x,(,n,)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。,(4),x,2,(,n,)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。,(5)画,x,3,(,n,)时，先画,x,(,n,)的波形(即将,x,(,n,)的波形以纵轴为中心翻转180)，然后再右移2位，,x,3,(,n,)波形如题2解图（四）所示。,题2解图（一）,题2解图（二）,题2解图（三）,题2解图（四）,3 判断下面的序列是否是周期的;若是周期的，确定其周期。,(1),(2),解,：（1）因为,=,所以,这是有理数，因此是周期序列，周期,T,=14。,（2）因为,=,所以=16,这是无理数，因此是非周期序列。,4 对题1图给出的,x,(,n,)要求：,(1)画出,x,(,n,)的波形；(2)计算,x,e,(,n,)=,x,(,n,)+,x,(,n,)，并画出,x,e,(,n,)波形；(3)计算,x,o,(,n,)=,x,(,n,),x,(,n,)，并画出,x,o,(,n,)波形;(4)令,x,1,(,n,)=,x,e,(,n,)+,x,o,(,n,),将,x,1,(,n,)与,x,(,n,)进行比较，你能得到什么结论？,解,：（1）,x,(,n,)的波形如题4解图（一）所示。,(2)将,x,(,n,)与,x,(,n,)的波形对应相加，再除以2，得到,x,e,(,n,)。毫无疑问，这是一个偶对称序列。,x,e,(,n,)的波形如题4解图（二）所示。,(3)画出,x,o,(,n,)的波形如题4解图（三）所示。,题4解图（一）,题4解图（二）,题4解图（三）,(4)很容易证明：,x,(,n,)=,x,1,(,n,)=,x,e,(,n,)+,x,o,(,n,),上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的公式计算，奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。,5 设系统分别用下面的差分方程描述，,x,(,n,)与,y,(,n,)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。,（1）,y,(,n,)=,x,(,n,)+2,x,(,n,1)+3,x,(,n,2),（2）,y,(,n,)=2,x,(,n,)+3,（3）,y,(,n,)=x(,n,n,0,),n,0,为整常数,（4）,y,(,n,)=,x,(,n,),（5）,y,(,n,)=,x,2,(,n,),（6）,y,(,n,)=,x,(,n,2,),（7）,y,(,n,)=,（8）,y,(,n,)=,x,(,n,)sin(,n,),解,：（1）令输入为,x,(,n,n,0,),输出为,y(n)=,x,(,n,n,0,)+2,x,(,n,n,0,1)+3,x,(,n,n,0,2),y,(,n,n,0,)=,x,(,n,n,0,)+2,x,(,n,n,0,1)+3(,n,n,0,2),=,y,(,n,),故该系统是非时变系统。因为,y,(,n,)=,T,ax,1,(,n,)+,bx,2,(,n,),=,ax,1,(,n,)+,bx,2,(,n,)+2,ax,1,(,n,1)+,bx,2,(,n,1),+3,ax,1,(,n,2)+,bx,2,(,n,2),T,ax,1,(,n,)=,ax,1,(,n,)+2,ax,1,(,n,1)+3,ax,1,(,n,2),T,bx,2,(,n,)=,bx,2,(,n,)+2,bx,2,(,n,1)+3,bx,2,(,n,2),所以,T,ax,1,(,n,)+,bx,2,(,n,)=,aT,x,1,(,n,)+,bT,x,2,(,n,),故该系统是线性系统。,（2）令输入为,x,(,n,n,0,),输出为,y,(,n,)=2,x,(,n,n,0,)+3,y,(,n,n,0,)=2,x,(,n,n,0,)+3=,y,(,n,),故该系统是非时变的。由于,T,ax,1,(,n,)+,bx,2,(,n,)=2,ax,1,(,n,)+2,bx,2,(,n,)+3,T,ax,1,(,n,)=2,ax,1,(,n,)+3,T,bx,2,(,n,)=2,bx,2,(,n,)+3,T,ax,1,(,n,)+,bx,2,(,n,),aT,x,1,(,n,)+,bT,x,2,(,n,),故该系统是非线性系统。,(3)这是一个延时器，延时器是线性非时变系统，下面证明。令输入为,x,(,n,n,1,),输出为,y,(,n,)=,x,(,n,n,1,n,0,),y,(,n,n,1,)=,x,(,nn,1,n,0,)=,y,(,n,),故延时器是非时变系统。由于,T,ax,1,(,n,)+,bx,2,(,n,)=,ax,1,(,n,n,0,)+,bx,2,(,n,n,0,),=,aT,x,1,(,n,)+,bT,x,2,(,n,),故延时器是线性系统。,(4),y,(,n,)=,x,(,n,),令输入为,x,(,n,n,0,),输出为,y,(,n,)=,x,(,n,+,n,0,),y,(,n,n,0,)=,x,(,n,+,n,0,)=,y,(,n,),因此系统是线性系统。由于,T,ax,1,(,n,)+,bx,2,(,n,)=,ax,1,(,n,)+,bx,2,(,n,),=,aT,x,1,(,n,)+,bT,x,2,(,n,),因此系统是非时变系统。,（5）,y,(,n,)=,x,2,(,n,),令输入为,x,(,n,n,0,),输出为,y,(n)=x,2,(,n,n,0,),y(,nn,0,)=x,2,(,nn,0,)=,y,(,n,),故系统是非时变系统。由于,T,ax,1,(,n,)+,bx,2,(,n,)=,ax,1,(,n,)+,bx,2,(,n,),2,aT,x,1,(,n,)+,bT,x,2,(,n,),=,ax,2,1,(,n,)+,bx,2,2,(,n,),因此系统是非线性系统。,（6）,y,(,n,)=,x,(,n,2,),令输入为,x,(,n,n,0,),输出为,y,(,n,)=,x,(,n,n,0,),2,),y,(,n,n,0,)=,x,(,n,n,0,),2,)=,y,(,n,),故系统是非时变系统。由于,T,ax,1,(,n,)+,bx,2,(,n,)=,ax,1,(,n,2,)+,bx,2,(,n,2,),=,aT,x,1,(,n,)+,bT,x,2,(,n,),故系统是线性系统。,（7）y(n)=,x,(,m,),令输入为,x,(,n,n,0,),输出为,y,(,n,)=0DD)x(,m,-,n,0),y,(,n,n,0,)=,x,(,m,),y,(,n,),故系统是时变系统。由于,T,ax,1,(,n,)+,bx,2,(,n,)=,ax,1,(,m,)+,bx,2,(,m,),=,aT,x,1,(,n,)+,bT,x,2,(,n,),故系统是线性系统。,（8）,y,(,n,)=,x,(,n,)sin(,n,),令输入为,x,(,n,n,0,),输出为,y,(,n,)=,x,(,n,n,0,)sin(,n,),y,(,n,n,0,)=,x,(,n,n,0,)sin,(,n,n,0,),y,(,n,),故系统不是非时变系统。由于,T,ax,1,(,n,)+,bx,2,(,n,)=,ax,1,(,n,)sin(,n,)+,bx,2,(,n,)sin(,n,),=,aT,x,1,(,n,)+,bT,x,2,(,n,),故系统是线性系统。,6 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。,（1）,y,(,n,)=,x,(,n,k,),（2）,y,(,n,)=,x,(,n,)+,x,(,n,+1),（3）,y,(,n,)=,x,(,k,),（4）,y,(,n,)=,x,(,n,n,0,),（5）,y,(,n,)=e,x,(,n,),解,：（1）只要,N,1，该系统就是因果系统，因为输出只与,n,时刻的和,n,时刻以前的输入有关。如果|,x,(,n,)|,M,，则|,y,(,n,)|,M,，因此系统是稳定系统。（2）该系统是非因果系统，因为,n,时间的输出还和n时间以后（,n,+1）时间）的输入有关。如果|,x,(,n,)|,M,则|,y,(,n,)|,x,(,n,)|+|,x,(,n,+1)|2,M,因此系统是稳定系统。（3）如果|x(,n,)|,M,，则|,y,(,n,)|,x,(,k,)|2,n,0,+1|,M,，因此系统是稳定的；假设,n,0,0，系统是非因果的，因为输出还和,x,(,n,)的将来值有关。,（4）假设,n,0,0，系统是因果系统，因为,n,时刻输出只和,n,时刻以后的输入有关。如果|,x,(,n,)|,M,则|,y,(,n,)|,M,，因此系统是稳定的。,（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果|,x,(,n,)|,M,则|,y,(,n,)|=|e,x,(,n,),|e,|,x,(,n,)|,e,M,，因此系统是稳定的。,7 设线性时不变系统的单位脉冲响应,h,(,n,)和输入序列,x,(,n,)如题7图所示，要求画出,y,(,n,)输出的波形。,解,：解法（一）采用列表法。,y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,)=,x,(,m,),h,(,n,m,),题7图,y,(,n,)=2,1,0.5,2,1,4.5,2,1;n=2,1,0,1,2,3,4,5,解法（二）采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为,x,(,n,)=(,n,+2)+(,n,1)+2(,n,3),h,(,n,)=2(,n,)+(,n,1)+(,n,2),由于,x,(,n,)*(,n,)=,x,(,n,),x,(,n,)*,A,(,nk,)=,Ax,(,n,k,),故,y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,),=,x,(,n,)*2(,n,)+(,n,1)+(,n,2),=2,x,(,n,)+,x,(,n,1)+,x,(,n,2),将,x,(,n,)的表示式代入上式，得到,y,(,n,)=2(,n,+2)(,n,+1)0.5(,n,)+2(,n,1)+(,n,2),+4.5(,n,3)+2(,n,4)+(,n,5),8.设线性时不变系统的单位脉冲响应,h,(,n,)和输入,x,(,n,)分别有以下三种情况，分别求出输出,y,(,n,)。,（1）,h,(,n,)=,R,4,(,n,),x,(,n,)=,R,5,(,n,),（2）,h,(,n,)=2,R,4,(,n,),x,(,n,)=(,n,)(,n,2),（3）,h,(,n,)=0.5,n,u,(,n,),x,n,=,R,5,(,n,),解,：（1）,y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,)=,R,4,(,m,),R,5,(,n,m,),先确定求和域。由,R,4,(,m,)和,R,5,(,n,m,)确定,y,（,n,）对于,m,的非零区间如下:,0,m,3,4,m,n,根据非零区间，将,n,分成四种情况求解：,n,7时，,y,(,n,)=0,最后结果为 0,n,7,n,+1 0,n,3 8,n,4,n,7,y,(,n,)的波形如题8解图（一）所示。(2),y,(,n,)=2,R,4,(,n,)*(,n,)(,n,2)=2,R,4,(,n,)2,R,4,(,n,2)=2(,n,)+(,n,1)(,n,+4)(,n,+5),y,(,n,)的波形如题8解图（二）所示,y,(,n,)=,题8解图（一）,题8解图（二）,(3),y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,),=,R,5,(,m,)0.5,n,m,u,(,n,m,),=0.5,n,R,5,(,m,)0.5,m,u,(,n,m,),y,（,n,）对于,m,的非零区间为,0,m,4,m,n,n,0时，,y,(,n,)=0,0,n,4时，,=(10.5,n1,)0.5,n,=20.5,n,n,5时,最后写成统一表达式：,y,(,n,)=(20.5,n,),R,5,(,n,)+310.5,n,u,(,n,5),9 证明线性卷积服从交换律、结合律和分配律，即证明下面等式成立：,（1）,x,(,n,)*,h,(,n,)=,h,(,n,)*,x,(,n,),（2）,x,(,n,)*(,h,1,(,n,)*,h,2,(,n,)=(,x,(,n,)*,h,1,(,n,)*,h,2,(,n,),（3）,x,(,n,)*(,h,1,(,n,)+,h,2,(,n,)=,x,(,n,)*,h,1,(,n,)+,x,(,n,)*,h,2,(,n,),证明：（1）因为,令,m,=,n,m,则,(2)利用上面已证明的结果，得到,交换求和号的次序，得到,10 设系统的单位脉冲响应,h,(,n,)=(3/8)0.5,n,u,(,n,)，系统的输入,x,(,n,)是一些观测数据，设,x,(,n,)=,x,0,x,1,x,2,x,k,，试利用递推法求系统的输出,y,(,n,)。递推时设系统初始状态为零状态。,解,：,n,=0时，,n,0,n,=1时，,n,=2时，,最后得到,11 设系统由下面差分方程描述：,设系统是因果的，利用递推法求系统的单位脉冲响应。,解,：令,x,(,n,)=(,n,),则,n,=0时，,n,=1时，,n,=2时，,n,=3时，,归纳起来，结果为,12.设系统用一阶差分方程,y,(,n,)=,ay,(,n,1)+,x,(,n,)描述，初始条件y(-1)=0，试分析该系统是否是线性非时变系统。,解,：分析的方法是让系统输入分别为(,n,)、(,n,1)、(,n,)+(,n,1)时，求它的输出，再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。,（1）令,x,(,n,)=(,n,),这时系统的输出用,y,1,(,n,)表示。,该情况在教材例1.4.1 中已求出，系统的输出为,y,1,(,n,)=,a,n,u,(,n,),(2)令,x,(,n,)=(,n,1)，这时系统的输出用,y,2,(,n,)表示。,n,=0时，,n,=1时，,n,=2时，,任意,n,时，,最后得到,(3)令,x,(,n,)=,(,n,)+,(,n,1),系统的输出用,y,3,(,n,)表示。,n,=0时，,n,=1时，,n,=2时，,n,=3时，,任意,n,时，,最后得到,由（1）和（2）得到,y,1,(,n,)=,T,(,n,),y,2,(,n,)=,T,(,n,1),y,1,(,n,)=,y,2,(,n,1),因此可断言这是一个时不变系统。情况（3）的输入信号是情况（1）和情况（2）输入信号的相加信号，因此,y,3,(,n,)=,T,(,n,)+,(,n,1)。观察,y,1,(,n,)、,y,2,(,n,)、,y3,(,n,)，得到,y,3,(,n,)=,y,1,(,n,)+,y,2,(,n,)，因此该系统是线性系统。最后得到结论：用差分方程,y,(,n,)=,ay,(,n,1)+,x,(,n,),0,a,1描写的系统，当初始条件为零时，是一个线性时不变系统。,13 有一连续信号,x,a,(,t,)=cos(2,ft,+,j,)，式中，,f,=20 Hz,j,=/2。,（1）求出,x,a,(,t,)的周期；,（2）用采样间隔,T,=0.02 s对,x,a,(,t,)进行采样，试写出采样信号 的表达式；,（3）画出对应 的时域离散信号（序列）,x,(,n,)的波形，并求出,x,(,n,)的周期。,解,：（1）,x,a,(,t,)的周期为,（2）,（3）x(n)的数字频率,=0.8，故，因而周期,N,=5，所以,x,(,n,)=cos(0.8,n,+/2),画出其波形如题13解图所示。,题13解图,14.已知滑动平均滤波器的差分方程为,（1）求出该滤波器的单位脉冲响应；,（2）如果输入信号波形如前面例1.3.4的图1.3.1所示，试求出,y,(,n,)并画出它的波形。,解：（1）将题中差分方程中的,x,(,n,)用(,n,)代替，得到该滤波器的单位脉冲响应，即,（2）已知输入信号，用卷积法求输出。输出信号,y,(,n,)为,表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。计算时，表中,x,(,k,)不动，,h,(,k,)反转后变成,h,(,k,)，,h,(,n,k,)则随着,n,的加大向右滑动，每滑动一次，将,h,(,n,k,)和,x,(,k,)对应相乘，再相加和平均，得到相应的,y,(,n,)。“滑动平均”清楚地表明了这种计算过程。最后得到的输出波形如前面图1.3.2所示。该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化，使波形变化缓慢。,15*.已知系统的差分方程和输入信号分别为,用递推法计算系统的零状态响应。,解：求解程序ex115.m如下：,%程序ex115.m,%调用filter解差分方程y(n)+0.5y(n1)=x(n)+2x(n2),xn=1，2，3，4，2，1，zeros(1，10)；,%x(n)=单位脉冲序列，长度N=31,B=1，0，2；A=1，0.5；%差分方程系数,yn=filter(B，A，xn)%调用filter解差分方程，求系统输,出信号y(n),n=0：length(yn)1；,subplot(3，2，1)；stem(n，yn，.)；,axis(1，15，2，8),title(系统的零状态响应)；xlabel(n)；,ylabel(y(n),程序运行结果：,yn=1.0000 1.5000 4.2500 5.8750 5.0625 6.4688 0.7656 1.6172 -0.8086 0.4043-0.2021 0.1011 -0.0505 0.0253 -0.0126 0.0063 -0.0032 0.0016 -0.0008 0.0004 -0.0002 0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000程序运行结果的y(n)波形图如题15*解图所示。,题15*解图,16*.已知两个系统的差分方程分别为 （1）,y,(,n,)=0.6,y,(,n,1)0.08,y,(,n,2)+,x,(,n,)（2）,y,(,n,)=0.7,y,(,n,1)0.1,y,(,n,2)+2,x,(,n,),x,(,n,2)分别求出所描述的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。,解,：（1）系统差分方程的系数向量为B1=1，A1=1，0.6，0.08（2）系统差分方程的系数向量为B2=2，0，1,A2=1，0.7，0.1,2.5,习题与上机题解答,1,设,X,(e,j,),和,Y,(e,j,),分别是,x,(,n,),和,y,(,n,),的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：,(1),x,(,n,n,0,)(2),x,*(,n,),(3),x,(,n,)(4),x,(,n,)*,y,(,n,),(5),x,(,n,),y,(,n,)(6),nx(n,),(7),x,(2,n,)(8),x,2,(,n,),(9),解,：（,1,）,令,n,=,n,n,0,即,n,=,n,+,n,0,，则,（,2,）,（,3,）,令,n,=,n,，则,（,4,）,FT,x,(,n,)*,y,(,n,),=,X,(e,j,),Y,(e,j,),下面证明上式成立：,令,k,=,n,m,则,（,5,）,或者,（,6,）因为,对该式两边,求导，得到,因此,（,7,）,令,n,=2,n,，则,或者,（,8,）,利用（,5,）题结果，令,x,(,n,)=,y,(,n,),则,（,9,）,令,n,=,n,/2,，则,2,已知,求,X,(e,j,),的傅里叶反变换,x,(,n,),。,解,：,3.,线性时不变系统的频率响应（频率响应函数）,H,(e,j,)=|,H,(e,j,)|e,j,(,),，如果单位脉冲响应,h,(,n,),为实序列，试证明输入,x,(,n,)=A cos(,0,n,+,j,),的稳态响应为,解,：假设输入信号,x,(,n,)=e,j,0,n,，系统单位脉冲响应为,h,(,n,),，则系统输出为,上式说明当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位取决于网络传输函数。利用该性质解此题：,上式中,|,H,(e,j,)|,是,的偶函数，相位函数是,的奇函数，,|,H,(e,j,)|=|,H,(e,-j,)|,，,(,)=,(,),故,4,设,将,x,(,n,),以,4,为周期进行周期延拓，形成周期序列，画出,x,(,n,),和的波形，求出的离散傅里叶级数,和傅里叶变换。,解：画出,x,(,n,),和的波形如题,4,解图所示。,题4解图,或者,5.,设题,5,图所示的序列,x,(,n,),的,FT,用,X,(e,j,),表示，不直接求出,X,(e,j,),，完成下列运算或工作：,题,5,图,(1),(2),(3),(4),确定并画出傅里叶变换实部,Re,X,(e,j,),的时间序列,x,a,(,n,),；,(5),(6),解,(1),(2),(3),（,4,）因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，即,按照上式画出,x,e,(,n,),的波形如题,5,解图所示。,题,5,解图,(5),(6),因为,因此,6,试求如下序列的傅里叶变换：,(1),x,1,(,n,)=(,n,3),(2),(3),x,3,(,n,)=,a,n,u,(,n,),0,a,1,(4),x,4,(,n,)=,u,(,n,+3),u,(,n,4),解,(1),(2),(3),(4),或者,:,7,设：,（,1,）,x,(,n,),是实偶函数，,（,2,）,x,(,n,),是实奇函数，,分别分析推导以上两种假设下，其,x,(,n,),的傅里叶变换性质。,解,：令,(1),因为,x,(,n,),是实偶函数，对上式两边取共轭，得到,因此,X(,e,j,)=,X,*,（,e,j,）,上式说明,x,(,n,),是实序列，,X,(e,j,),具有共轭对称性质。,由于,x,(,n,),是偶函数，,x,(,n,)sin,是奇函数，那么,因此,该式说明,X,(e,j,),是实函数，且是,的偶函数。,总结以上,x,(,n,),是实偶函数时，对应的傅里叶变换,X,(e,j,),是实函数，是,的偶函数。,（,2,）,x,(,n,),是实奇函数。,上面已推出，由于,x,(,n,),是实序列，,X,(e,j,),具有共轭对称性质，即,X,(e,j,)=,X,*(e,j,),由于,x,(,n,),是奇函数，上式中,x,(,n,)cos,是奇函数，那么,因此,这说明,X,(e,j,),是纯虚数，且是,的奇函数。,8,设,x,(,n,)=,R,4,(,n,),，试求,x,(,n,),的共轭对称序列,x,e,(,n,),和共轭反对称序列,x,o,(,n,),，并分别用图表示。,解,：,x,e,(,n,),和,x,o,(,n,),的波形如题,8,解图所示。,题,8,解图,9,已知,x,(,n,)=,a,n,u,(,n,),0,a,1,，分别求出其偶函数,x,e,(,n,),和奇函数,x,o,(,n,),的傅里叶变换。,解,：,因为,x,e,(,n,),的傅里叶变换对应,X,(e,j,),的实部，,x,o,(,n,),的傅里叶变换对应,X,(e,j,),的虚部乘以,j,，因此,10,若序列,h(n),是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：,H,R,(e,j,)=1+cos,求序列,h,(,n,),及其傅里叶变换,H,(e,j,),。,解,：,11,若序列,h,(,n,),是实因果序列，,h,(0)=1,，其傅里叶变换的虚部为,H,I,(e,j,)=,sin,求序列,h,(,n,),及其傅里叶变换,H,(e,j,),。,解,：,12,设系统的单位脉冲响应,h,(,n,)=,a,n,u,(,n,),0,a,1,，输入序列为,x,(,n,)=(,n,)+2(,n,2),完成下面各题：,(1),求出系统输出序列,y,(,n,),；,(2),分别求出,x,(,n,),、,h,(,n,),和,y,(,n,),的傅里叶变换。,解,(1),(2),13 已知,x,a,(,t,)=2 cos(2,f,0,t,)，式中,f,0,=100 Hz，以采样频率,f,s,=400 Hz对,x,a,(,t,)进行采样，得到采样信号和时域离散信号,x,(,n,)，试完成下面各题：（1）写出的傅里叶变换表示式,X,a,(j)；（2）写出和,x,(,n,)的表达式；（3）分别求出的傅里叶变换和,x,(,n,)序列的傅里叶变换。,解,：,上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数,函数，它的傅里叶变换可以表示成：,（,2,）,（,3,）,式中,式中,0,=,0,T,=0.5 rad,上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数,函数才能写出它的傅里叶变换表示式。,14,求出以下序列的,Z,变换及收敛域,:,(1)2,n,u,(,n,)(2),2,n,u,(,n,1),(3)2,n,u,(,n,)(4)(,n,),(5)(,n,1)(6)2,n,u,(,n,),u,(,n,10),解,(1),(2),(3),(4)ZT,(,n,),=10|,z,|,(5)ZT,(,n,1),=z,10|,z,|,(6),15,求以下序列的,Z,变换及其收敛域，并在,z,平面上画出极零点分布图。,(1),x,(,n,)=,R,N,(,n,),N,=4,(2),x,(,n,)=,Ar,n,cos(,0,n,+,j,),u,(,n,),r,=0.9,0,=0.5 rad,j,=,0.25 rad,(3),式中，,N,=4,。,解,(1),由,z,4,1=0,，得零点为,由,z,3,(,z,1)=0,，得极点为,z,1,2,=0,1,零极点图和收敛域如题,15,解图,(a),所示，图中,z,=1,处的零极点相互对消。,题,15,解图,(2),零点为,极点为,极零点分布图如题,15,解图,(b),所示。,(3),令,y,(,n,)=,R,4,(,n,),则,x,(,n,+1)=,y,(,n,)*,y,(,n,),zX(z)=,Y,(,z,),2,X,(,z,)=,z,1,Y,(,z,),2,因为,因此,极点为,z,1,=0,z,2,=1,零点为,在,z,=1,处的极零点相互对消，收敛域为,0|,z,|,，极零点分布图如题,15,解图,(c),所示。,16,已知,求出对应,X,(,z,),的各种可能的序列表达式。,解,：,X,(,z,),有两个极点：,z,1,=0.5,z,2,=2,，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况：,|,z,|0.5,，,0.5|,z,|2,，,2|,z,|,。三种收敛域对应三种不同的原序列。,（,1,）收敛域,|,z,|0.5,：,令,n,0,时，因为,c,内无极点，,x,(,n,)=0;,n,1,时，,c,内有极点,0,，但,z,=0,是一个,n,阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有,z,1,=0.5,z,2,=2,，那么,(2),收敛域,0.5|,z,|2:,n,0,时，,c,内有极点,0.5,，,n,0,时，,c,内有极点,0.5,、,0,，但,0,是一个,n,阶极点，改成求,c,外极点留数，,c,外极点只有一个，即,2,，,x,(,n,)=,Res,F,(,z,),2,=,2 2,n,u,(,n,1),最后得到,（,3,）收敛域,|,z,|2:,n,0,时，,c,内有极点,0.5,、,2,，,n,0,时，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此,x,(,n,)=0,；或者这样分析，,c,内有极点,0.5,、,2,、,0,，但,0,是一个,n,阶极点，改求,c,外极点留数，,c,外无极点，所以,x,(,n,)=0,。,最后得到,17,已知,x,(,n,)=,a,n,u,(,n,),0,a,1,。分别求：,(1),x,(,n,),的,Z,变换；,(2),nx,(,n,),的,Z,变换；,(3),a,n,u,(,n,),的,Z,变换。,解,：,(1),(2),(3),18,已知,分别求：,（,1,）收敛域,0.5|,z,|2,对应的原序列,x,(,n,),。,解,：,（,1,）收敛域,0.5|,z,|2:,n,0,时，,c,内有极点,0.5,，,x,(,n,)=Res,F,(,z,),0.5,=0.5,n,=2,n,n,0,时，,c,内有极点,0.5,、,0,，但,0,是一个,n,阶极点，改求,c,外极点留数，,c,外极点只有,2,，,x,(,n,)=,Res,F,(,z,),2,=2,n,最后得到,x,(,n,)=2,n,u,(,n,)+2,n,u,(,n,1)=2,|,n,|,n,2:,n,0,时，,c,内有极点,0.5,、,2,，,n,0,时，,c,内有极点,0.5,、,2,、,0,，但极点,0,是一个,n,阶极点，改成求,c,外极点留数，可是,c,外没有极,点，因此,x,(,n,)=0,最后得到,x,(,n,)=(0.5,n,2,n,),u,(,n,),19,用部分分式法求以下,X,(,z,),的反变换：,(1),(2),解,：,(1),(2),20,设确定性序列,x,(,n,),的自相关函数用下式表示：,试用,x,(,n,),的,Z,变换,X,(,z,),和,x,(,n,),的傅里叶变换,X,(e,j,),分别表示自相关函数的,Z,变换,R,xx,(,z,),和傅里叶变换,R,xx,(e,j,),。,解：解法一,令,m,=,n,+,m,则,解法二,因为,x,(,n,),是实序列，,X,(e,j,)=,X,*(e,j,),，因此,21 用Z变换法解下列差分方程：(1),y,(,n,)0.9,y,(,n,1)=0.05,u,(,n,)，,y,(,n,)=0,n,1(2),y,(,n,)0.9,y,(,n,1)=0.05,u,(,n,)，,y,(1)=1，,y,(,n,)=0,n,1(3),y,(,n,)0.8,y,(,n,1)0.15,y,(,n,2)=(,n,),y,(1)=0.2,y,(2)=0.5,y,(,n,)=0,当,n,3时。,解,：(1),y,(,n,)0.9,y,(,n,1)=0.05,u,(,n,)，,y,(,n,)=0,n,1,n,0,时，,n,0,时，,y,(,n,)=0,最后得到,y,(,n,)=,0.5 (0.9),n,+1+0.5,u,(,n,),(2),y,(,n,),0.9,y,(,n,1)=0.05,u,(,n,),y,(,1)=1,y,(,n,)=0,n,1,n,0,时，,n,0,时，,y,(,n,)=0,最后得到,y,(,n,)=,0.45(0.9),n,+0.5,u,(,n,),(3),y,(,n,),0.8,y,(,n,1),0.15,y,(,n,2)=(,n,),y,(,1)=0.2,y,(,2)=0.5,y,(,n,)=0,当,n,2,时,Y,(,z,),0.8,z,1,Y,(,z,)+,y,(,1),z,0.15,z,2,Y,(,z,)+,y,(,1),z,+,y,(,2),z,2,=1,n,0,时，,y,(,n,)=,4.365 0.3,n,+6.375 0.5,n,n,0,时,y,(,n,)=0,最后得到,y,(,n,)=(,4.365 0.3,n,+6.375 0.5,n,),u,(,n,),22,设线性时不变系统的系统函数,H,(,z,),为,（,1,）在,z,平面上用几何法证明该系统是全通网络，即,|,H,(e,j,)|=,常数；,（,2,）参数,a,如何取值，才能使系统因果稳定？画出其极零点分布及收敛域。,解,：,(1),极点为,a,零点为,a,1,。,设,a,=0.6,，极零点分布图如题,22,解图,(a),所示。我们知道,|,H,(e,j,)|,等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度，按照题,22,解图,(a),，得到,因为角,公用，,，且,AOB,AOC,，故,，即,故,H,(,z,),是一个全通网络。,或者按照余弦定理证明,:,题,22,解图,（2）只有选择|,a,|1才能使系统因果稳定。设,a,=0.6，极零点分布图及收敛域如题22解图(b)所示。23 设系统由下面差分方程描述：,y,(,n,)=,y,(,n,1)+,y,(,n,2)+,x,(,n,1)（1）求系统的系统函数,H,(,z,)，并画出极零点分布图；（2）限定系统是因果的，写出,H,(,z,)的收敛域，并求出其单位脉冲响应,h,(,n,)；（3）限定系统是稳定性的，写出,H,(,z,)的收敛域，并求出其单位脉冲响应,h,(,n,)。解：（1）,y,(,n,)=,y,(,n,1)+,y,(,n,2)+,x,(,n,1)将上式进行Z变换，得到,Y,(,z,)=,Y,(,z,),z,1+,Y,(,z,),z,2+,X,(,z,),z,1,因此,零点为,z,=0,。令,z,2,z,1=0,，求出极点：,极零点分布图如题,23,解图所示。,题23解图,(2),由于限定系统是因果的，收敛域需选包含点在内的收敛域，即。求系统的单位脉冲响应可以用两种方法，一种是令输入等于单位脉冲序列，通过解差分方程，其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应；另一种方法是求,H,(,z,),的逆,Z,变换。我们采用第二种方法。,式中,，,令,n,0,时，,h,(,n,)=Res,F,(,z,),z,1,+Res,F(z,),z,2,因为,h,(,n,),是因果序列,n,0,时，,h,(,n,)=0,，故,(3),由于限定系统是稳定的，收敛域需选包含单位圆在内的收敛域，即,|,z,2,|,z,|,z,1,|,n,0,时，,c,内只有极点,z,2,，只需求,z,2,点的留数，,n,0,时，,c,内只有两个极点：,z,2,和,z,=0,，因为,z,=0,是一个,n,阶极点，改成求圆外极点留数，圆外极点只有一个，即,z,1,那么,最后得到,24,已知线性因果网络用下面差分方程描述：,y,(,n,)=0.9,y,(,n,1)+,x,(,n,)+0.9,x,(,n,1),（,1,）求网络的系统函数,H,(,z,),及单位脉冲响应,h,(,n,),；,（,2,）写出网络频率响应函数,H,(e,j,),的表达式，并定性画出其幅频特性曲线；,（,3,）设输入,x,(,n,)=e,j,0,n,，求输出,y,(,n,),。,解：,（,1,）,y,(,n,)=0.9,y,(,n,1)+,x,(,n,)+0.9,x,(,n,1),Y,(,z