2025年备战中考数学培优含解析之二次函数含答案.doc

-备战中考数学培优(含解析)之二次函数含答案

一、二次函数
1．已知二次函数图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象通过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′面积．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.
【解析】
【分析】（1）已知了抛物线顶点坐标，可用顶点式设该二次函数解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数解析式；
（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与x轴交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴交点平移到原点时，抛物线平移单位，由此可求出A′、B′坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′面积．
【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴交点为：（0，3），
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
即抛物线与x轴交点为：（﹣3，0），（1，0）；
（3）设抛物线与x轴交点为M、N（M在N左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移通过原点时，M与O重叠，因此抛物线向右平移了3个单位，
故A'（2，4），B'（5，﹣5），
∴S△OA′B′=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．

【点睛】本题考察了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积求法等知识．纯熟掌握待定系数法、函数图象与坐标轴交点求解措施、不规则图形面积求解措施等是解题关键.

2．如图所示，抛物线顶点为，与轴交于、两点，且，与轴交于点．
求抛物线函数解析式；
求面积；
能否在抛物线第三象限图象上找到一点，使面积最大？若能，祈求出点坐标；若不能，请阐明理由．

【答案】 ；；点坐标是．
【解析】
【分析】
(1)设顶点式并代入已知点即可；
(2)令y=0，求出A、B和C点坐标，运用三角形面积公式计算即可；
(3)假设存在这样点，过点作轴于点，交于点，线段PF长度即为两函数值之差，将面积计算拆分为即可.
【详解】
设此函数解析式为，
∵函数图象顶点为，
∴，
又∵函数图象通过点，
∴
解得，
∴此函数解析式为，即；
∵点是函数图象与轴交点，
∴点坐标是，
又当时，有，
解得，，
∴点坐标是，
则；
假设存在这样点，过点作轴于点，交于点．
设，则，

设直线解析式为，
∵直线过点，，
∴，
解得，
∴直线解析式为，
∴点坐标为，
则，
∴
，
∴当时，有最大值，
此时点坐标是．
【点睛】
本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大问题转化为PF最大进行理解.

3．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3图象与x轴交于A、B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线顶点．
(1)求点A、B、C坐标；
(2)点M(m，0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重叠)，过点M作x轴垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m式子表达矩形PQNM周长；
(3)当矩形PQNM周长最大时，m值是多少？并求出此时△AEM面积；
(4)在(3)条件下，当矩形PMNQ周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴平行线，与直线AC交于点G(点G在点F上方)．若FG＝2DQ，求点F坐标．

【答案】(1)A(﹣3，0)，B(1，0)；C(0，3) ；(2)矩形PMNQ周长＝﹣2m2﹣8m+2；(3) m＝﹣2；S＝；(4)F(﹣4，﹣5)或(1，0)．
【解析】
【分析】
（1）运用函数图象与坐标轴交点求法，求出点A，B，C坐标；
（2）先确定出抛物线对称轴，用m表达出PM，MN即可；
（3）由（2）得到结论判断出矩形周长最大时，确定出m，进而求出直线AC解析式，即可；
（4）在（3）基础上，判断出N应与原点重叠，Q点与C点重叠，求出DQ＝DC＝，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4即可．
【详解】
(1)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，C(0，3)．
令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，
解得，x＝﹣3或x＝l，
∴A(﹣3，0)，B(1，0)．
(2)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x＝﹣1．
∵M(m，0)，
∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝(﹣m﹣1)×2＝﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ周长＝2(PM+MN)＝(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2＝﹣2m2﹣8m+2．
(3)∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2(m+2)2+10，
∴矩形周长最大时，m＝﹣2．
∵A(﹣3，0)，C(0，3)，
设直线AC解析式y＝kx+b，
∴
解得k＝l，b＝3，
∴解析式y＝x+3，
令x＝﹣2，则y＝1，
∴E(﹣2，1)，
∴EM＝1，AM＝1，
∴S＝AM×EM＝．
(4)∵M(﹣2，0)，抛物线对称轴为x＝﹣l，
∴N应与原点重叠，Q点与C点重叠，
∴DQ＝DC，
把x＝﹣1代入y＝﹣x2﹣2x+3，解得y＝4，
∴D(﹣1，4)，
∴DQ＝DC＝．
∵FG＝2DQ，
∴FG＝4．
设F(n，﹣n2﹣2n+3)，则G(n，n+3)，
∵点G在点F上方且FG＝4，
∴(n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)＝4．
解得n＝﹣4或n＝1，
∴F(﹣4，﹣5)或(1，0)．
【点睛】
此题是二次函数综合题，重要考察了函数图象与坐标轴交点求法，待定系数法求函数解析式，函数极值确实定，解本题关键是用m表达出矩形PMNQ周长．

4．已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．
（1）判断顶点M与否在直线y＝4x+1上，并阐明理由．
（2）如图1，若二次函数图象也通过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x取值范围．
（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2大小．

【答案】（1）点M在直线y＝4x+1上；理由见解析；（2）x取值范围是x＜0或x＞5；（3）①当0＜b＜时，y1＞y2，②当b＝时，y1＝y2，③当＜b＜时，y1＜y2．
【解析】
【分析】
（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点坐标代入函数解析式检查，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得二次函数解析式，根据函数图象与不等式关系：图象在下方函数值小，可得答案；
（3）根据解方程组，可得顶点M纵坐标范围，根据二次函数性质，可得答案．
【详解】
（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象顶点，
∴M坐标是（b，4b+1），
把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，
∴点M在直线y＝4x+1上；
（2）如图1，
直线y＝mx+5交y轴于点B，
∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，
∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，
二次函数解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，
当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴A（5，0）．
由图象，得
当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x取值范围是x＜0或x＞5；
（3）如图2，
∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，
A（5，0），B（0，5）得
直线AB解析式为y＝﹣x+5，
联立EF，AB得方程组，
解得，
∴点E（，），F（0，1）．
点M在△AOB内，
1＜4b+1＜，
∴0＜b＜．
当点C，D有关抛物线对称轴对称时，b﹣＝﹣b，∴b＝，
且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上，
综上：①当0＜b＜时，y1＞y2，
②当b＝时，y1＝y2，
③当＜b＜时，y1＜y2．

【点睛】
本题考察了二次函数综合题，解（1）关键是把点坐标代入函数解析式检查；解（2）关键是运用函数图不等式关系：图象在上方函数值大；解（3）关键是解方程组得出顶点M纵坐标范围，又运用了二次函数性质：a＜0时，点与对称轴距离越小函数值越大．

5．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c通过点A、B、C．

（1）求抛物线解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）当△CEF与△COD相似时，P点坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．
【解析】
【分析】
（1）根据正切函数，可得OB，根据旋转性质，可得△DOC≌△AOB，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分两种状况讨论：①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线顶点；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，得到△EFC∽△EMP，根据相似三角形性质，可得PM与ME关系，解方程，可得t值，根据自变量与函数值对应关系，可得答案．
【详解】
（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO3，∴OB＝3OA＝3．
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1，∴A，B，C坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为
，解得：，抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∴对称轴为l1，∴E点坐标为（﹣1，0），如图，分两种状况讨论：
①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线顶点，P（﹣1，4）；

②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM，∴△EFC∽△EMP，∴，∴MP＝3ME．
∵点P横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．
∵P在第二象限，∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，t＜0，∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），解得：t1＝﹣2，t2＝3（与t＜0矛盾，舍去）．
当t＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P（﹣2，3）．
综上所述：当△CEF与△COD相似时，P点坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．
【点睛】
本题是二次函数综合题．解（1）关键是运用旋转性质得出OC，OD长，又运用了待定系数法；解（2）关键是运用相似三角形性质得出MP＝3ME．

6．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价元,每星期销售量为件.
(1)降价后,当某一星期销售量是未降价前一星期销售量3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?
(2)当每件售价定为多少元时,一星期销售利润最大,最大利润是多少?
【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期销售利润最大，最大利润4000元．
【解析】
【分析】
（1）根据售量与售价x（元/件）之间关系列方程即可得到结论．
（2）设每星期利润为W元，构建二次函数运用二次函数性质处理问题．
【详解】
解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，
解得：x＝40，
60﹣40＝20元，
答：这一星期中每件童装降价20元；
（2）设利润为w，
根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
答：每件售价定为50元时，一星期销售利润最大，最大利润4000元．
【点睛】
本题考察二次函数应用，一元二次不等式，解题关键是构建二次函数处理最值问题，运用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．

7．如图，已知抛物线通过原点O，顶点A（1，﹣1），且与直线y＝kx+2相交于B（2，0）和C两点
（1）求抛物线和直线BC解析式；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）抛物线上存在点E（点E不与点A重叠），使∠BCE＝∠ACB，求出点E坐标；
（4）在抛物线对称轴上与否存在点F，使△BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣2x，y＝﹣x+2；（2）详见解析；（3）E（）；（4）符合条件点F坐标（1，）或（1，﹣）或（1，2+）或（1，2﹣）．
【解析】
【分析】
（1）将B（2，0）代入设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，求得a，将B（2，0）代入y＝kx+2，求得k；
（2）分别求出AB2、BC2、AC2，根据勾股定理逆定理即可证明；
（3）作∠BCE＝∠ACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE延长线交于点A'，过A'作A'H垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点G．根据对称与三角形全等，求得A'（3，1），然后求出A'C解析式，与抛物线解析式联立，求得点E坐标；
（4）设F（1，m），分三种状况讨论：①当BF＝BD时，，②当DF＝BD时，，③当BF＝DF时，，m＝1，然后裔入即可．
【详解】
（1）设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，
将B（2，0）代入，
0＝a（2﹣1）2﹣1，
∴a＝1，
抛物线解析式：y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，
将B（2，0）代入y＝kx+2，
0＝2k+2，
k＝﹣1，
∴直线BC解析式：y＝﹣x+2；
（2）联立，
解得，，
∴C（﹣1，3），
∵A（1，﹣1），B（2，0），
∴AB2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，
AC2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，
BC2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）如图，作∠BCE＝∠ACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE延长线交于点A'，过A'作A'H垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点G．

∵∠BCE＝∠ACB，∠ABC＝90°，
∴点A与A'有关直线BC对称，
AB＝A'B，
可知△AFB≌△A'HB（AAS），
∵A（1，﹣1），B（2，0）
∴AG＝1，BG＝OG＝1，
∴BH＝1，A'H＝1，OH＝3，
∴A'（3，1），
∵C（﹣1，3），
∴直线A'C：，
联立：，
解得或，
∴E（，）；
（4）∵抛物线对称轴：直线x＝1，
∴设F（1，m），
直线BC解析式：y＝﹣x+2；
∴D（0，2）
∵B（2，0），
∴BD＝
，
，
①当BF＝BD时，，
m＝±，
∴F坐标（1，）或（1，﹣）
②当DF＝BD时，，
m＝2±，
∴F坐标（1，2+）或（1，2﹣）
③当BF＝DF时，，
m＝1，
F（1，1），此时B、D、F在同一直线上，不符合题意．
综上，符合条件点F坐标（1，）或（1，﹣）或（1，2+）或（1，2﹣）．
【点睛】
考察了二次函数，纯熟掌握二次函数性质是解题关键．

8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c通过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线函数体现式；
（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内一点，若△PAC面积为3，求点P坐标；
（3）如图2，D为抛物线顶点，在线段AD上与否存在点M，使得以M，A，O为顶点三角形与△ABC相似？若存在，求点M坐标；若不存在，请阐明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）点P坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（，）或（，），见解析.
【解析】
【分析】
（1）运用待定系数法，然后将A、B、C坐标代入解析式即可求得二次函数解析式；
（2））过P点作PQ垂直x轴，交AC于Q，把△APC提成两个△APQ与△CPQ，把PQ作为两个三角形底，通过点A，C横坐标表达出两个三角形高即可求得三角形面积．
（3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB，使得以M，A，O为顶点三角形与△ABC相似，则有两种状况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM为y=-x，若∠AOM=∠CBA，则OM为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM与AD交点M．
【详解】
（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c得
，
解得，
因此抛物线函数体现式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）如解（2）图1，过P点作PQ平行y轴，交AC于Q点，

∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴直线AC解析式为y＝x+3，
设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3．），则Q点坐标为（x，x+3），
∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．
∴S△PAC＝，
∴，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．
当x＝﹣1时，P点坐标为（﹣1，4），
当x＝﹣2时，P点坐标为（﹣2，3），
综上所述：若△PAC面积为3，点P坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），
（3）如解（3）图1，过D点作DF垂直x轴于F点，过A点作AE垂直BC于E点，

∵D为抛物线y＝﹣x2﹣2x+3顶点，
∴D点坐标为（﹣1，4），
又∵A（﹣3，0），
∴直线AC为y＝2x+4，AF＝2，DF＝4，tan∠PAB＝2，
∵B（1，0），C（0，3）
∴tan∠ABC＝3，BC＝，sin∠ABC＝，直线BC解析式为y＝﹣3x+3．
∵AC＝4，
∴AE＝AC•sin∠ABC＝＝，BE＝，
∴CE＝，
∴tan∠ACB＝，
∴tan∠ACB＝tan∠PAB＝2，
∴∠ACB＝∠PAB，
∴使得以M，A，O为顶点三角形与△ABC相似，则有两种状况，如解（3）图2

Ⅰ．当∠AOM＝∠CAB＝45°时，△ABC∽△OMA，
即OM为y＝﹣x，
设OM与AD交点M（x，y）
依题意得：，
解得，
即M点为（，）．
Ⅱ．若∠AOM＝∠CBA，即OM∥BC，
∵直线BC解析式为y＝﹣3x+3．
∴直线OM为y＝﹣3x，设直线OM与AD交点M（x，y）．则
依题意得：，
解得，
即M点为（，），
综上所述：存在使得以M，A，O为顶点三角形与△ABC相似点M，其坐标为（，）或（，）．
【点睛】
本题结合三角形性质考察二次函数综合应用，函数和几何图形综合题目，要会运用数形结合思想把代数和几何图形结合起来，运用点坐标意义表达线段长度，从而求出线段之间关系．

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．
（1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D坐标，OE等于多少；
（2）OE长与否与a值有关，阐明你理由；
（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a取值范围；
（4）以DE为斜边，在直线DE左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n有关m函数解析式及自变量m取值范围．

【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE长与a值无关．理由见解析；（3）﹣≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．
【解析】
【分析】
(1)求出直线CD解析式即可处理问题；
(2)运用参数a，求出直线CD解析式求出点E坐标即可判断；
(3)求出落在特殊情形下a值即可判断；
(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．两条全等三角形性质即可处理问题.
【详解】
解：(1)当a=﹣1时，抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
∴顶点D(﹣1，4)，C(0，3)，
∴直线CD解析式为y=﹣x+3，
∴E（3，0），
∴OE=3，
(2)结论：OE长与a值无关．
理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，
∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，
∴直线CD解析式为y=ax﹣3a，
当y=0时，x=3，
∴E（3，0），
∴OE=3，
∴OE长与a值无关．
(3)当β=45°时，OC=OE=3，
∴﹣3a=3，
∴a=﹣1，
当β=60°时，在Rt△OCE中，OC=OE=3，
∴﹣3a=3，
∴a=﹣，
∴45°≤β≤60°，a取值范围为﹣≤a≤﹣1．
(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．

∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，
∴∠DPM=∠EPN，
∴△DPM≌△EPN，
∴PM=PN，PM=EN，
∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，
∴EN=4+n=3﹣m，
∴n=﹣m﹣1，
当顶点D在x轴上时，P(1，﹣2)，此时m值1，
∵抛物线顶点在第二象限，
∴m＜1．
∴n=﹣m﹣1(m＜1)．
故答案为：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE长与a值无关；(3)﹣≤a≤﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考察了二次函数图象与性质。

10．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1顶点为G．

（1）求出抛物线C1解析式，并写出点G坐标；
（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k值：
（3）在（2）条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上与否存在点N，使得以P、Q、N为顶点三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N坐标：若不存在，请阐明理由．
【答案】（1）抛物线C1解析式为y=﹣x2+2x+3，点G坐标为（1，4）；（2）k=1；（3）M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．
【解析】
【分析】（1）由点A坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；
（2）设抛物线C2解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′坐标为（m+1，0），点G′坐标为（1，m），代入所设解析式求解可得；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立有关x方程，解之求得x值从而深入求解即可．
【详解】（1）∵点A坐标为（﹣1，0），
∴OA=1，
∴OC=3OA，
∴点C坐标为（0，3），
将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：，
解得：，
∴抛物线C1解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
因此点G坐标为（1，4）；
（2）设抛物线C2解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，
过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，

∵△A′B′G′为等边三角形，
∴G′D=B′D=m，
则点B′坐标为（m+1，0），点G′坐标为（1，m），
将点B′、G′坐标代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：
，
解得：（舍），，
∴k=1；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），
∴PQ=OA=1，
∵∠AOQ、∠PQN均为钝角，
∴△AOQ≌△PQN，
如图2，延长PQ交直线y=﹣1于点H，

则∠QHN=∠OMQ=90°，
又∵△AOQ≌△PQN，
∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN，
∴∠MOQ=∠HQN，
∴△OQM≌△QNH（AAS），
∴OM=QH，即x=﹣x2+2x+2+1，
解得：x=（负值舍去），
当x=时，HN=QM=﹣x2+2x+2=，点M（，0），
∴点N坐标为（+，﹣1），即（，﹣1）；
或（﹣，﹣1），即（1，﹣1）；
如图3，

同理可得△OQM≌△PNH，
∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，
解得：x=﹣1（舍）或x=4，
当x=4时，点M坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，
∴点N坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；
综上点M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．
【点睛】本题考察是二次函数综合题，波及到知识有待定系数法、等边三角形性质、全等三角形判定与性质等，纯熟掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形性质、全等三角形判定与性质、运用分类讨论思想是解题关键.

11．如图1，已知一次函数y=x+3图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线过A、B两点，且与x轴交于另一点C．
（1）求b、c值；
（2）如图1，点D为AC中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M坐标；
（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内以点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR
①求证：PG=RQ；
②求PA+PC+PG最小值，并求出当PA+PC+PG获得最小值时点P坐标．

【答案】（1）b=﹣2，c=3；（2）M（，）；（3）①证明见解析；②PA+PC+PG最小值为，此时点P坐标（﹣，）．
【解析】
试题分析：（1）把A（﹣3，0），B（0，3）代入抛物线即可处理问题．
（2）首先求出A、C、D坐标，根据BE=2ED，求出点E坐标，求出直线CE，运用方程组求交点坐标M．
（3）①欲证明PG=QR，只要证明△QAR≌△GAP即可．②当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM==求出AM，CM，运用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可处理问题．
试题解析：（1）∵一次函数y=x+3图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣3，0），B（0，3），∵抛物线过A、B两点，∴，解得：，∴b=﹣2，c=3．
（2），对于抛物线，令y=0，则，解得x=﹣3或1，∴点C坐标（1，0），∵AD=DC=2，∴点D坐标（﹣1，0），∵BE=2ED，∴点E坐标（，1），设直线CE为y=kx+b，把E、C代入得到：，解得：，∴直线CE为，由，解得或，∴点M坐标（，）．
（3）①∵△AGQ，△APR是等边三角形，∴AP=AR，AQ=AG，∠QAC=∠RAP=60°，∴∠QAR=∠GAP，在△QAR和△GAP中，∵AQ=AG，∠QAR=∠GAP，AR=AP，∴△QAR≌△GAP，∴QR=PG．
②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC，∴当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K．∵∠GAO=60°，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，∵∠QGA=60°，∴∠QGO=90°，∴点Q坐标（﹣6，），在RT△QCN中，QN=，CN=7，∠QNC=90°，∴QC==，∵sin∠ACM==，∴AM=，∵△APR是等边三角形，∴∠APM=60°，∵PM=PR，cos30°=，∴AP=，PM=RM=，∴MC==，∴PC=CM﹣PM=，∵，∴CK=，PK=，∴OK=CK﹣CO=，∴点P坐标（﹣，），∴PA+PC+PG最小值为，此时点P坐标（﹣，）．

考点：二次函数综合题；旋转性质；最值问题；压轴题．

12．某大学生运用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，理解到一种成本为20元/件新型商品在第x天销售有关信息如下表所示．
销售量p（件）

P=50—x

销售单价q（元/件）

当1≤x≤20时，
当21≤x≤40时，

（1）请计算第几天该商品销售单价为35元/件？
（2）求该网店第x天获得利润y有关x函数关系式．
（3）这40天中该网店第几天获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）第10天或第35天该商品销售单价为35元/件（2）（3）这40天中该网店第21天获得利润最大？最大利润是725元
【解析】
【分析】
（1）分别将q=35代入销售单价有关x函数关系式，求出x即可．
（2）应用利润=销售收入－销售成本列式即可．
（3）应用二次函数和反比例函数性质，分别求出最大值比较即得所求．
【详解】
解：（1）当1≤x≤20时，令，解得；；
当21≤x≤40时，令，解得；．
∴第10天或第35天该商品销售单价为35元/件．
（2）当1≤x≤20时，；
当21≤x≤40时，．
∴y有关x函数关系式为．
（3）当1≤x≤20时，，
∵，∴当x=15时，y有最大值y1，且y1=612.5．
当21≤x≤40时，∵26250＞0，∴伴随x增大而减小，
∴当x=21时，有最大值y2，且．
∵y1＜y2，
∴这40天中该网店第21天获得利润最大？最大利润是725元．

13．如图，已知抛物线过点A(,-3) 和B(3,0)，过点A作直线AC//x轴，交y轴与点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点三角形与△AOC相似，求出对应点P坐标；
（3）抛物线上与否存在点Q，使得?若存在，求出点Q坐标；若不存在，请阐明理由.

【答案】（1）；（2）P点坐标为（4 ,6）或（,- ）；（3）Q点坐标（3，0）或（-2，15）
【解析】
【分析】
（1）把A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b值，即可确定出解析式；
（2）设P坐标为，表达出AD与PD，由相似分两种状况得比例求出x值，即可确定出P坐标；
（3）存在，求出已知三角形AOC边OA上高h，过O作OM⊥OA，截取OM=h,与y轴交于点N，分别确定出M与N坐标，运用待定系数法求出直线MN解析式，与抛物线解析式联立求出Q坐标即可．
【详解】
（1）把，和点，代入抛物线得：，
解得：，，
则抛物线解析式为；
（2）当在直线上方时，
设坐标为，则有，，
当时，，即，
整理得：，即，
解得：，即或（舍去），
此时，；
当时，，即，
整理得：，即，
解得：，即或（舍去），
此时，；
当点时，也满足；
当在直线下方时，同理可得：坐标为，，
综上，坐标为，或，或，或；
（3）在中，，，
根据勾股定理得：，
，
，
，
边上高为，
过作，截取，过作，交轴于点，如图所示：

在中，，即，
过作轴，
在中，，，即，，
设直线解析式为，
把坐标代入得：，即，即，
联立得：，
解得：或，即，或，，
则抛物线上存在点，使得，此时点坐标为，或，．
【点睛】
二次函数综合题，波及知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形判定与性质，点到直线距离公式，纯熟掌握待定系数法是解本题关键．

14．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，已知通过点直线体现式为．
（1）求抛物线函数体现式及其顶点坐标；
（2）如图①，点是线段上一种动点，其中，作直线轴，交直线于，交抛物线于，作∥轴，交直线于点，四边形为矩形．设矩形周长为，写出与函数关系式，并求为何值时周长最大；
（3）如图②，在抛物线对称轴上与否存在点，使点构成三角形是以为腰等腰三角形．若存在，直接写出所有符合条件点坐标；若不存在，请阐明理由．

图① 图②
【答案】（1）抛物线体现式为y=-x2-2x+3，顶点C坐标为（-1,4）；
（2）L=-4m2-12m=-4（m+）2+9；
当m=-时，最大值L=9；
（3）点Q坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．
【解析】
试题分析：（1）由直线通过A、B两点可求得这两点坐标，然后裔入二次函数解析式即可求出b、c值，从而得到解析式，进而得到顶点坐标；
（2）由题意可表达出D、E坐标，从而得到DE长，由已知条件可得DE=EF，从而可表达出矩形DEFG周长L，运用二次函数性质可求得最大值；
（3）分别以点A、点B为圆心，以AB长为半径画圆，圆与对称轴交点即为所求点．
试题解析：（1）直线y=x+3与x轴相交于A（-3,0 ），与y轴相交于B（0,3）
抛物线y=-x2+bx+c通过A（-3,0 ），B（0,3），因此，
,
∴，
因此抛物线体现式为y=-x2-2x+3，
∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4,
因此，顶点坐标为C（-1,4）．
（2）由于D在直线y=x+3上，∴D（m,m+3）．
由于E在抛物线上，∴E（m，-m2-2m+3）．
DE=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m．
由题意可知，AO=BO,
∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45°，
∴DE=EF．
L=4DE=-4m2-12m．
L=-4m2-12m=-4（m+）2+9．
∵a=-4<0,
∴二次函数有最大值
当m=-时，最大值L=9．
（3）点Q坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．
考点：1、待定系数法；2、正方形判定；3、二次函数性质应用；4、等腰三角形．

15．抛物线，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线为“恒定”抛物线．
（1）求证：“恒定”抛物线必过x轴上一种定点A；
（2）已知“恒定”抛物线顶点为P，与x轴另一种交点为B，与否存在以Q为顶点，与x轴另一种交点为C“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请阐明理由．
【答案】（1）证明见试题解析；（2），或．
【解析】
试题分析：（1）由“恒定”抛物线定义，即可得出抛物线恒过定点（﹣1，0）；
（2）求出抛物线顶点坐标和B坐标，由题意得出PA∥CQ，PA=CQ；存在两种状况：①作QM⊥AC于M，则QM=OP=，证明Rt△QMC≌Rt△POA，MC=OA=1，得出点Q坐标，设抛物线解析式为，把点A坐标代入求出a值即可；
②顶点Q在y轴上，此时点C与点B重叠；证明△OQC≌△OPA，得出OQ=OP=，得出点Q坐标，设抛物线解析式为，把点C坐标代入求出a值即可．
试题解析：（1）由“恒定”抛物线，得：b=a+c，即a﹣b+c=0，∵抛物线，当x=﹣1时，y=0，∴“恒定”抛物线必过x轴上一种定点A（﹣1，0）；
（2）存在；理由如下：∵“恒定”抛物线，当y=0时，，解得：x=±1，∵A（﹣