备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优易错难题篇附答案.doc

-备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优 易错 难题篇附答案(1)

一、二次函数
1．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天销售利润为w元．
（1）求w与x之间函数关系式；
（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？
【答案】（1）w=﹣2x2+480x﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元
【解析】
【分析】
（1）用每件利润乘以销售量即可得到每天销售利润，即 然后化为一般式即可；
（2）把（1）中解析式进行配方得到顶点式然后根据二次函数最值问题求解；
（3）求所对应自变量值，即解方程然后检查即可.
【详解】
（1）

w与x函数关系式为：
（2）

∴当时，w有最大值．w最大值为3200．
答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元．
（3）当时，
解得：
∵想卖得快，
不符合题意，应舍去．
答：销售单价应定为100元．

2．如图，已知抛物线通过A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

（1）求该抛物线解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上一种动点，求△PBC周长最小值；
（3）如图（2），若E是线段AD上一种动点（ E与A、D不重叠），过E点作平行于y轴直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E横坐标为m，△ADF面积为S．
①求S与m函数关系式；
②S与否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E坐标； 若不存在，请阐明理由．
【答案】（1）.
（2）.
（3）①.
②当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E坐标为（﹣2，2）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象通过三点，用待定系数法确定二次函数解析式即可.
（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC周长最小，根据点坐标求得对应线段长即可.
（3）设点E横坐标为m，表达出E（m，2m+6），F（m，），最终表达出EF长，从而表达出S于m函数关系，然后求二次函数最值即可.
【详解】
解：（1）∵抛物线通过A（－3，0），B（1，0），
∴可设抛物线交点式为.
又∵抛物线通过C（0，3），∴.
∴抛物线解析式为：，即.
（2）∵△PBC周长为：PB+PC+BC，且BC是定值.
∴当PB+PC最小时，△PBC周长最小.
∵点A、点B有关对称轴I对称，
∴连接AC交l于点P，即点P为所求点.

∵AP=BP，∴△PBC周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.
∵A（－3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=.
∴△PBC周长最小是：.
（3）①∵抛物线顶点D坐标为（﹣1，4），A（﹣3，0），
∴直线AD解析式为y=2x+6
∵点E横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，）
∴.
∴.
∴S与m函数关系式为.
②，
∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E坐标为（﹣2，2）.

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．
（Ⅰ）求二次函数解析式及点A，B坐标；
（Ⅱ）设点Q在第一象限抛物线上，若其有关原点对称点Q′也在抛物线上，求点Q坐标；
（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N坐标．

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q（，4）；（3）M（1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．
【解析】
【分析】
(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；
(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其有关原点对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m值，同步注意题干条件“Q在第一象限抛物线上”；
(3)运用平移AC思绪，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种状况分类讨论即可.
【详解】
（Ⅰ）设二次函数解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，
∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，
令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，
解得x=﹣1或5，
∴A（﹣1，0），B（5，0）．
（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．
把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，
得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，
∴m=或（舍弃），
∴Q（，）．
（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．

①当MK=OA，NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形．
∵此时点M横坐标为1，
∴y=8，
∴M（1，8），N（2，13），
②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形，
此时M′横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）．
【点睛】
本题重要考察了二次函数应用，第3问中理解通过平移AC可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.

4．（12分）如图所示是隧道截面由抛物线和长方形构成，长方形长是12 m，宽是4 m．按照图中所示直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表达，且抛物线上点C到OB水平距离为3 m，到地面OA距离为m.
（1）求抛物线函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，假如隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面高度相等，假如灯离地面高度不超过8m，那么两排灯水平距离最小是多少米？

【答案】（1）抛物线函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA距离为10 m；(2)两排灯水平距离最小是4 m．
【解析】
【详解】
试题分析：根据点B和点C在函数图象上，运用待定系数法求出b和c值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x值，然后进行做差得出最小值．
试题解析：（1）由题知点在抛物线上
因此，解得，因此
因此，当时，
答：，拱顶D到地面OA距离为10米
（2）由题知车最外侧与地面OA交点为（2,0）（或（10,0））
当x=2或x=10时，，因此可以通过
（3）令，即，可得，解得

答：两排灯水平距离最小是
考点：二次函数实际应用．

5．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）通过点B，交x轴正半轴于点C．
（1）求该抛物线函数体现式；
（2）已知点M是抛物线上一种动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M横坐标为m，△ABM面积为S，求S与m函数体现式，并求出S最大值及此时动点M坐标；
（3）将点A绕原点旋转得点A′，连接CA′、BA′，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA′以每秒3个单位速度运动到A′，再沿线段A′C以每秒1个单位长度速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时至少是多少？

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S与m函数体现式是S＝，S最大值是，此时动点M坐标是（，）；（3）点M在整个运动过程中用时至少是秒．
【解析】
【分析】
（1）首先求出B点坐标，根据B点坐标即可计算出二次函数a值，进而即可计算出二次函数解析式;
（2）计算出C点坐标，设出M点坐标，再根据△ABM面积为S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB，化简成二次函数，再根据二次函数求解最大值即可.
（3）首先证明△OHA′∽△OA′B，再结合A′H+A′C≥HC即可计算出t最小值.
【详解】
（1）将x＝0代入y＝﹣3x+3，得y＝3，
∴点B坐标为（0，3），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）通过点B，
∴3＝a+4，得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）将y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得x1＝﹣1，x2＝3，
∴点C坐标为（3，0），
∵点M是抛物线上一种动点，并且点M在第一象限内，点M横坐标为m，
∴0＜m＜3，点M坐标为（m，﹣m2+2m+3），
将y＝0代入y＝﹣3x+3，得x＝1，
∴点A坐标（1，0），
∵△ABM面积为S，
∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB＝，
化简，得
S＝＝，
∴当m＝时，S获得最大值，此时S＝，此时点M坐标为（，），
即S与m函数体现式是S＝，S最大值是，此时动点M坐标是（，）；
（3）如右图所示，取点H坐标为（0，），连接HA′、OA′，
∵∠HOA′＝∠A′OB，，，
∴△OHA′∽△OA′B，
∴，
即，
∵A′H+A′C≥HC＝，
∴t≥，
即点M在整个运动过程中用时至少是秒．

【点睛】
本题重要考察抛物线性质，关键在于设元，尚有就是（3）中运用替代法计算t取值范围，难度系数较大，是中考压轴题.

6．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+3通过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y轴交于点C
.
（1）求抛物线体现式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺左右两边所在直线与抛物线相交于P、 Q两点（点P在点Q左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ.
①若点P横坐标为，求△DPQ面积最大值，并求此时点D 坐标；
②直尺在平移过程中，△DPQ面积与否有最大值？若有，求出面积最大值；若没有，请阐明理由.
【答案】（1）抛物线y=-x2+2x+3；（2）①点D（ ）；②△PQD面积最大值为8
【解析】
分析：（1）根据点A、B坐标，运用待定系数法即可求出抛物线体现式；
（2）（I）由点P横坐标可得出点P、Q坐标，运用待定系数法可求出直线PQ体现式，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，设点D坐标为（x，-x2+2x+3），则点E坐标为（x，-x+），进而即可得出DE长度，运用三角形面积公式可得出S△DPQ=-2x2+6x+，再运用二次函数性质即可处理最值问题；
（II）假设存在，设点P横坐标为t，则点Q横坐标为4+t，进而可得出点P、Q坐标，运用待定系数法可求出直线PQ体现式，设点D坐标为（x，-x2+2x+3），则点E坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），进而即可得出DE长度，运用三角形面积公式可得出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t，再运用二次函数性质即可处理最值问题．
详解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：
，解得：，
∴抛物线体现式为y=-x2+2x+3．
（2）（I）当点P横坐标为-时，点Q横坐标为，
∴此时点P坐标为（-，），点Q坐标为（，-）．
设直线PQ体现式为y=mx+n，
将P（-，）、Q（，-）代入y=mx+n，得：
，解得：，
∴直线PQ体现式为y=-x+．
如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，

设点D坐标为（x，-x2+2x+3），则点E坐标为（x，-x+），
∴DE=-x2+2x+3-（-x+）=-x2+3x+，
∴S△DPQ=DE•（xQ-xP）=-2x2+6x+=-2（x-）2+8．
∵-2＜0，
∴当x=时，△DPQ面积取最大值，最大值为8，此时点D坐标为（，）．
（II）假设存在，设点P横坐标为t，则点Q横坐标为4+t，
∴点P坐标为（t，-t2+2t+3），点Q坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），
运用待定系数法易知，直线PQ体现式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3．
设点D坐标为（x，-x2+2x+3），则点E坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），
∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，
∴S△DPQ=DE•（xQ-xP）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．
∵-2＜0，
∴当x=t+2时，△DPQ面积取最大值，最大值为8．
∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积最大值为8．
点睛：本题考察了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点坐标特征、三角形面积以及二次函数最值，解题关键是：（1）根据点坐标，运用待定系数法求出二次函数体现式；（2）（I）运用三角形面积公式找出S△DPQ=-2x2+6x+；（II）运用三角形面积公式找出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t．

7．已知，抛物线y=x2+2mx(m为常数且m≠0）．
（1）判断该抛物线与x轴交点个数，并阐明理由．
（2）若点A（-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M为抛物线顶点，求△ABM面积．
（3）若点（2，p)，（3，g），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r，求m取值范围．
【答案】（1）抛物线与x轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM面积为8；（3）m取值范围m>-2.5
【解析】
【分析】
（1）首先算出根鉴别式b2-4ac值，根据偶多次幂非负性，判断该值一定不小于0，从而根据抛物线与x轴交点个数与根鉴别式关系即可得出结论；
（2）根据抛物线对称性及A,B两点坐标特点求出抛物线对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m值，进而求出抛物线解析式，得出A,B,M三点坐标，根据三角形面积计算措施，即可算出答案；
（3）措施一（图象法）：根据抛物线对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m取值范围，综上所述，求出m取值范围；措施二（代数法）：将三点横坐标分贝代入抛物线解析式，用含m式子表达出p,g,r，再代入 p<g<r 即可列出有关m不等式组，求解即可。
【详解】
（1）解：抛物线与x轴有2个交点。理由如下：
∵m≠0，∴b2-4ac =（2m）2-4×1×0=4m2>0．
∴抛物线与x轴有2个交点
（2）解：∵点A（-n+5，0），B(n-1，0)在抛物线上
∴抛物线对称轴x=
∴ =2,即m=-2．
∴抛物线体现式为y=x2-4x．
∴点A（0，0），点B（4，0）或点A（4，0），点B（0，0），点M（2，-4）
∴△ABM面积为×4×4=8
（3）解：措施一（图象法）：
∵抛物线y=x2+2mx对称轴为x=-m，开口向上。
∴当对称轴在直线x=3右边时，显然不符合题目条件（如图1）．

当对称轴在直线x=2左边时，显然符合题目条件（如图2）．

此时，-m<2，即m>-2．
当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3）．

即m>-2.5．
综上所述，m取值范围m>-2.5
措施二（代数法）：
由已知得，p=4+4m，g=9+6m，r=16+8m．
∵p<q<r, ∴4+4m<9+6m<16+8m,解得m＞-2.5.
【点睛】
二次函数综合应用题。与X轴交点状况当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一种交点。Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。纯熟运用顶点坐标（-，）

8．如图1，在矩形ABCD中，DB＝6，AD＝3，在Rt△PEF中，∠PEF＝90°，EF＝3，PF＝6，△PEF（点F和点A重叠）边EF和矩形边AB在同一直线上．现将Rt△PEF从A以每秒1个单位速度向射线AB方向匀速平移，当点F与点B重叠时停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）如图1，连接PD，填空：PE＝　 　，∠PFD＝　 　度，四边形PEAD面积是　 　；
（2）如图2，当PF通过点D时，求△PEF运动时间t值；
（3）在运动过程中，设△PEF与△ABD重叠部分面积为S，请直接写出S与t函数关系式及对应t取值范围．

【答案】（1）300，；（2）；（3）见解析.
【解析】
分析：（1）根据锐角三角形函数可求出角度数，然后根据勾股定理求出PE长，再根据梯形面积公式求解.
（2）当PF通过点D时，PE∥DA，由EF=3，PF=6，可得∠EPD=∠ADF=30°，用三角函数计算可得AF=t=；
（3）根据题意，分三种状况：①当0≤t＜时，②≤t＜3时，③3≤t≤6时，根据三角形、梯形面积求法，求出S与t函数关系式即可.
详解：（1）∵在Rt△PEF中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6
∴sin∠P=
∴∠P=30°
∵PE∥AD
∴∠PAD=300，
根据勾股定理可得PE=3，
因此S四边形PEAD=×（3+3）×3=；
（2）当PF通过点D时，PE∥DA，由EF=3，PF=6，得∠EPF=∠ADF=30°，
在Rt△ADF中，由AD=3，得AF=，因此t= ；
（3）分三种状况讨论：
①当0≤t＜时， PF交AD于Q，∵AF=t，AQ=t，∴S=×t×t=；
②当≤t＜3时，PF交BD于K，作KH⊥AB于H，∵AF=t，∴BF=3-t，S△ABD=，
∵∠FBK=∠FKB，∴FB=FK=3-t，KH=KF×sin600=,∴S=S△ABD﹣S△FBK =
③当3≤t≤3时，PE与BD交O，PF交BD于K，∵AF=t，∴AE=t-3，BF=3-t,
BE=3-t+3，OE=BE×tan300=，∴S=．
点睛：此题重要考察了几何变换综合题，用到知识点有直角三角形性质，三角函数值，三角形面积，图形平移等，考察了分析推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，要纯熟掌握，比较困难.

9．如图，已知抛物线图象与x轴一种交点为B（5，0），另一种交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。

（1）求直线BC与抛物线解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN最大值；
（3）在（2）条件下，MN获得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ面积为S1，△ABN面积为S2，且S1=6S2，求点P坐标。
【答案】（1）
（2）
（3）P坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）
【解析】
【分析】
（1）由B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线BC与抛物线解析式。
（2）构造MN有关点M横坐标函数关系式，应用二次函数最值原理求解。
（3）根据S1=6S2求得BC与PQ距离h，从而求得PQ由BC平移距离，根据平移性质求得PQ解析式，与抛物线联立，即可求得点P坐标。
【详解】
解：（1）设直线BC解析式为，
将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。
∴直线BC解析式为。
将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。
∴抛物线解析式。
（2）∵点M是抛物线在x轴下方图象上动点，∴设M。
∵点N是直线BC上与点M横坐标相似点，∴N。
∵当点M在抛物线在x轴下方时，N纵坐标总不小于M纵坐标。
∴。
∴MN最大值是。
（3）当MN获得最大值时，N。
∵对称轴是，B（5，0），∴A（1，0）。∴AB=4。
∴。
由勾股定理可得，。
设BC与PQ距离为h，则由S1=6S2得：，即。
如图，过点B作平行四边形CBPQ高BH，过点H作x轴垂线交点E ，则BH=，EH是直线BC沿y轴方向平移距离。

易得，△BEH是等腰直角三角形，
∴EH=。
∴直线BC沿y轴方向平移6个单位得PQ解析式：
或。
当时，与联立，得
，解得或。此时，点P坐标为（－1，12）或（6，5）。
当时，与联立，得
，解得或。此时，点P坐标为（2，－3）或（3，－4）。
综上所述，点P坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。

10．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）“衍生直线”；有一种顶点在抛物线上，另有一种顶点在y轴上三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线与其“衍生直线”交于A、B两点（点A在点B左侧），与x轴负半轴交于点C．

（1）填空：该抛物线“衍生直线”解析式为 ，点A坐标为 ，点B坐标为 ；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C对称点为N，若△AMN为该抛物线“衍生三角形”，求点N坐标；
（3）当点E在抛物线对称轴上运动时，在该抛物线“衍生直线”上，与否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F坐标；若不存在，请阐明理由．
【答案】（1）；（-2，）；（1,0）；
（2）N点坐标为（0，），（0，）；
（3）E（-1，-）、F（0，）或E（-1，），F（-4，）
【解析】
【分析】
（1）由抛物线“衍生直线”懂得二次函数解析式a即可；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求出ON长，可求出N点坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形边时，当AC为平行四边形对角线时，求出满足条件E、F坐标即可
【详解】
（1）∵，a=，则抛物线“衍生直线”解析式为；
联立两解析式求交点，解得或，
∴A（-2，），B（1,0）；
（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，
在中，令y=0可求得x= -3或x=1，
∴C（-3,0），且A（-2，），
∴AC=
由翻折性质可知AN=AC=，
∵△AMN为该抛物线“衍生三角形”，
∴N在y轴上，且AD=2，
在Rt△AND中，由勾股定理可得
DN=，
∵OD=，
∴ON=或ON=，
∴N点坐标为（0，），（0，）；

（3）①当AC为平行四边形边时，如图2 ，过F作对称轴垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，
∴∠ ACK=∠ EFH，
在△ ACK和△ EFH中

∴△ ACK≌△ EFH，
∴FH=CK=1，HE=AK=，
∵抛物线对称轴为x=-1，
∴ F点横坐标为0或-2，
∵点F在直线AB上，
∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，
∴E到y轴距离为EH-OF=-=，即E纵坐标为-，
∴ E（-1，-）；
当F点横坐标为-2时，则F与A重叠，不合题意，舍去；
②当AC为平行四边形对角线时，
∵ C（-3,0），且A（-2，），
∴线段AC中点坐标为（-2.5， ），
设E（-1，t），F（x，y），
则x-1=2×（-2.5），y+t=，
∴x= -4，y=-t，
-t=-×（-4）+，解得t=，
∴E（-1，），F（-4，）；
综上可知存在满足条件点F，此时E（-1，-）、（0，）或E（-1，），F（-4，）

【点睛】
本题是对二次函数综合知识考察，纯熟掌握二次函数，几何图形及辅助线措施是处理本题关键，属于压轴题

11．书本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形一边在BC上，其他两个顶点分别在AB，AC上．问加工成正方形零件边长是多少mm？
小颖解得此题答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下问题．
（1）假如原题中要加工零件是一种矩形，且此矩形是由两个并排放置正方形所构成，如图1，此时，这个矩形零件两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）假如原题中所要加工零件只是一种矩形，如图2，这样，此矩形零件两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件两条边长．

【答案】（1）mm，mm；（2）PN=60mm，mm．
【解析】
【分析】
(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm），根据平行得出△APN和△ABC相似，根据线段比值得出y值，然后得出边长；(2)、根据第一题同样措施得出y与x函数关系式，然后求出S与x函数关系式，根据二次函数性质得出最大值.
【详解】
(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm）
∵PN∥BC,
∴=，△APN∽△ABC
∴=
∴=
∴=解得 y=
∴2y=
∴这个矩形零件两条边长分别为mm，mm
(2)、设PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面积为S ，则AE=80-x（mm）．.
由（1）知=
∴=
∴ y=
则S=xy===
∵
∴ S有最大值
∴当x=40时，S最大=2400（mm2） 此时，y==60 ．
∴面积达到这个最大值时矩形零件两边PQ、PN长分别是40 mm ，60 mm．
考点：三角形相似应用

12．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c通过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重叠），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．

（1）求抛物线解析式；
（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当时，求t值；
（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t值．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）t值为；（3）当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t＝﹣1．
【解析】
【分析】
（1）求直线y=-x+4与x轴交点B，与y轴交点C，用待定系数法即求得抛物线解析式．
（2）根据点B、C坐标求得∠OBC=45°，又PE⊥x轴于点E，得到△PEB是等腰直角三角形，由t求得BE=PE=t，即可用t表达各线段，得到点M横坐标，进而用m表达点M纵坐标，求得MP长．根据MP∥CN可证，故有，把用t表达MP、NC代入即得到有关t方程，求解即得到t值．
（3）由于不确定等腰△PDM底和腰，故需分3种状况讨论：①若MD=MP，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME，把含t式子代入并解方程即可；③若MP=DP，则∠PMD=∠PDM，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF进而得CF=CD．用t表达M坐标，求直线AM解析式，求得AM与y轴交点F坐标，即能用t表达CF长．把直线AM与直线BC解析式联立方程组，解得x值即为点D横坐标．过D作y轴垂线段DG，得等腰直角△CDG，用DG即点D横坐标，进而可用t表达CD长．把含t式子代入CF=CD，解方程即得到t值．
【详解】
（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4
∴C（0，4）
当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4
∴B（4，0）
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c通过B，C两点
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4
（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°
∴OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
∵ME⊥x轴于点E，PB＝t
∴∠BEP＝90°
∴Rt△BEP中，
∴，
∴
∵点M在抛物线上
∴，
∴ ，
∵PN⊥y轴于点N
∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°
∴四边形ONPE是矩形
∴ON＝PE＝t
∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t
∵MP∥CN
∴△MPQ∽△NCQ
∴
∴
解得：（点P不与点C重叠，故舍去）
∴t值为
（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE
∴∠BPE＝∠PBE＝45°
∴∠MPD＝∠BPE＝45°
①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45°
∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾
②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45°
∵∠AEM＝90°
∴AE＝ME
∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4
∴A（﹣1，0）
∵由（2）得，xM＝4﹣t，ME＝yM＝﹣t2+5t
∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t
∴5﹣t＝﹣t2+5t
解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）

③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM
如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G
∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF
∴CF＝CD
∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m
∴ 解得： ，
∴直线AM：
∴F（0，t）
∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t
∵tx+t＝﹣x+4，解得：，
∴，
∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°
∴，
∴
解得：
综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或．
【点睛】
本题考察了二次函数图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形性质，相似三角形判定和性质，波及等腰三角形分类讨论，要充足运用等腰性质作为列方程根据．

13．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+3通过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y轴交于点C
.
（1）求抛物线体现式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺左右两边所在直线与抛物线相交于P、 Q两点（点P在点Q左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ.
①若点P横坐标为，求△DPQ面积最大值，并求此时点D 坐标；
②直尺在平移过程中，△DPQ面积与否有最大值？若有，求出面积最大值；若没有，请阐明理由.
【答案】（1）抛物线y=-x2+2x+3；（2）①点D（ ）；②△PQD面积最大值为8
【解析】
分析：（1）根据点A、B坐标，运用待定系数法即可求出抛物线体现式；
（2）（I）由点P横坐标可得出点P、Q坐标，运用待定系数法可求出直线PQ体现式，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，设点D坐标为（x，-x2+2x+3），则点E坐标为（x，-x+），进而即可得出DE长度，运用三角形面积公式可得出S△DPQ=-2x2+6x+，再运用二次函数性质即可处理最值问题；
（II）假设存在，设点P横坐标为t，则点Q横坐标为4+t，进而可得出点P、Q坐标，运用待定系数法可求出直线PQ体现式，设点D坐标为（x，-x2+2x+3），则点E坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），进而即可得出DE长度，运用三角形面积公式可得出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t，再运用二次函数性质即可处理最值问题．
详解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：
，解得：，
∴抛物线体现式为y=-x2+2x+3．
（2）（I）当点P横坐标为-时，点Q横坐标为，
∴此时点P坐标为（-，），点Q坐标为（，-）．
设直线PQ体现式为y=mx+n，
将P（-，）、Q（，-）代入y=mx+n，得：
，解得：，
∴直线PQ体现式为y=-x+．
如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，

设点D坐标为（x，-x2+2x+3），则点E坐标为（x，-x+），
∴DE=-x2+2x+3-（-x+）=-x2+3x+，
∴S△DPQ=DE•（xQ-xP）=-2x2+6x+=-2（x-）2+8．
∵-2＜0，
∴当x=时，△DPQ面积取最大值，最大值为8，此时点D坐标为（，）．
（II）假设存在，设点P横坐标为t，则点Q横坐标为4+t，
∴点P坐标为（t，-t2+2t+3），点Q坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），
运用待定系数法易知，直线PQ体现式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3．
设点D坐标为（x，-x2+2x+3），则点E坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），
∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，
∴S△DPQ=DE•（xQ-xP）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．
∵-2＜0，
∴当x=t+2时，△DPQ面积取最大值，最大值为8．
∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积最大值为8．
点睛：本题考察了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点坐标特征、三角形面积以及二次函数最值，解题关键是：（1）根据点坐标，运用待定系数法求出二次函数体现式；（2）（I）运用三角形面积公式找出S△DPQ=-2x2+6x+；（II）运用三角形面积公式找出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t．

14．如图，抛物线通过x轴上点A（1，0）和点B及y轴上点C，通过B、C两点直线为．
①求抛物线解析式．
②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位速度向B运动，同步点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位速度向C运动．当其中一种点抵达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE面积最大并求出最大值．
③过点A作于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重叠）作直线AM平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点四边形是平行四边形，求点N横坐标．

【答案】①；②当时，△PBE面积最大，最大值为；③点N横坐标为：4或或．
【解析】
【分析】
①点B、C在直线为上，则B（﹣n，0）、C（0，n），点A（1，0）在抛物线上，因此，解得，，因此抛物线解析式：；
②先求出点P到BC高h为，于是，当时，△PBE面积最大，最大值为；
③由①知，BC所在直线为：，因此点A到直线BC距离，过点N作x轴垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．设，则、，易证△PQN为等腰直角三角形，即，，Ⅰ．，因此解得（舍去），，Ⅱ．，解得，（舍去），Ⅲ．，，解得（舍去），．
【详解】
解：①∵点B、C在直线为上，
∴B（﹣n，0）、C（0，n），
∵点A（1，0）在抛物线上，
∴，
∴，，
∴抛物线解析式：；
②由题意，得，
，，
由①知，，
∴点P到BC高h为，
∴，
当时，△PBE面积最大，最大值为；
③由①知，BC所在直线为：，
∴点A到直线BC距离，
过点N作x轴垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．
设，则、，
易证△PQN为等腰直角三角形，即，
∴，
Ⅰ．，
∴
解得，，
∵点A、M、N、Q为顶点四边形是平行四边形，
∴；
Ⅱ．，
∴
解得，，
∵点A、M、N、Q为