资源描述
一、八年级数学全等三角形填空题（难）
1．如图，P为等边△ABC内一点，∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=6，CP=3，DP=7，则BD长为______.
【答案】2.
【解析】
【分析】
将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，由全等三角形性质可得CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，结合等边三角形性质可得出∠ECP=60°，进而证明△ECP为等边三角形，由等边△ECP性质进而证明D、P、E三点共线以及∠DEB=90°，最终运用勾股定理求出BD长度即可.
【详解】
将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，
∴CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，
∵等边△ABC，
∴∠ACP+∠PCB=60°，
∴∠ECB+∠PCB=60°,即∠ECP=60°，
∴△ECP为等边三角形，
∴∠CPE=∠CEP=60°，PE=6，
∴∠DEB=90°，
∵∠APC=150°，∠APD=30°，
∴∠DPC=120°，
∴∠DPE=180°，即D、P、E三点共线，
∴ED=3+7=10，
∴BD==2.
故答案为2.
【点睛】
本题重要考察全等三角形性质、勾股定理、等边三角形判定与性质以及三点共线判定，运用旋转构造全等三角形是解题关键.
2．如图，在等腰三角形中，，为边上中点，多点作，交于，交于，若，，则面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
运用等腰直角三角形斜边中点D证明AD=BD，∠DBC=∠A=45，再运用证得∠ADE=∠BDF，由此证明△ADE≌△BDF，得到BC长度，即可求出三角形面积.
【详解】
∵，AB=BC,
∴∠A=45，
∵为边上中点，
∴AD=CD=BD，∠DBC=∠A=45，∠ADB=90，
∵,
∴∠EDB+∠BDF=∠EDB+∠ADE=90，
∴∠ADE=∠BDF,
∴△ADE≌△BDF,
∴BF==AE=3，
∵CF=2，
∴AB=BC=BF+CF=5，
∴面积为=,
故答案为：.
【点睛】
此题考察等腰直角三角形性质，三角形全等判定及性质.
3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC中点，点E是△ABC内一点，若∠AEB=∠CED=90°，AE=BE，CE=DE=2，则图中阴影部分面积等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】
作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，可证△DEG≌△CEF，可得DG=CF，则是S△BDE=S△AEC，由D是BC中点可得S△BED=2，即可求得阴影部分面积.
【详解】
作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，
∴∠DGE=∠CFE=90°，
∵∠AEB=∠DEC=90°，
∴∠GED+∠DEF=90°，∠DEF+∠CEF=90°，
∴∠GED=∠CEF，
又∵DE=EC，
∴△GDE≌△FCE，
∴DG=CF，
∵S△BED=BE•DG，S△BED=AE•CF，AE=BE，
∴S△BED=S△BED，
∵D是BC中点，
∴S△BDE=S△EDC==2，
∴S阴影=2+2=4，
故答案为4.
【点睛】
本题考察了全等三角形判定与性质，对添加辅助线构造全等三角形是解题关键.
4．如图，点D、E、F、B在同一直线上，AB∥CD、AE∥CF，且AE=CF，若BD=10，BF=2，则EF=__．
【答案】6
【解析】
【分析】
由于AB//CD、AE/CF，根据平行线性质可以得到∠B=∠D，∠AEF=∠CFD，然后运用已知条件就可以证明△AEF≌△CFD，最终运用全等三角形性质和已知条件即可求解.
【详解】
解：∵AB//CD、AE/CF，
∴∠B=∠D，∠AEF=∠CFD，而AE=CF，
∴△AEF≌△CFD，
∴DF=EB，
∴DE=BF，
∴EF=BD-2BF=6.
故答案为：6.
【点睛】
本题重要考察了全等三角形性质与判定，解题时首先运用平行线性质构造全等条件证明三角形全等，然后运用全等三角形性质即可处理问题.
5．在数学活动课上，小明提出这样一种问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC中点，DE平分∠ADC，∠CDE＝55°．如图，则∠EAB度数为_________
【答案】35°
【解析】
【分析】
过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上点到角两边距离相等可得CE=EF，再根据到角两边距离相等点在角平分线上可得AE是∠BAD平分线，然后求出∠AEB，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】
过点E作EF⊥AD于F．
∵DE平分∠ADC，∴CE=EF．
∵E是BC中点，∴CE=BE，∴BE=EF，∴AE是∠BAD平分线，∴∠EAB=∠FAE．
∵∠B=∠C=90°，∴∠CDA+∠DAB=180°，∴2∠CDE+2∠EAB=180°，∴∠CDE+∠EAB=90°，∴∠EAB=90°－∠CDE=90°－55°=35°．
故答案为：35°．
【点睛】
本题考察了角平分线上点到角两边距离相等性质，角平分线判定，熟记性质并作辅助线是解题关键．
6．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA＝EB，△ABC外一点D满足BD＝AC，且BE平分∠DBC，则∠D＝__________.
【答案】30°
【解析】
试题解析：（1）连接CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
在△BCE与△ACE中，
∴△BCE≌△ACE（SSS）
∴∠BCE=∠ACE=30°
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠CBE，
在△BDE与△BCE中，
∴△BDE≌△BCE（SAS），
∴∠BDE=∠BCE=30°．
7．已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等三角形，这样三角形一共能作出_____个．
【答案】7
【解析】
只要满足三边对应相等就能保证作出三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有6个，以底为公共边时有一种，答案可得．
解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一种，
因此一共能作出7个．
故答案为7
8．如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴正半轴、y轴正半轴上移动,点M在第二象限，且MA平分∠BAO，做射线MB，若∠1=∠2，则∠M度数是_______。
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形内角与外角关系可得
由角平分线性质可得
根据三角形内角和定理可得
易得∠M度数。
【详解】
在中，是外角
∴
由三角形内角和定理可得
∵
∴
∵平分
∴
由三角形内角与外角关系可得
∵
∴
又∵
∴
∴
【点睛】
本题考察三角形外角性质，即三角形外角等于与之不相邻两个内角和。
9．如图，AB＝BC且AB⊥BC，点P为线段BC上一点，PA⊥PD且PA＝PD，若∠A＝22°，则∠D度数为_________．
【答案】23°
【解析】
解：过D作DE⊥PC于E．∵PA⊥PD，∴∠APB+∠DPE=90°．∵AB⊥BC，∴∠A+∠APB=90°，∴∠A=∠DPE=22°．在△ABP和△PED中，∵∠A=∠DPE，∠B=∠E=90°，PA＝PD，∴△ABP≌△PED，∴AB=PE，BP=DE．∵AB=BC，∴BC=PE，∴BP=CE．∵BP=DE，∴CE=DE，∴∠DCE=45°，∴∠PDC=∠DCE－∠DPC=45°－22°=23°．故答案为：23°．
10．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm，则DC=_______
【答案】2cm
【解析】
试题解析：
解：连接AD，
∵ED是AB垂直平分线，
∴BD=AD=4cm，
∴∠BAD=∠B=30°，
∵∠C=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴∠DAC=60°-30°=30°，
在Rt△ACD中，
∴DC=AD==× 4=2cm．
故答案为2cm．
点睛：本题考察了线段垂直平分线，在直角三角形中30度角所对边等于斜边二分之一，三角形内角和定理，重要考察学生运用性质进行计算能力．
二、八年级数学全等三角形选择题（难）
11．在和中，，高，则和关系是( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．以上都不对
【答案】C
【解析】
试题解析：当∠C′为锐角时，如图1所示，
∵AC=A′C′，AD=A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，
∴∠C=∠C′；
当∠C为钝角时，如图3所示，
∵AC=A′C′，AD=A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，
∴∠C=∠A′C′D′，
∴∠C+∠A′C′B′=180°．
故选C.
12．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,不小于MN长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中对个数是( )
①AD平分∠BAC；②作图根据是S.A．S；③∠ADC=60°； ④点D在AB垂直平分线上
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
①根据作图过程可以判定AD是∠BAC∠平分线；
②根据作图过程可以判定出AD根据；
③运用角平分线定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形性质求∠ADC度数；
④运用等角对等边可以证得△ADB等腰三角形，由等腰三角形“三合一”性质可以证明点在AB中垂线上.
解：如图所示，
①根据作图过程可知，AD是∠BAC∠平分线；
故①对；
②根据作图过程可知，作出AD根据是SSS；
故②错误；
③∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CBA=60°.
又∵AD是∠BAC平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°.
故③对；
④∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB中垂线上.
故④对；
故选C.
“点睛”此题重要考察是作图-基本作图，波及到角平分线作法以及垂直平分线性质，纯熟根据角平分线性质得出∠ADC度数是解题关键.
13．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，BC边上中线AD=4，则△ABC面积为 （ ）
A．30 B．48 C．20 D．24
【答案】D
【解析】
延长AD到E,使DE=AD,连接BE,由于D为BC中点,因此DC=BD,
在△ADC和△EDB中,
,
因此△ADC≌△EDB,
因此BE=AC=10, ∠CAD＝∠E,
又由于AE=2AD=8,AB=6,
因此,
因此∠CAD＝∠E=90°,
则,
因此故选D.
14．如图，点、分别是边长为等边边、上动点，点从顶点，点从顶点同步出发，且它们速度都为，下面四个结论：①②≌③度数不变，一直等于④当第秒或第秒时，为直角三角形，对有（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
∵点、速度相似，
∴．
在和中，
，
∴≌，故②对．
则．
即．
∴．
则，故③对．
∵不一定等于．
∴．
∴．故①错误．
设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得6-t=2t，t=2 ；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（6-t），t=4；
∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形．
∴④对.
故选C.
点睛：本题考察了等边三角形性质、全等三角形判定与性质、直角三角形性质等知识点，综合性强，难度较大．
15．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，则五边形ABCDE面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
可延长DE至F，使EF=BC，运用SAS可证明△ABC≌△AEF，连AC，AD，AF，再运用SSS证明△ACD≌△AFD，可将五边形ABCDE面积转化为两个△ADF面积，进而求解即可．
【详解】
延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AC=AF，
∵AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90°，
∴CD=EF+DE=DF，
在△ACD与△AFD中，
，
∴△ACD≌△AFD（SSS），
∴五边形ABCDE面积是：S=2S△ADF=2וDF•AE=2××2×2=4．
故选C.
【点睛】
本题重要考察了全等三角形判定及性质以及三角形面积计算，对作出辅助线，运用全等三角形把五边形ABCDE面积转化为两个△ADF面积是处理问题关键．
16．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′是( )
A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3
B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°
C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3
D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°
【答案】B
【解析】
∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°
A选项：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，
符合直角三角形全等判定条件HL，
∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
B选项：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，
不符合符合直角三角形全等判定条件，
∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
C选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等判定条件SAS；
∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
D选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等判定条件ASA，
∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
故选：B．
点睛：此题重要考察学生对直角三角全等判定理解和掌握，解答此题不仅仅是掌握直角三角形全等判定，还要纯熟掌握其他判定三角形全等措施，才能尽快选出此题对答案．
17．如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，连结AO，则图中共有全等三角形对数为（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据条件，运用AAS可知△ADB≌△AEC，然后再运用HL、ASA即可判断△AOE≌△AOD，△BOE≌△COD，△AOC≌△AOB.
【详解】
∵AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵∠A为公共角，
∴△ADB≌△AEC，（AAS）
∴AE=AD，∠B=∠C
∴BE=CD，
∵AE=AD，OA=OA，∠ADB=∠AEC=90°，
∴△AOE≌△AOD（HL），
∴∠OAC=∠OAB，
∵∠B=∠C，AB=AC，∠OAC=∠OAB，
∴△AOC≌△AOB.（ASA）
∵∠B=∠C，BE=CD，∠ODC=∠OEB=90°，
∴△BOE≌△COD（ASA）．
综上：共有4对全等三角形，
故选C.
【点睛】
本题考察三角形全等判定措施和全等三角形性质，判定两个三角形全等一般措施有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边夹角．做题时要从已知条件开始结合全等判定措施逐一验证，由易到难，不重不漏．
18．在△ABC与△DEF中，下列各组条件，不能判定这两个三角形全等是（ ）
A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠F
C．AC＝DF，BC＝DE，∠C＝∠D D．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F
【答案】B
【解析】运用全等三角形判定定理，分析可得：
A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F可运用AAS证明△ABC与△DEF全等；
B、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE，对应边不对应，不能证明△ABC与△DEF全等；
C、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D可运用ASA证明△ABC与△DEF全等；
D、AB=EF，∠A=∠E∠B=∠F可运用SAS证明△ABC与△DEF全等；
故选：D．
点睛：本题考察三角形全等判定措施，判定两个三角形全等一般措施有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边夹角．
19．下列四组条件中，可以判定△ABC和△DEF全等是（ ）
A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．AC=EF，∠C=∠F，∠A=∠D
C．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F D．AC=DF，BC=DE，∠C=∠D
【答案】D
【解析】
根据三角形全等判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，逐一判断：
A、AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，不符合“SAS”定理，不能判断全等；
B、AC=EF，∠C=∠F，∠A=∠D， 不符合“ASA”定理，不能判断全等；
C、∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F ，“AAA”不能判定全等；
不符合“SAS”定理，不对应，不能判断全等；
D、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D，可运用“SAS”判断全等；
故选：D．
点评：本题考察三角形全等判定措施，判定两个三角形全等一般措施有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边夹角．
20．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重叠），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．如下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；其中对结论个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①对；
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），因此AP=BQ；故②对；
③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③对；
④根据∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④错误；
⑤运用等边三角形性质，BC∥DE，再根据平行线性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角性质可得∠AOE=120°，可知⑤对；
【详解】
①∵△ABC和△CDE为等边三角形
∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°
∴∠ACD＝∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE，故①对；
由（1）中全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴AP＝BQ，故②对；
∵△CQB≌△CPA，
∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，故③对，
∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，
∴PD≠CD，
∴DE≠DP，故④DE＝DP错误；
∵BC∥DE，
∴∠CBE＝∠BED，
∵∠CBE＝∠DAE，
∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，
∴∠AOE＝120°，故⑤对，
故选C．
【点睛】
本题考察了全等三角形判定与性质，运用了等边三角形判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线判定与性质，综合性较强，题目难度较大．
21．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论中对是（ ）
A．AB﹣AD＞CB﹣CD B．AB﹣AD=CB﹣CD
C．AB﹣AD＜CB﹣CD D．AB﹣AD与CB﹣CD大小关系不确定
【答案】A
【解析】
如图，在AB上截取AE=AD，连接CE．
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
又AC是公共边，
∴△AEC≌△ADC（SAS），
∴AE=AD，CE=CD，
∴AB-AD=AB-AE=BE，BC-CD=BC-CE，
∵在△BCE中，BE＞BC-CE，
∴AB-AD＞CB-CD．
故选A．
22．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动时间为秒，当值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．
A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7
【答案】C
【解析】
【分析】
分两种状况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．
【详解】
解：由于AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP=2t=2，
因此t=1，
由于AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP=16-2t=2，
解得t=7．
因此，当t值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故选C．
【点睛】
本题考察全等三角形判定，判定措施有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．
23．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上点，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
在BE上截取BG＝DF，先证△ADF≌△ABG，再证△AEG≌△AEF即可解答．
【详解】
在BE上截取BG＝DF，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ADF与△ABG中
，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠FAE＝∠GAE，
在△AEG与△AEF中
，
∴△AEG≌△AEF（SAS）
∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．
故选：B．
【点睛】
考察了全等三角形判定与性质，证明三角形全等是处理问题关键．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论对有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
运用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形可得AE=CF，再根据等腰直角三角形定义得到△EFP是等腰直角三角形，根据全等三角形面积相等可得△APE面积等于△CPF面积相等，然后求出四边形AEPF面积等于△ABC面积二分之一．
【详解】
∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC中点，
∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，
∴∠APF+∠CPF=90°，
∵∠EPF是直角，
∴∠APF+∠APE=90°，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中，
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，故①②对；
∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE，
∴△EFP是等腰直角三角形，故③错误；
∵△APE≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF，
∴四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC．故④对，
故选C．
【点睛】
本题考察了全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，根据同角余角相等求出∠APE=∠CPF，从而得到△APE和△CPF全等是解题关键，也是本题突破点．
25．如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS.下列结论：①点P在∠A角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中，对有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A平分线上，故①对；
由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，∴△BPR≌△CPS，∴AS=AR，故②对；
∵AQ=PQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③对；
由③得，△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也对，∵①②③④都对，故选D．
点睛：本题考察了角平分线性质与全等三角形判定与性质，精确识图并纯熟掌握全等三角形判定措施与性质是解题关键．
26．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC是等腰三角形措施有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．6种
【答案】C
【解析】
【分析】
①②：求出OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可等腰三角形；①③：证△EBO≌△DCO，得出∠EBO=∠DCO，求出∠ACB=∠ABC即可；②④：证△EBO≌△DCO，推出OB=OC，求出∠ABC=∠ACB即可；③④：证△EBO≌△DCO，推出∠EBO=∠DCO，OB=OC，求出∠OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可．
【详解】
解：有①②，①③，②④，③④，共4种，
①②，
理由是：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠EBO=∠DCO，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；
①③，
理由是：∵在△EBO和△DCO中 ，
∴△EBO≌△DCO，
∴∠EBO=∠DCO，
∵∠OBC=∠OCB（已证），
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
②④，
理由是：∵在△EBO和△DCO中，
∴△EBO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
③④，
理由是：∵在△EBO和△DCO中，
∴△EBO≌△DCO，
∴∠EBO=∠DCO，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
故选C．
27．在中，已知，，点是边延长线上一点，如图所示，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交直线于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
过点F作FD⊥AG，交AG延长线于点D, 设BC=5x，运用AAS证出△FAD≌△AEB，从而用x表达出AD，BD，然后运用AAS证出△FDG≌△CBG，即可用x表达出BG,AG从而求出结论．
【详解】
解：过点F作FD⊥AG，交AG延长线于点D
∵
设BC=5x，则CE=3x
∴BE=BC＋CE=8x
∵，，
∴∠BAC=∠BCA=45°
∴∠BCA=∠CAE＋∠E=45°
由旋转可知∠EAF=90°，AF=EA
∴∠CAE＋∠FAD=∠EAF－∠BAC=45°
∴∠FAD=∠E
在△FAD和△AEB中
∴△FAD≌△AEB
∴AD=EB=8x，FD=AB
∴BD=AD－AB=3x，FD=CB
在△FDG和△CBG中
∴△FDG≌△CBG
∴DG=BG=BD=
∴AG=AB＋BG=
∴
故选D．
【点睛】
此题考察是全等三角形判定及性质，掌握构造全等三角形措施和全等三角形判定及性质是处理此题关键．
28．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出如下五个结论：①△PFA≌△PEB，②EF=AP，③△PEF是等腰直角三角形，④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重叠），S四边形AEPF=S△ABC，上述结论中一直对有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP⊥BC，AP=PB，
∠B=∠CAP=45°，
∵∠APF+∠FPA=90°，
∠ APF+∠BPE=90°，
∴∠APF=∠BPE，
在△BPE和△APF中，
∠B=∠CAP， BP=AP，∠BPE =∠APF，
∴△PFA≌△PEB；故①对；
∵△ABC是等腰直角三角形点P是BC中点，
∴AP=BC，
又∵EF不一定是△ABC中位线，
∴EF≠AP，故结论②错误；
∵△PFA≌△PEB，
∴PE=PF，
又∵∠EPF=90°，
∴△PEF是等腰直角三角形，故③对；
∵△PFA≌△PEB，
∴S△PFA =S△PEB，
∴S四边形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE=S△APB=S△ABC，故结论④对；
综上，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重叠），一直对有3个结论.
故选：C.
点睛：本题意旋转为背景考察了全等三角形判定和性质，解题时需要运用等腰直角三角形判定和性质，综合性较强，根据题意得出△PFA≌△PEB是解答此题关键.
29．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一点D，且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．45°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接AE．根据ASA可证△ADE≌△CBA，根据全等三角形性质可得AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，根据等边三角形判定可得△ACE是等边三角形，根据等腰三角形判定可得△DCE是等腰三角形，再根据三角形内角和定理和角和差关系即可求解．
【详解】
如图所示，连接AE．
∵AB=DE，AD=BC
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，可得AE=DE
∵AB=AC，∠BAC=20°，
∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°，
在△ADE与△CBA中，
，
∴△ADE≌△CBA（ASA），
∴AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，
∵∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴CE=AC=AE=DE，∠AEC=∠ACE=60°，
∴△DCE是等腰三角形，
∴∠CDE=∠DCE，
∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°，
∴∠DCE=∠CDE=（180-40°）÷2=70°．
故选B．
【点睛】
考察了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，等边三角形判定和性质，等腰三角形判定和性质，三角形内角和定理，平行线性质，综合性较强，有一定难度．
30．如图，△ABC中，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论不对是
A．BF=DF B．∠1=∠EFD C．BF>EF D．FD∥BC
【答案】B
【解析】
【分析】
根据余角性质得到∠C=∠ABE，∠EBC=∠BAC．根据SAS推出△ABF≌△ADF，根据全等三角形性质得到BF=DF，故A对；由全等三角形性质得到∠ABE=∠ADF，等量代换得到∠ADF=∠C，根据平行线判定得到DF∥BC，故D对；根据直角三角形性质得到DF＞EF，等量代换得到BF＞EF；故C对；根据平行线性质得到∠EFD=∠EBC=∠BAC=2∠1，故B错误．
【详解】
∵AB⊥BC，BE⊥AC，∴∠C+∠BAC=∠ABE+∠BAC=90°，∴∠C=∠ABE．同理：∠EBC=∠BAC．
在△ABF与△ADF中，∵，∴△ABF≌△ADF，∴BF=DF，故A对，
∵△ABF≌△ADF，∴∠ABE=∠ADF，∴∠ADF=∠C，∴DF∥BC，故D对；
∵∠FED=90°，∴DF＞EF，∴BF＞EF；故C对；
∵DF∥BC，∴∠EFD=∠EBC．∵∠EBC=∠BAC=∠BAC=2∠1，∴∠EFD=2∠1，故B错误．
故选B．
【点睛】
本题考察了全等三角形判定和性质，平行线判定和性质，证得△ABF≌△ADF是解题关键．
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