资源描述
专题五数列
征询题五：数列与不等式相结合征询题
一、考情分析
数列与不等式交汇题,是高考数学稀有题型.对数列不等式综合题解答,频频恳求可以纯熟运用有关基础知识跟全然技能,同步还应存在比较娴熟代数变卦技能跟技能.
频年岁列与不等式交汇题调查点：
1．以客不雅观题调查不等式性质、解法与数列、等差数列、等比数列庞杂交汇.
2．以解答题以中等题或压轴题措施调查数列与不等式交汇,尚有可以波及到导数、分析多少多何、三角函数知识等,深度调查不等式证明(要紧比较法、综合理、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)跟逻辑推理才能及分类讨论、化归数学思想,试题新奇不致,难度相对较大年夜.
3．将数列与不等式交汇渗透于递推数列及抽象数列中停止调查,要紧调查转化及方程思想.
数列求跟是历年高考命题抢手,可以以客不雅观题措施调查,也可以以解答题措施调查数列,公式求跟、裂项求跟、错位相减法求跟是常考征询题.
二、阅历分享
稀有数列不等式大年夜多与数列求跟或求积有关,
其全然构造措施有如下4种：
①形如〔为常数〕；②形如；③形如；④形如〔为常数〕.
根据---不等式性质：
〔1〕不等式转达性：假设,那么〔此性质为放缩法基础,即假设要证明,但无法开门见山证明,那么可寻寻一种中间量,使得,从而将征询题转化为只需证明即可〕
〔2〕等量加不等量为不等量：假设,那么,此性质可履行到多项求跟：[来源:]
假设,那么:
〔3〕假设需要用到乘法,那么对应性质为：假设,那么,此性质也可履行到多项连乘,但恳求波及不等式两侧均为正数
常用放缩手段：
添加〔或添加〕某些项；增大年夜分子〔或减小分母〕；增大年夜〔或减小〕被开方数；运用二项式定理；运用全然不等式；运用函数单调性.
常用放缩技能：
〔1〕稀有数列求跟措施跟通项公式特征：
①等差数列求跟公式：,〔有关一次函数或常值函数〕
②等比数列求跟公式：,〔有关指数类函数〕
③错位相减：通项公式为“等差等比〞措施
④裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项差,且原数列每一项裂项之后正负可以相消,进而在求跟后式子中仅剩有限项
〔2〕与求跟有关不等式放缩技能：
①在数列中,“求跟看通项〞,因此在放缩过程中素日从数列通项公式入手
②在放缩时要看好所证不等式中不等号倾向,这将决定对通项公式是减少仍然添加〔应与所证不等号同倾向〕
③在放缩时,对通项公式变形要向可求跟数列通项公式靠拢,稀有是向等比数列与可裂项相消数列停止靠拢.
④假设放缩后求跟察觉放“过〞了,即与所证冲突,素日有两条道路选择：第一种措施是微调：看能否让数列中某些项不动,其他项放缩.从而减小放缩程度,使之符合所证不等式；第二个措施确实是推翻了原有放缩,重新停止方案,选择放缩程度更小措施再停止试验.
〔3〕放缩构造裂项相消数列与等比数列技能：
①裂项相消：在放缩时,所构造通项公式要存在“依项同构〞特征,即作差两项可视为一致数列相邻两项〔或等间隔间隔项〕
②等比数列：所面对征询题素日为“常数〞措施,所构造等比数列公比也要称心,假设题目条件无法体现出放缩目,那么可从所证不等式常数入手,,常数可视为措施,然后猜想构造出等比数列首项与公比,进而得出等比数列通项公式,再与原通项公式停止比较,看不等号倾向能否符合条件即可.例如常数,即可猜想该等比数列首项为,公比为,即通项公式为.[来源:Zxxk.Com]
注：此措施会存在风险,所猜出等比数列未必能抵达放缩成果,因此能否选择运用等比数列停止放缩,受数列通项公式构造阻碍
〔4〕与数列中项有关不等式征询题：
①此类征询题频频从递推公式入手,假设需要放缩也是考虑对递推公式停止变形
②在有些有关项不等式证明中,可向求跟征询题停止划归,立即递推公式放缩变构成为可“累加〞或“累乘〞措施,即或〔累乘时恳求不等式两侧均为正数〕,然后通过“累加〞或“累乘〞抵达一侧为,另一侧为求跟成果,进而完毕证明
三、知识拓展
稀有放缩变形：学科-网
〔1〕,其中：可称为“进可攻,退可守〞,可根据所证不等式不等号倾向停止选择.
注：有关,可遥想到平方差公式,从而在分母添加一种常数,即可放缩为符合裂项相消特色数列,例如：,这种放缩规范要不大于〔1〕中式子.不还可以构造放缩程度更小,如：
〔2〕,从而有：
注：有关还可放缩为：
〔3〕分子分母同加常数：
此结论随便记混,素日在解题时,这种措施作为一种考虑倾向,到了详细征询题时不妨先构造出措施再验证不等关系.
〔4〕
可履行动：
同类放缩稀有有：
〔1〕或
〔2〕；
〔3〕或；
〔4〕
或〔平方型、破方型、根式型都可放缩为裂项相消模型〕
〔5〕或、〔指数型可放缩为等比模型〕
〔6〕；〔7〕；
〔8〕〔奇偶型放缩为可求积〕.
赔偿：
一般地,形如或(这里)数列,在证明〔为常数〕时都可以提取出运用指数函数单调性将其放缩为等比模型.
四、题型分析
(一)最值征询题
求解数列中某些最值征询题,偶尔须结合不等式来处置,其详细解法有：〔1〕树破目函数,通过不等式判定变量范围,进而求得最值；〔2〕起首运用不等式揣摸数列单调性,然后判定最值；〔3〕运用条件中不等式关系判定最值.
【例1】设等差数列前项跟为,假设,,那么最大年夜值为______.
【分析】根据条件将前4项与前5项跟不等关系转化为有关首项与公差不等式,然后运用此不等关系判定公差范围,由此可判定最大年夜值.
【点评】此题最值确实定要紧是根据条件不等式关系来求最值,其中缀定命列公差是解答关键,同步解答中要留心不等式转达性运用.
【小试牛刀】【天津市耀华中学高三12月月考】等差数列前项跟为,已经清晰,,那么最小值为〔〕．
A.B.C.D.无最小值
【答案】B
【分析】由题意得,得．
∴,．
∴．
∴．
那么
．
∴事前,．
事前,．
∴为最小项,．应选．
(二)恒成破征询题
求解数列与不等式结合恒成破条件下参数征询题要紧两种方略：〔1〕假设函数在定义域为,那么事前,有恒成破；恒成破；〔2〕运用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式,再通过解不等式解得.
【例2】【江西吉安一中上学期段考】设不等式组所体现破体地区为,记内格点〔格点即横坐标跟纵坐标均为整数点〕个数为．
〔1〕求值及体现式；学-科网
〔2〕记数列前项跟为,假设对任意正整数恒成破,求取值范围．
【分析】〔1〕易得,事前,取值为,共有个格点,事前,取值为,共有个格点；〔2〕由〔1〕可得：,原命题等价于．
【分析】〔1〕,
事前,取值为,共有个格点,
事前,取值为,共有个格点．
∴．
〔2〕由〔1〕可得：,
∵对任意正整数恒成破,
∴,化为,
∴．[来源:]
【点评】处置数列恒成破征询题一般会波及到全然不等式及数列单调性.
【小试牛刀】【广东省华南师范大年夜学附属中学高三综合测试】等比数列前项跟〔为常数〕,假设恒成破,那么实数最大年夜值是〔〕
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】,,
,因此,得,
因此,得,
因此时,.应选C.
(三)证明征询题
此类不等式证明常用措施：〔1〕比较法,特不是差值比较法是最全然措施；〔2〕分析法与综合理,一般是运用分析法分析,再运用综合理分析；〔3〕放缩法,要紧是通过度母分子扩大或添加、项数添加与添加等手段抵达证明目.
【例3】设数列称心,,其中为实数.
〔Ⅰ〕证明：对任意成破充足需要条件是；
(Ⅱ)设,证明：；
〔Ⅲ〕设,证明：.
0318
【分析】第〔Ⅰ〕小题可考虑用数学归纳法证明；第(Ⅱ)小题可运用综合理结合不等关系迭代；第〔Ⅲ〕小题运用不等式转达性转化等比数列,然后运用前项跟求跟,再停止合适放缩.
【分析】〔Ⅰ〕需要性：∵,,
又∵,∴,即,
充足性：设,对用数学归纳法证明.
〔1〕事前,.
〔2〕假设事前成破,
那么,且,
∴,这确实是说时,.
由〔1〕、〔2〕知,事前,知对所有成破.
综上所述,对任意成破充足需要条件是.
(Ⅲ)设,事前,,结论成破.
事前,由〔Ⅱ〕知,
∴,
∴
.
∴,不等式恒成破.
【点评】此题是数列与不等式、数学归纳法知识交汇题,属于艰苦,此类试题在高考中点占据一席之地.运用放缩法证明不等式关键.其一,选择合适放缩因子〔即放缩东西〕,其二,减少或添加幅度,这时幅度要适合,且力争打算量不要太大年夜.
【小试牛刀】【云南曲靖一中高三上学期月考】已经清晰数列称心在直线上〔〕,且．
〔1〕求数列通项公式；
〔2〕设是数列前项跟,数列称心,数列前项跟为,求证：．
【答案】〔1〕；〔2〕证明见解析.
【分析】〔1〕由题意得,即,
因此是首项为,公差为等差数列,
∴．
〔2〕证明：由〔1〕知,因此,
,因此原不等式成破．
(四)探求性征询题
数列与不等式中探求性征询题要紧体现为存在型,解答一般方略：先假设所探求东西存在或结论成破,以此假设为条件早提停止运算或逻辑推理,假设由此推出冲突,那么假设不成破,从而掉掉落“否认〞结论,即不存在.假设推理不出现冲突,能求得在范围内数值或图形,就掉掉落确信结论,即掉掉落存在成果.
【例4】已经清晰等差数列称心：,且、、成等比数列.
〔Ⅰ〕求数列通项公式.
〔Ⅱ〕记为数列前项跟,能否存在正整数,使得假设存在,求最小值；假设不存在,阐明因由.
【分析】〔Ⅰ〕设数列公差为,根据成等比数列求得值,从而求得数列通项公式；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕中求得,根据等差数列求跟公式求出,解不等式求出称心条件.
【分析】〔Ⅰ〕设数列公差为,依题意,,,成等比数列,
故有,
化简得,解得或.
事前,；
事前,,
从而得数列通项公式为或.
【点评】此题体现式有两种,需要对着两种状况讨论,再判定能否存在称心题意.处置数列与函数、不等式综合征询题关键是从题设中提炼出数列全然条件,综合函数与不等式知识求解；数列是专门函数,以数列为背景不等式证明征询题及以函数为背景数列综合征询题体现了在知识交汇点上命题特征．
与数列有关探求征询题：第一步：假设符合条件结论存在；第二步：从假设出发,运用题中关系求解；第三步,判定符合恳求结论存在或不存在；第四步：给出清晰成果；第五步：反思回忆,反省要点.
【小试牛刀】已经清晰Sn是等比数列{an}前n项跟,S4,S2,S3成等差数列,且a2＋a3＋a4＝－18.
(1)求数列{an}通项公式；
(2)能否存在正整数n,使得Sn≥？假设存在,求出符合条件所有n靠拢；假设不存在,阐明因由．
【分析】(1)设数列{an}公比为q,那么a1≠0,q≠0.
由题意得即
解得故数列{an}通项公式为an＝3×(－2)n－1.
(2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n.
假设存在n,使得Sn≥,那么1－(－2)n≥,即(－2)n≤－.
当n为偶数时,(－2)n>0,上式不成破；
当n为奇数时,(－2)n＝－2n≤－,即2n≥,那么n≥11.
综上,存在符合条件正整数n,且所有如斯n靠拢为{n|n＝2k＋1,k∈N*,k≥5}．
(五)新定义题型
【例5】【北京市海淀区高三上学期期中检查】有关数列,均有为常数〕成破,那么称数列存在性质．
〔1〕假设命列通项公式为,且存在性质,那么t最大年夜值为；
〔2〕假设命列通项公式为,且存在性质,那么实数a取值范围是．
【答案】〔1〕；〔2〕
【分析】(1)
因此数列是递增数列
即
由于,因此上式化简为,得
故最大年夜值
〔2〕由已经清晰条件得
因此数列是递增数列
即
由于,因此上式化简为,
令
由三次函数图像性质可知为或或或
,,,
因此
因此
故取值范围为
【点评】高考数学创新题型是通过给出一种新不雅观点,或约定一种新运算,或给出多少多种新模型来创设全新征询题状况,解答新奇性数学题,一是通过转化,化“新〞为“旧〞；二是通过深入分析,多方遥想,以“旧〞攻“新〞；三是制作性地运用数学思想措施,以“新〞制“新〞,应特不关注创新题型切入点跟生长点.创新题型大年夜抵有构造措施新、征询题情境新、体现措施新、设征询角度新、思想措施新、知识交汇新等.新奇题目难度在“新〞上,只需心态平跟细心读题,按题目恳求,运用所学知识分析征询题、处置征询题,该当能顺利完毕.
【小试牛刀】假设有穷数列〔是正整数〕,称心,即
〔是正整数,且〕,就称该数列为“对称数列〞.
〔Ⅰ〕已经清晰数列是项数为7对称数列,且成等差数列,,试写出每一项.
〔Ⅱ〕已经清晰是项数为对称数列,且构成首项为50,公差为等差数列,数列前项跟为,那么当为何值时,取到最大年夜值？最大年夜值为多少多？
〔Ⅲ〕有关给定正整数,试写出所有项数不逾越对称数列,使得成为数列中持续项；事前,试求其中一种数列前项跟.
【分析】〔1〕设公差为,那么,解得,
数列为．
〔Ⅱ〕,
,
事前,获得最大年夜值．最大年夜值为626．
〔Ⅲ〕所有可以“对称数列〞是：
①；
②；
③；
④．
有关①,事前,．
事前,
．
有关②,事前,．
事前,．
有关③,事前,．
事前,．
有关④,事前,．
事前,．
五、迁移运用
1．【安徽省宿州市高三上学期第一次教学质量检测】在等差数列中,,假设它前项跟有最大年夜值,那么事前,最大年夜值为〔〕
A.11B.12C.13D.14
【答案】A
【分析】数列为等差数列,假设,那么,可得[来源:ZXXK]
,,
,
,
那么事前,最大年夜值为,应选
2．【湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校联考】设,令,,假设,那么数列前项跟为,事前,最小整数值为〔〕
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】f1〔x〕=f′〔x〕=ex〔x2+4x+2〕,f2〔x〕=f1′〔x〕=ex〔x2+6x+6〕,
f3〔x〕=f2′〔x〕=ex〔x2+8x+12〕,f4〔x〕=f3′〔x〕=ex〔x2+10x+20〕,…,
可得C1=2=1×2,C2=6=2×3,C3=12=3×4,
C4=20=4×5,…,Cn=n〔n+1〕,
==﹣,
Sn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣,
那么|Sn﹣1|≤,即为≤,
解得n≥,即n最小值为．应选：B．
3.【云南曲靖一中高三上学期月考】已经清晰点在曲线上,且,且,那么最大年夜值等于〔〕
A．9B．10C．6D．11
【答案】A
【分析】由点在曲线是等差数列
最大年夜值为,应选A.
4．【广西陆川县中学高三上学期二模】设等差数列前项跟为,已经清晰,那么如下结论精确选项是〔〕
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令,那么,掉掉落在上单调递增,且为奇函数.由条件,有,,即.,从而,那么,,,在上单调递增,,即,因此A选项是精确.
5.已经清晰是等差数列,公差不为零,前项跟是,假设成等比数列,那么〔〕．
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】由于成等比数列,因此,
即,因此．由于,因此,因此．又,[来源:ZXXK]
因此．应选B．
6.【天津市耀华中学高三12月月考】已经清晰函数假设命列称心,且是递增数列,那么实数取值范围是〔〕．
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】是递增数列．那么单调递增．
∴,即．∴．应选．
7．【云南曲靖一中高三上学期月考】已经清晰数列为等差数列,为前项跟,假设,,那么取值范围是．
【答案】
【分析】由,.
8．【山西晋中榆社中学高三11月月考】已经清晰数列通项公式,假设对任意恒成破,那么取值范围是____________．
【答案】
【分析】由已经清晰可得,,由条件得,解之得.
9．【湖南师大年夜附中高三上学期月考】有关数列,假设对任意,均有成破,那么称数列为“减差数列〞.设,假设命列是“减差数列〞,那么实数取值范围是．
【答案】
【分析】由数列是“减差数列〞,得,即
,即,化简得,事前,假设恒成破,那么恒成破,又事前,最大年夜值为,那么取值范围是.
10．【山西省太原市高三3月模拟】数列中,,假设命列称心,那么数列最大年夜项为第__________项．
【答案】6
【分析】由于,因此根据叠加法得,
因此事前,,事前,,因此数列最大年夜项为第6项.
11．【甘肃省高三第一次诊断性检查】已经清晰数列称心,,那么最小值为__________．
【答案】
【分析】由,得,∵,
∴
.∴,
令,得,
∴当n取1,2,3时,减小,当n取大年夜于等于4自然数时值增大年夜.
∵n=3时;n=4时,.
∴最小值为.故答案为：.
12．【广西陆川县中学高三开学检查】已经清晰函数,点O为坐标原点,点,向量i=(0,1),是向量与i夹角,那么使得恒成破实数t取值范围为_________.
【答案】
【分析】根据题意得,﹣θn是直线OAn倾歪角,
∴
=tan〔﹣θn〕==
∴=
要使恒成破,
那么实数t取值范围是t≥．故答案为：t≥．
13．【天一大年夜联考—年高中毕业班阶段性测试〔四〕】已经清晰等差数列通项公式为,前项跟为,假设不等式恒成破,那么最小值为__________．
【答案】
14．【湖南衡阳县四中12月联赛】各项均为正数等比数列称心,,
〔1〕求数列通项公式；
〔2〕设,数列前项跟,在〔1〕条件下,证明不等式.
【答案】〔1〕；〔2〕证明见解析.
【分析】〔1〕设等比数列公比为,由得,
解得或,∵数列为正项数列,∴
∴首项,∴
〔2〕由〔1〕得
∴
∴
15.【河南省豫南九校高三下学期第一次联考】设正项等比数列,,且等差中项为.学科&网
〔1〕求数列通项公式；
〔2〕假设,数列前项跟为,数列称心,为数列前项跟,假设恒成破,求取值范围.
【分析】
〔1〕设等比数列公比为,由题意,得
解得,因此
〔2〕由〔1〕得,
∴,
∴
假设恒成破,那么恒成破,
那么,因此.
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