2025年温州备战中考数学培优含解析之一元二次方程组.doc

-温州备战中考数学培优(含解析)之一元二次方程组

一、一元二次方程
1．使得函数值为零自变量值称为函数零点．例如，对于函数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数零点．
已知函数(m为常数)．
（1）当=0时，求该函数零点；
（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴交点分
别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM函数解析式．
【答案】（1）当=0时，该函数零点为和．
（2）见解析,
（3）AM解析式为．
【解析】
【分析】
（1）根据题中给出函数零点定义，将m=0代入y=x2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数零点；
（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；
（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B有关直线y=x-10对称点B′，连接AB′，求出点B′坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM函数解析式
【详解】
（1）当=0时，该函数零点为和．

（2）令y=0，得△=
∴无论取何值，方程总有两个不相等实数根．
即无论取何值，该函数总有两个零点．
（3）依题意有，
由解得．
∴函数解析式为．
令y=0，解得
∴A()，B(4,0)
作点B有关直线对称点B’，连结AB’，
则AB’与直线交点就是满足条件M点．
易求得直线与x轴、y轴交点分别为C（10,0），D（0,10）．
连结CB’，则∠BCD=45°
∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°
∴∠BCB’=90°
即B’（）
设直线AB’解析式为，则
，解得
∴直线AB’解析式为，
即AM解析式为．

2．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是有关x方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0两个实数根，求△ABC周长．
【答案】△ABC周长为10．
【解析】
【分析】
分a为腰长及底边长两种状况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再运用三角形周长公式可求出△ABC周长；当a=4为底边长时，由根鉴别式△=0可求出k值，将其代入原方程运用根与系数关系可求出b+c值，由b+c=a可得出此种状况不存在．综上即可得出结论．
【详解】
当a＝4为腰长时，将x＝4代入原方程，得：
解得：
当时，原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
∴此时△ABC周长为4+4+2＝10；
当a＝4为底长时，△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×4（k﹣）＝（2k﹣3）2＝0，
解得：k＝，
∴b+c＝2k+1＝4．
∵b+c＝4＝a，
∴此时，边长为a，b，c三条线段不能围成三角形．
∴△ABC周长为10．
【点睛】
本题考察了根鉴别式、根与系数关系、一元二次方程解、等腰三角形性质以及三角形三边关系，分a为腰长及底边长两种状况考虑是解题关键．

3．阅读下列材料
计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝
在上面问题中，用一种字母代表式子中某一部分，能达到简化计算目，这种思想措施叫做“换元法”，请用“换元法”处理下列问题：
（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4
（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3
【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2
【解析】
【分析】
（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．
（2）观测式子找相似部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最终要记得把t换为a．
（3）观测式子找相似部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到有关t一元二次方程，得到t两个解后要代回去求出4个x解．
【详解】
（1）令+＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝
（2）令a2﹣5a＝t，则：
原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2
（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：
（t+1）（t+3）＝3
t2+4t+3＝3
t（t+4）＝0
∴t1＝0，t2＝﹣4
当x2+4x＝0时，
x（x+4）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣4
当x2+4x＝﹣4时，
x2+4x+4＝0
（x+2）2＝0
解得：x3＝x4＝﹣2
【点睛】
本题考察用换元法进行整式运算，因式分解，解一元二次方程．运用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．

4．某中心都市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格发售，由于国家出台了有关调控房地产政策，开发商通过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元价格销售．
（1）求平均每次下调百分率；
（2）房产销售经理向开发商提议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理方案对购房者与否更优惠？为何？
【答案】（1）平均每次下调百分率为10%．（2）房产销售经理方案对购房者更优惠．
【解析】
【分析】
（1）根据运用一元二次方程处理增长率问题规定，设出未知数，然后列方程求解即可；
（2）分别求出两种方式增长率，然后比较即可.
【详解】
（1）设平均每次下调x%，则
7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调百分率为10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，∴房产销售经理方案对购房者更优惠．

5．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．
（1）通过和花店卖家议价，可在原标价基础上打八折购进，若在花店购置80个礼盒最多花费7680元，祈求出每个礼盒在花店最高标价；（用不等式解答）
（2）后来学生会理解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购置相似数量礼盒，但实际购置过程中，“大众点评”网上购置价格比原有价格上涨m%，购置数量和原计划同样：“美团”网上购置价格比原有价格下降了m元，购置数量在原计划基础上增长15m%，最终，在两个网站实际消费总额比原计划预算总额增长了m%，求出m值．
【答案】（1）120；（2）20．
【解析】
试题分析：（1）本题简介两种解法：
解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；
解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店最高标价；
（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购置礼盒数为a个礼盒，表达在“大众点评”网上购置实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+m%），在“美团”网上购置实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣m]（1+15m%）；根据“在两个网站实际消费总额比原计划预算总额增长了m%”列方程解出即可．
试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；
解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．
答：每个礼盒在花店最高标价是120元；
（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购置礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ m%），即72a（1+ m%）+a（72﹣ m）（1+15m%）=144a（1+ m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．
答：m值是20．
点睛：本题是一元二次方程应用，第二问有难度，对表达出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．

6．解方程：．
【答案】x=或x=1
【解析】
【分析】
设，则原方程变形为y2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y，再求x．
【详解】
解：设，则原方程变形为y2-2y-3=0．
解这个方程，得y1=-1,y2=3,
∴或．
解得x=或x=1．
经检查：x=或x=1都是原方程解．
∴原方程解是x=或x=1．
【点睛】
考察了还原法解分式方程，用换元法解某些复杂分式方程是比较简单一种措施，根据方程特点设出对应未知数，解方程可以使问题简单化，注意求出方程解后要验根．

7．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费状况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月水费分别是按哪种方案计算？并求出值.
月份

用水量（吨）

水费（元）

四月

35

59.5

五月

80

151

【答案】

8．解下列方程：
(1)2x2－4x－1＝0(配措施)；
(2)(x＋1)2＝6x＋6.
【答案】(1)x1＝1＋，x2＝1－ (2) x1＝－1，x2＝5.
【解析】
试题分析：（1）根据配措施解一元二次方程措施，先移项，再加减一次项系数二分之一平方，完毕配方，再根据直接开平措施解方程即可；
（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0形式，然后求解即可.
试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝，∴x2－2x＋1＝.
∴(x－1)2＝.
∴x－1＝±＝±.
∴x1＝1＋，x2＝1－.
(2)由题可得，(x＋1)2－6(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x＋1－6)＝0.
∴x＋1＝0或x＋1－6＝0.
∴x1＝－1，x2＝5.

9．解方程：(x＋1)(x－1)＝2x.
【答案】x1＝＋，x2＝－.
【解析】
试题分析：根据方程特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.
试题解析：(x＋1)(x－1)＝2x
x2-2x-1=0
∵a=1，b=-，c=-1
∴△=b2-4ac=8+4=12＞0
∴x==±
∴x1＝＋，x2＝－.

10．已知、是有关方程两个不相等实数根.
(1)求实数取值范围;
(2)已知等腰一边长为7，若、恰好是此外两边长，求这个三角形周长.
【答案】（1）m>2; (2)17
【解析】
试题分析：（1）由根鉴别式即可得；
（2）由题意得出方程另一根为7，将x=7代入求出x值，再根据三角形三边之间关系判断即可得．
试题解析：解：（1）由题意得△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=8m－16＞0，解得：m＞2；
（2）由题意，∵x1≠x2时，∴只能取x1=7或x2=7，即7是方程一种根，将x=7代入得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=4或m=10．
当m=4时，方程另一种根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17；
当m=10时，方程另一种根为15，此时不能构成三角形；
故三角形周长为17．
点睛：本题重要考察鉴别式、三角形三边之间关系，纯熟掌握韦达定理是解题关键．

11．已知有关x一元二次方程x2+(k+1)x+＝0 有两个不相等实数根．
(1)求k取值范围；
(2)当k取最小整数时，求此时方程解．
【答案】(1)k＞﹣；(2)x1＝0，x2＝﹣1．
【解析】
【分析】
(1)由题意得△＝(k+1)2﹣4×k2＞0，解不等式即可求得答案；
(2)根据k取最小整数，得到k＝0，列方程即可得到结论．
【详解】
(1)∵有关x一元二次方程x2+(k+1)x+＝0 有两个不相等实数根，
∴△＝(k+1)2﹣4×k2＞0，
∴k＞﹣；
(2)∵k取最小整数，
∴k＝0，
∴原方程可化为x2+x＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1．
【点睛】
本题考察了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)根鉴别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等实数根；当△＝0，方程有两个相等实数根；当△＜0，方程没有实数根．

12．已知有关x一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①
（1）若x＝﹣1是方程①一种根，求m值和方程①另一根；
（2）对于任意实数m，判断方程①根状况，并阐明理由．
【答案】（1）方程另一根为x=2；(2)方程总有两个不等实数根，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m值，然后解方程即可求得方程另一种根；
（2）运用一元二次方程根状况可以转化为鉴别式△与0关系进行判断．
(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1
∴2--2=0．
∴
∴另一根是2；
(2)∵，
∴方程①有两个不相等实数根．
考点：本题考察是根鉴别式，一元二次方程解定义，解一元二次方程
点评：解答本题关键是纯熟掌握一元二次方程根状况与鉴别式△关系：当△＞0，方程有两个不相等实数根；当△=0，方程有两个相等实数根；当△＜0，方程没有实数根

13．某产品每件成本为20元，通过市场调研发现，这种产品在未来20天内日销售量（单位：件）是有关时间（单位：天）一次函数，调研所获部分数据如下表：
时间/天
1
3
10
20
日销售量/件
98
94
80
60

这20天中，该产品每天价格（单位：元/件）与时间函数关系式为：（为整数），根据以上提供条件处理下列问题：
（1）直接写出有关函数关系式；
（2）这20天中哪一天日销售利润最大，最大销售利润是多少？
（3）在实际销售20天中，每销售一件商品就捐赠元（）给但愿工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后日销利润随时间增大而增大，求取值范围.
【答案】（1）；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）.
【解析】
【分析】
（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；
（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；
（3）根据20天中每天扣除捐赠后日销售利润，根据函数性质求a取值范围
【详解】
（1）设该函数解析式为:m=kx+b
由题意得:
解得:k=-2,b=100
∴有关函数关系式为:.
（2）设前20天日销售利润为元，由题意可知，

∵，∴当时，.
∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元.
（3）由题意得：
，
∴对称轴为：，
∵每天扣除捐赠后日销利润随时间增大而增大，且，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题重要考察了二次函数应用，纯熟掌握各函数性质和图象特征，掌握处理最值问题措施是解答本题关键.

14．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪颖你可以发现：
当a＞0，b＞0时：
∵（）2=a﹣2+b≥0
∴a+b≥2，当且仅当a=b时取等号．
请运用上述结论处理如下问题：
（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+最小值为　 　．当x＜0时，x+最大值为　 　；
（2）若y=，（x＞﹣1），求y最小值；
（3）如图，四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD面积分别为4和9，求四边形ABCD面积最小值．

【答案】（1）2；﹣2．（2）y最小值为9；（3）四边形ABCD面积最小值为25．
【解析】
【分析】
（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；当x＜0时，﹣x＞0，0，则也可以按公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算；
（2）将y分子变形，分别除以分母，展开，将含x项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，由三角形面积公式可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x式子表达出S△AOD，再表达出四边形面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
【详解】
（1）当x＞0时，x22；
当x＜0时，﹣x＞0，0．
∵﹣x22，∴则x（﹣x）≤﹣2，∴当x＞0时，x最小值为 2．当x＜0时，x最大值为﹣2．
故答案为：2，﹣2．
（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴y=（x+1）5≥25=4+5=9，∴y最小值为9．
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，∴x：9=4：S△AOD，∴S△AOD，∴四边形ABCD面积=4+9+x13+225．
当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积最小值为25．
【点睛】
本题考察了配措施在最值问题中应用．对不能直接应用公式，需要对变形才可以应用．

15．如图，在四边形中， ， ， ， ， ，动点P从点D出发，沿线段 方向以每秒2个单位长速度运动；动点Q从点 C出发，在线段 上以每秒1个单位长速度向点 运动；点P， 分别从点D，C同步出发，当点 运动到点 时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒）.

（1）当 时，求 面积；
（2）若四边形为平行四边形，求运动时间 .
（3）当 为何值时，以 B、P、Q为顶点三角形是等腰三角形？
【答案】（1）；（2） ；（3）或.
【解析】
【分析】
（1）过点作于，则PM=DC，当t=2时，算出BQ，求出面积即可；（2）当四边形是平行四边形时，，即，解出即可；（3）以 B、P、Q为顶点三角形是等腰三角形，分三种状况，①，②，③分别求出t即可.
【详解】
解 ：（1）过点作于，则四边形为矩形.

∴，
∵，
当t=2时，则BQ=14，
则=×14×12=84；
（2）当四边形是平行四边形时，,
即
解得：
∴当时，四边形是平行四边形.
（3）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点三角形是等腰三角形，可以分为如下三种状况：
①若，在 中，，由得 解得： ；
②若，在 中，，由得 ，即，
此时， ,
因此此方程无解，因此 ；
③若，由得 ,
得 ，（不合题意，舍去）；
综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点三角形是等腰三角形.
【点睛】
本题是对四边形即可中动点问题考察，纯熟掌握动点中线段表达、平行四边形和等腰三角形性质及判断是处理本题关键，难度适中.