中国数学历史发展概况.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,社会历史背景条件,相对封闭的疆域,大河背景下的农耕文化,集中的王权,中国数学的特点,形成了以计算为核心的算法理论,具有浓郁应用色彩,中国数学的成就,第一部数学著作,九章算术,（大约公元前二百年左右）,公元,3,世纪至,13,世纪，创造了许多领先于其它民族的众多数学成果,形成国家数学教育的体制,2.1,周易,与中国传统数学,周易,是我国古代专讲卜筮的书，约成书于殷商时期,在古代中国众多的儒、道典籍中，,周易,是包含数学内容最丰富的著作。,“卜”是使用一定的工具弄出来、以决定事情吉凶的兆象。中国人常用龟甲和兽骨为,占卜工具。“筮”是按一定规则得到特定的数字，并用它来预测事情的吉凶,“,筮”字由“竹”字和“巫”字构成。后来改用蓍草,“,天子之蓍九尺，诸侯七尺，大夫五尺，士三尺。”,周易,由,易经,和,易传,两部分组成,。,自汉代开始，许多算学家都热衷于将算法与,周易,相联系。刘徽在,九章算术注,的序中就写道：“昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情。作九九之术，以合六爻之变。”,易经,中利用爻卦的变化预测吉凶，分别用,“,”,与,“,”,表示阳爻和阴爻,。,构成,八卦、六十四别卦,研究认为，,周易,中爻的符号“,”,、“”是由数字或数表演进而来的。理由是：,其一，卦辞中，当对卦画进行解释时，总是用数“九”和“六”分别表示阳爻和阴爻。,其二，考古发现商代甲骨文或陶器上有不少由六组数（每组三个数字）组成的数表,，,所用的数字逐渐增加一、六的使用频率，别的数字似乎有不用的趋势。大约在周初（约公元前,1066,），就只有一和六这两个数字了。,学者认为：用数字表示占卜的结果，数“一”表示奇数，读数九的音；数“六”仍读六，表示偶数。由于古代六字的符号是“”，这样数“一”与“”就具有爻的形象了。以后“”字形逐渐变平，最后一分为二，成为阴爻“”的表示形式。,2.1.1,从数,(,表,),演进为爻,四盘磨卜骨上的字符,太极八卦图,2.1.2,周易,揲法,大衍演算,周易,中占筮确定取爻的方法称为,“,揲法,”,，所谓,“,一十八变得一卦,”,。,朱熹（,11301200,）对揲法的解说如下：,（,1,）蓍策总数是,50,根，去其一（象征太一，即太极），实际用于占算的是,49,根；,（,2,）把它们任意分成两部分（象征天地“两仪”），从第一部分里取出一根不参与计算，（叫“挂一”，配上“两仪”，象征天地人“三才”）；（,3,）对于第一部分的蓍策，每,4,根一组数出，叫“揲四”，（象征春夏秋冬四时）；,（,4,）将所余的“奇数”（为,1,，,2,，,3,，,4,四数之一）根蓍策，夹在左手指间，（叫“归奇于扐”，象征闰年）；,（,5,）将第二部分蓍策也照（,3,）、（,4,）办理。于是两部分“归奇”的蓍数非,4,即,8,，加上“挂一”的一根，共,5,或,9,根，完成了“第一变”。,将“归奇”的蓍数（,5,或,9,根）不用，用余下,44,或,40,蓍参与第二变的计算，操作方法仿上述（,2,）,（,5,），此时“归奇”的蓍数仍然是非,4,即,8,。第三变揲法仿第二变，用蓍,32,或,36,，或,40,根，三变后余下蓍策的根数或,36,，或,32,，或,28,，或,24,根，均为,4,的倍数。最后，将第三变的余蓍除以,4,则得九、八、七、六。并称九为老阳，六为老阴，七为少阳，八为少阴。揲蓍的目的，就是为了取到这四个数中的一个。让阳数对应阴卦，阴数对应阴卦，于是数字变成了爻象。,从中国古代的占筮工具和方法中，不难发现中国传统数学的历史渊源,“数学”一词相当于我国古代的“算术”,数学一词，在中国最早出现在,12,世纪宋代数学家秦九韶的著作中。他指出“物生有象，象生有数，乘除推阐，务究造化之源者，是数学”。,算筹,中国古人称数学为算学,2.1.3,组合数学的思想,洛书与河图,宋代的九宫格,明代的洛书,河图的解释，在历史上有多种说法。其中,尚书,中解释说：,“河图，八卦；伏羲王天下，龙马出河，遂则其文以画八卦，谓之河图。”,图中每个阳、阴爻分别代表数,9,与数,6,，其中数字的配置依照“九六”说，是一种均衡的数字配置。在八卦中，相对称的卦象，如乾与坤，其象数之和均为,45,。它与洛书中,1,至,9,的数字之和相同,“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”,明代邵雍的易图数学结构,儒家以“九数”为核心，具有鲜明的政治和人文色彩，并以,周易,象数学宇宙论为哲学依托；墨家则以几何学为核心，具有一定的抽象性和思辨性，以,墨经,的逻辑学为其论说的工具。,孔子（前,551,前,479,）的“六艺”中的,“周官九数”（方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要）是,九章算术,的雏形,墨子（前,468,前,376,）的抽象概念和逻辑知识：,三个逻辑方法,:“,以名举实，以辞抒意，以说出故。以类取，以类予”，具有比较明确的逻辑思维形式，非常类似演绎数学中的定义、定理和证明。对几何中的几何形状、几何性质、空间关系提出了明确的定义。论述了推理（说）的各种形式。,惠施（约前,370,前,318,）对无穷性质的认识：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；“镟矢之疾有不行不止之时”。,2.2,先秦显学中的数学思想,公元,1,世纪至,8,世纪初，改变了先前只追求算法、不研究算理的学风，开始给出概念的定义，进行推理论证，取得了许多世界领先的成果，同时涌现出一批杰出数学家,2.3.1,刘徽与,九章算术注,西汉年间，中国有了专门的数学著作：,许商算术,、,杜忠算术,、,算数书,和,九章算术,，其中前两部著作早已失传。,算数书,，,1984,年从湖北张家山古,墓中发掘出土的。,据考证，算数书,是公元前,206,年前,179,年的一部数学著作，它以实际应用问题的形式编纂,。,2.3,中国传统数学理论的研究,九章算术,是中国古代的一本传世数学名著，,一直作为中国传统数学的代表作，,现在传世的是三国时代刘徽于,263,年完成的注释本。,刘徽布衣出身，生平不详。从他的,九章算术注,自序中可以知道：他早年系统地学习过,九章算术,，并以“注”的形式将其研究成果记载下来，完成了,九章算术注,。,九章算术,成书的确切起始年代无法确定，只知在汉代就曾经过,北汉平侯,张苍（约前,200,年）和大司农中丞耿寿昌（约前,50,年）的整理。,第一章方田（分数四则运算和平面图形求面积）,第二章粟米（粮食交易的计算方法）,第三章衰分（比例分配）,第四章少广（开平方与开立方）,第五章商功（体积计算）,第六章均输（运输中的均匀负担）,第七章盈不足（盈亏类问题计算）,第八章方程（一次方程组解法与正负数）,第九章勾股（勾股定理的应用）,全书的编排方法是：先举出问题，再给出答案，通过对一类问题解法的考察，最后给出“术”。全书共有,202,个“术”。术，是一类问题的一般算法描述，它是研究中国传统数学成果的主要依据,九章算术,是以应用问题集的形式表述，一共收入,246,个问题。,九章算术,把,246,个问题分为九章：,明代刊印的,九章算术注,九章算术,标志着中国传统数学的知识体系已初步形成。代表了中国传统数学体系和思想方法的特点：,注重实际问题的数值计算方法，缺少抽象的理论和逻辑系统性，使用算筹，形成世界上独有的计算工具和程序化计算方法,九章算术,的内容是由周代的“九数”发展而来的。,刘徽称：“周公制礼而有九数，九数之流则,九章,是矣”。,九章算术注,对数学方法的贡献,开始了其独特的推理论证的尝试。“析理以辞，解体用图。”创立了“出入相补”的方法，提出了“割圆术”，上首次将极限概念用于近似计算；引入十进制小数的记法和负整数的知识；他试图建立球体积公式，虽然没有成功，但为后人提供了科学的方法；他对勾股测量问题的深入研究，在几何研究中，从少数几个原理出发，运用逻辑手段推导出结果的方法。提出“审辨名分”，不但对自己提出的每一个新概念都给出界定,九章算术注,丰富了,九章算术,的数学成果，主要表现在算术、代数和几何诸方面。诸如，,割圆术与徽率,“,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。,”,设圆面积为,S,0,、,半径为,r,、,圆内接正,n,边形边长为,l,n,、,周长为,L,n,、,面积为,S,n,。,将边数加倍后,得到圆内接正,2,n,边形，其边长、周长、面积分别记为,l,2n,L,2n,S,2n,。,刘徽首先指出，由,l,n,及,勾股定理可求出,l,2n,其次知道了圆内接正,n,边形的周长,L,n,，,又可求得正,2,n,边形的面积，如果在圆内接,n,边形的每边上作一高为,CD,的矩形，就可以证明刘徽不等式：,S,2,n,S,0,S,2,n,+(,S,2,n,S,n,).,割圆术的基本原理,从圆内接正六边形出发，取半径,r,为,1,尺，一直计算到,192,边形，得出圆周率的近似值,3.14,，,化成分数为,157/50,，这就是有名的“徽率”,2.3.2,祖率与祖暅原理,祖冲之（,429500,）与祖率,据,随书,律历志,记载，祖冲之求得的,值的取值范围为,3.141592 3.1415927.,（并称为朒、盈数）,如果利用刘徽的割圆术得到上述结果，需要从正六边形起，连续的倍增正多边形的边数，至,24576,边形,用水平截面去截球和“牟合方盖”，可知截面的面积之比恒为,：,4,，,于是由刘徽原理立即得到,V,球,:,V,牟,=,：,4,即,V,球,=,（,/4,）,V,牟,。,祖暅原理,（,幂势既同，则积不容异）,与球体积公式,刘徽原理与“牟合方盖”,“小方盖差”与球体积公式,左图，,小牟合方盖中，,PQ,是小牟合方盖被水平截平面得到正方形的一边，设为,a,，,UQ,是球半径,r,，,UP,是高,h,。,根据勾股定理得,a,2,=r,2,h,2,;,这正是截平面,PQRS,的面积,中图，小方盖差在等高处的截面面积等于,r,2,a,2,=,h,2,，,右图，底边为,r,，高也是,r,的倒正四棱锥，在等高处的截面面积也是,h,2,根据祖暅原理可知：,小方盖差和倒立正四棱锥的体积相等。,内插法,：已知,f,(,x,),在,x,i,a,b,（,i,=1,2,n,）,的值为 ，那么通过 及适当公式，计算,y,=,f,(,x,),在,a,b,内其他一些点的函数值。如果,x,i,+1,x,i,为定数，这时的内插法称为等间距内插法；反之，称为不等间距内插法。,历法编制中的内插法,最早求影长的一次内插公式（约公元前,2,世纪）：,f,(,n,)=,f,(,a,)+,n,，,其中，,f,(,n,),是夏至之后的第,个节气的影长，,f,(,a,)=160,分，,f,(,b,)=1350,分分别是夏至、冬至的中午八尺杆子的影长，,2.3.3,内插法与天文历法,乾象历,（,206,年），已发现了月亮不均匀运动及其规律。,公元,570,年，北齐朝的天文学家张子信发现：自春分到秋分所需的时间要比秋分到春分的时间长，进而证明了太阳“视运动”的速度是不均匀的,隋朝刘焯（,544610,）的,皇极历,提出了等间距二次内插法公式：,f,(,nl,+,s,)=,f,(,nl,)+(,1,2,),(,1,2,),张遂,(683727),的,大衍历,创造了不等间距二次内插法公式：,f,(,t,+,s,),=,f,(,t,)+,s,+,s,其中，,l,1,、,l,2,分别为不同节气的时间长度，张遂假定它们不相等,“算经十书”记载的中国传统数学成就,周髀算经,（约公元前,240,年至公元前,156,年）与商高（陈子）定理,“周髀”是测量日影的工具,八尺长竿,全书由三部分组成：,第一部分共,264,个字，记述了周公与大夫商高的问答记录。提到：“勾广三，股修四，径隅五”。说明，周代初期人们已经知道勾股定理的特例：勾三、股四、弦五。,第二部分是荣方与陈子的对话。对话中包含了勾股定理的一般陈述形式：“,以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”,第三部分是讲计算问题的，有“术”,13,条，书写形式和内容与,九章算术,基本一致。,2.3.4,明算学与“算经十书”,隋唐时期的数学教育制度,明算学,“孙子问题”：“今物不知其数，三三除之余二，五五除之余三，七七除之余二，问物几何？”,孙子问题相当于求解一次同余式组,N,2,（,mod3,）,3,（,mod5,）,2,（,mod7,）,这个问题源于历法编算中的求上元积年问题,其解法写作“孙子歌”：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。,.,计算过程为：,N=70,2+213+152,2105.,显然，这里的,70,、,21,、,15,是求解的关键。其求法：,70=2571(mod 3)0(mod 5)0(mod 7),21=370(mod 3)1(mod 5)0(mod 7),15=350(mod 3)0(mod 5)1(mod 7).,由题设，用,3,、,5,、,7,分别除以,N,所得的余数为,2,、,3,、,2,，故用,2,、,3,、,2,分别去乘,70,、,21,和,15,，再相加即得,2332,（,mod 3,）,3,（,mod 5,）,2,（,mod 7,）,求出这个同余组的最小整数解,N,=23,，,孙子算经,（约公元,4,世纪）与“孙子问题”,张邱建算经,（约公元五世纪）与“百鸡问题”,“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何。”,缉古算经,（公元,600,多年）与“带从开方法”,对当时的土木工程中出现的数学问题的研究和总结，在一些体积计算中隐含了求解三次方程的,“带从开方法”,。虽然由于解法过程空缺，因而没能清楚地呈现这一方法的具体操作过程和原理。该书在理论上的贡献是陈述了筹算的运算方法，这在中国数学史上尚属首次。,给出三组答案：,（,4,，,18,，,78,），（,8,，,11,，,81,），（,12,，,4,，,84,）,张邱建算经,的应用领域较,九章算术,有了新的发展，其主要数学成果包括求最小公倍数，等差数列及不定方程等内容,2.4.1,杨辉三角与增乘开方法,杨辉,（约,13,世纪后期）,在,详解九章算法,中记载了北宋人贾宪的一张,“开方作法本源图”,（,1050,）现今称为杨辉三角的“贾宪三角”。在西方它被又称为帕斯卡三角（,1655,年）,2.4,中国传统数学发展的顶峰（,900,年到,1368,年）,创造出许多具有世界 历史意义的成就,数学家辈出 数学著作涌现,若,A,开平方的首商、次商分别为,a,b,则有,A,=,a,2,+,B,=,a,2,+2,ab,+,b,2,则,B,=,A,a,2,=2,ab,+,b,2,=(2,a,+,b,),b,继而用,2,a,+,b,试除,B,且若,B,(2,ab,+,b,2,)=0,则开方完成；否 则再继续试第三位商，,。,这个方法用于筹算，就形成了增乘开方法，其过程简述如下,:,借助贾宪三角，给出一种开高次方的方法：增乘开方法,a,*,a,a,a b,*,b b,商,实,法,A A,B=,Aa,2,*,B B B Bb,(2,a,+,b,),*,a*,a*,2,a*,2,a,2,a,+,b*,2,a,+,b,借算,1 1,1 1 1,1 1,将上图转换适当角度，就变为贾宪三角：左边斜行由,1,组成，称为“积数”，它们是借算；右斜行也都是,1,，称为偶算，它们是,a,的各次幂的系数。贾宪利用贾宪三角得到了开高次方的一般方法,增乘开方法，是一个和高度机械化的和非常有效的算法，与现代通用的“霍纳算法”（,1819,）已基本一致。,增乘开方法，可适用于开任意高次方。但贾宪本人没有认识到这一点。另外直到贾宪时，中国数学家们所处理的方程系数都是正数。,12,世纪北宋学者刘益首先突破了系数必须为正的限制，并且也不再像以往那样要求首项系数为,1,。,“,大衍求一术”,为求得满足条件的乘率,k,i,，,秦九韶把奇数,g,i,与定数,a,i,辗转相除，相继得商数,q,i,和余数,r,i,，,即,a,i,=,q,1,g,i,+,r,1,并可得到：,c,1=,q,1,g,i,=,q,2,r,1,+,r,2,c,2=,q,2,c,1,+1,r,1,=,q,3,r,2,+,r,3,c,3=,q,3,c,2,+,c,1,r,n,-2,=,q,n,r,n-,1,+,r,n,秦九韶指出：当,r,n,=1,且,n,为偶数时，则最后所得,c,n,就是乘率,k,i,；当,r,n,=1,，且,n,为奇数时，可将,r,n,-1,与,r,n,相除后，形式上取,q,n,+1,=,r,n,-1,1,，,那么余数,r,n,+1,仍为,1,，再做,c,n,+1,=,q,n,+1,c,n,+,c,n,-1,，,这时,n,+1,为偶数，则,c,n,+1,就是所求,k,i,，,总之，当辗转相除得到余数,1,时，整个计算结束,2.4.2,秦九韶与中国剩余定理,秦九韶（,12021261,）与,数书九章,高次方程数值解法,“,正负开方术”（开,10,次方的问题）一次同余组解法,“,大衍总数术”（“衍”同“演”）,元代初期，开始用文字表示方程中的未知量，并形成了相应的算法,天元术（,李冶,）与四元术（,朱世杰,）高阶等差级数和公式,沈括（约,10311095,）“隙积术”与二阶等差数列求和公式,数列：,2,2,，,3,2,，,4,2,，,5,2,，,6,2,，（,1,）,该数列相邻项之差依次为,5,，,7,，,9,，,11,，,（,2,）,显然（,2,）是一个公差为,2,的,等差数列。今天（,1,）式被称,为一个二阶等差数列,杨辉的“垛积术”与“三角垛公式”：,1,（,1,2,）（,1,2,3,）,（,1,2,3,n,）,=,n,（,n,1,）（,n,2,）,/6,2.4.3,方程与级数的研究,廉数是斜行上数的和,上一斜行各数之和，等于下行,短线所指的一个数,左边第二斜行为,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,，,7,，,8,，是公差为,1,一阶等差数列，它的前,n,项和（“茭草垛”公式）,左边第三斜行为,1,，,3,，,6,，,10,，,15,，,21,，,28,，是二阶等差数列，它的前,n,项和为（“三角垛”公式）,左边第四斜行为,1,，,4,，,10,，,20,，,34,，,56,，是三阶等差数列，它的前,n,项和为（“撤星形垛”公式）,朱世杰得到了,p,阶等差数列求和的一般公式，,=,朱世杰的一般高阶等差级数公式及其应用,贾宪三角与等差级数公式,“设日数为,n,，,每日招兵数为,(,n,+2),3,问第,15,日招兵多少？”解答中用到了四次内插公式：,f,(,n,)=,n,1,+,n,(,n,1),2,+,n,(,n,1)(,n,2),3,+,n,(,n,1)(,n,2)(,n,3),4,其中,f,(,n,),表示第,n,日总共的招兵数，且其“四次差”分别为,1,=27,，,2,=37,，,3,=24,，,4,=6,。恰好是“古法七乘方图”中的各级数之和。,朱世杰的发现表明，借助于高阶等差级数的研究结果，完全可以写出任意高次的招差公式。在欧洲，,1670,年英国天文学家格烈高里最先对招差法作了说明，牛顿在,16761678,年的著作中才出现了招差法的一般公式，比朱世杰等人的研究成果晚了近四百年。,招差术与等差级数和的关系,2.5.1,算法化特征,“算术”与算法化成果,算筹为中国数学发展提供了了技术工具，使中国在世界上最早采用了十进位值制记数法；使计算程序化和自动化,长期坚持走算法化的发展道路，限制了数学方法的流传和改进。影响了逻辑体系的发展，很难达到现代数学的发展水平,2.5.2,实用性思想,数学著作都以社会生产和生活实践中的问题为纲，这些问题基本按社会、生活领域进行分类，,过分重实用，不利于抽象概念和命题的形成,2.5.3,政府控制的特征,中国传统数学始终置于政府控制之下，直接受制于统治阶级的意识形态和社会的需求,2.5,中国传统数学的特点,较早的形成国家数学教育体制,明代封建统治者的政策不利于数学发展,2.5.4,连续性特征,主要表现在以下几个方面：,历代数学典籍体例的一致性,数学的各分支发展的继承性,计算工具使用的一贯性,不受外来数学文化的影响,英国现代著名学者李约瑟这样评述外域文化对中国的影响：“中国和它的西方邻国以及南方邻国之间的交往和反映，要比一向所认为的多得多，尽管如此，中国思想和文化模式的基本格调，却保持着明显的、从未间断的自发性。这是中国与世隔绝的真正涵义。过去，中国和外界是有接触的，但是，这种接触从来没有多到足以影响它所特有文化以及科学的格调。”,