2025年中考数学知识点过关培优易错难题训练∶一元二次方程组含答案解析.doc

-中考数学知识点过关培优 易错 难题训练∶一元二次方程组含答案解析

一、一元二次方程
1．如图，A、B、C、D为矩形4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s速度从点A、C同步出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同步出发，问通过2s时P、Q两点之间距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同步出发，问通过多长时间P、Q两点之间距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同步出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q停止而停止移动，试探求通过多长时间△PBQ面积为12cm2？

【答案】（1）PQ=6cm；（2）s或s；（3）通过4秒或6秒△PBQ面积为 12cm2．
【解析】
试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表达出PQ长度，运用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出有关x方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．
试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．

则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴PQ=6cm；
∴通过2s时P、Q两点之间距离是6cm；
（2）设x秒后，点P和点Q距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x1=，x2=；
∴通过s或sP、Q两点之间距离是10cm；
（3）连接BQ．设通过ys后△PBQ面积为12cm2．
①当0≤y≤时，则PB=16-3y，
∴PB•BC=12，即×（16-3y）×6=12，
解得y=4；
②当＜x≤时，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则
BP•CQ=（3y-16）×2y=12，
解得y1=6，y2=-（舍去）；
③＜x≤8时，
QP=CQ-PQ=22-y，则
QP•CB=（22-y）×6=12，
解得y=18（舍去）．
综上所述，通过4秒或6秒△PBQ面积为 12cm2．
考点：一元二次方程应用．

2．使得函数值为零自变量值称为函数零点．例如，对于函数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数零点．
已知函数(m为常数)．
（1）当=0时，求该函数零点；
（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴交点分
别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM函数解析式．
【答案】（1）当=0时，该函数零点为和．
（2）见解析,
（3）AM解析式为．
【解析】
【分析】
（1）根据题中给出函数零点定义，将m=0代入y=x2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数零点；
（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；
（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B有关直线y=x-10对称点B′，连接AB′，求出点B′坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM函数解析式
【详解】
（1）当=0时，该函数零点为和．

（2）令y=0，得△=
∴无论取何值，方程总有两个不相等实数根．
即无论取何值，该函数总有两个零点．
（3）依题意有，
由解得．
∴函数解析式为．
令y=0，解得
∴A()，B(4,0)
作点B有关直线对称点B’，连结AB’，
则AB’与直线交点就是满足条件M点．
易求得直线与x轴、y轴交点分别为C（10,0），D（0,10）．
连结CB’，则∠BCD=45°
∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°
∴∠BCB’=90°
即B’（）
设直线AB’解析式为，则
，解得
∴直线AB’解析式为，
即AM解析式为．

3．某中心都市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格发售，由于国家出台了有关调控房地产政策，开发商通过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元价格销售．
（1）求平均每次下调百分率；
（2）房产销售经理向开发商提议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理方案对购房者与否更优惠？为何？
【答案】（1）平均每次下调百分率为10%．（2）房产销售经理方案对购房者更优惠．
【解析】
【分析】
（1）根据运用一元二次方程处理增长率问题规定，设出未知数，然后列方程求解即可；
（2）分别求出两种方式增长率，然后比较即可.
【详解】
（1）设平均每次下调x%，则
7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调百分率为10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，∴房产销售经理方案对购房者更优惠．

4．解方程：（2x+1）2=2x+1．
【答案】x=0或x=.
【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程解法，直接先移项，再运用ab=0关系求解方程即可.
试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，
∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，
则x=0或2x+1=0，
解得：x=0或x=﹣．

5．已知有关x一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．
（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等实数根；
（2）若方程一种根是2，求m值及方程另一种根．
【答案】（1）证明见解析；（2）m值为±，方程另一种根是5．
【解析】
【分析】
（1）先把方程化为一般式，运用根鉴别式△=b2-4ac证明判断即可；
（2）根据方程根，运用代入法即可求解m值，然后还原方程求出另一种解即可.
【详解】
（1）证明：
∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，
∴x2﹣7x+12﹣m2=0，
∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，
∵m2≥0，
∴△＞0，
∴对任意实数m，方程总有2个不相等实数根；
（2）解：∵方程一种根是2，
∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，
∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，
即m值为±，方程另一种根是5．
【点睛】
此题重要考察了一元二次方程根鉴别式，纯熟掌握一元二次方程根鉴别式与根关系是关键.
当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等实数根；
当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等实数根；
当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.

6．解方程：
【答案】
【解析】试题分析：先对方程右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.
试题解析：因式分解，得

开平方，得
，或
解得

7．已知有关一元二次方程.
（1）当取什么值时，方程有两个不相等实数根；
（2）当时，求方程解.
【答案】（1）当且时，方程有两个不相等实数根；（2），.
【解析】
【分析】
（1）方程有两个不相等实数根，，代入求m取值范围即可，注意二次项系数≠0；
（2）将代入原方程，求解即可.
【详解】
（1）由题意得： =，解得.
由于，即当且时，方程有两个不相等实数根.
（2）把带入得，解得，.
【点睛】
本题考察一元二次方程根状况以及求解，纯熟掌握根鉴别式以及一元二次方程求解是加大本题关键.

8．（问题）如图①，在a×b×c（长×宽×高，其中a，b，c为正整数）个小立方块构成长方体中，长方体个数是多少？
（探究）

探究一：
（1）如图②，在2×1×1个小立方块构成长方体中，棱AB上共有1+2==3条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体个数为3×1×1=3．
（2）如图③，在3×1×1个小立方块构成长方体中，棱AB上共有1+2+3==6条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体个数为6×1×1=6．
（3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块构成长方体中，棱AB上共有1+2+…+a=线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体个数为______．
探究二：
（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块构成长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有1+2==3条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体个数为×3×1=．
（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块构成长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有1+2+3==6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体个数为______．
（6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块构成长方体中，长方体个数为______．

探究三：
（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块构成长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有
条线段，棱AD上有1+2==3条线段，则图中长方体个数为××3=．
（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块构成长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有1+2+3==6条线段，则图中长方体个数为______．

（结论）如图①，在a×b×c个小立方块构成长方体中，长方体个数为______．
（应用）在2×3×4个小立方块构成长方体中，长方体个数为______．
（拓展）
假如在若干个小立方块构成正方体中共有1000个长方体，那么构成这个正方体小立方块个数是多少？请通过计算阐明你结论．
【答案】探究一：（3） ；探究二：（5）3a（a+1）；（6） ；探究三：（8） ；【结论】：① ；【应用】： 180；【拓展】：构成这个正方体小立方块个数是64，见解析.
【解析】
【分析】
（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上线段条数，即可得出结论；
（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上线段条数，即可得出结论；
（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上线段条数，即可得出结论；
（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上线段条数，即可得出结论；
(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上线段条数，即可得出结论；
(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出成果，即可得出结论；
(拓展)根据(结论)中得出成果，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】
解：探究一、（3）棱AB上共有线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，
则图中长方体个数为 ×1×1= ，
故答案为 ；
探究二：（5）棱AB上有 条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，
则图中长方体个数为 ×6×1=3a（a+1），
故答案为3a（a+1）；
（6）棱AB上有 条线段，棱AC上有条线段，棱AD上只有1条线段，
则图中长方体个数为 ××1=，
故答案为；
探究三：（8）棱AB上有 条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有6条线段，
则图中长方体个数为 ××6=，
故答案为；
(结论)棱AB上有 条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有条线段，
则图中长方体个数为××=，
故答案为；
(应用)由(结论)知，，
∴在2×3×4个小立方块构成长方体中，长方体个数为=180，
故答案为为180；
拓展：设正方体每条棱上均有x个小立方体，即a=b=c=x，
由题意得
=1000，
∴[x（x+1）]3=203，
∴x（x+1）=20，
∴x1=4，x2=-5（不合题意，舍去）
∴4×4×4=64
因此构成这个正方体小立方块个数是64．
【点睛】
解此题关键在于根据已知得出规律，题目很好，但有一定难度，是一道比较容易出错题目．

9．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m篱笆和这面墙围成一种矩形花圃，如图所示．
（1）能围成面积是126m2矩形花圃吗？若能，请举例阐明；若不能，请阐明理由．
（2）若篱笆再增长4m，围成矩形花圃面积能达到170m2吗？请阐明理由．

【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增长4m，围成矩形花圃面积不能达到170m2．
【解析】
【分析】
（1）假设能，设AB长度为x米，则BC长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.
（2）假设能，设AB长度为y米，则BC长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.
【详解】
（1）假设能，设AB长度为x米，则BC长度为（32﹣2x）米，
根据题意得：x(32﹣2x)=126，
解得：x1=7，x2=9，
∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，
∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．
（2）假设能，设AB长度为y米，则BC长度为（36﹣2y）米，
根据题意得：y(36﹣2y)=170，
整理得：y2﹣18y+85=0．
∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，
∴该方程无解，
∴假设不成立，即若篱笆再增长4m，围成矩形花圃面积不能达到170m2．

10．某新建火车站站前广场需要绿化面积为46000米2，施工队在绿化了2米2后，将每天工作量增长为本来1.5倍，成果提前4天完毕了该项绿化工程．
（1）该项绿化工程原计划每天完毕多少米2？
（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米矩形空地，计划在其中修建两块相似矩形绿地，它们面积之和为56米2，两块绿地之间及周围留有宽度相等人行通道（如图所示），问人行通道宽度是多少米？

【答案】(1)；(2)2米
【解析】
【分析】
（1）设未知数，根据题目中量关系列出方程；
（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程
【详解】
解：（1）设该项绿化工程原计划每天完毕x米2，
根据题意得：﹣= 4
解得：x=，
经检查，x=是原方程解;
答：该绿化项目原计划每天完毕平方米；
（2）设人行道宽度为x米，根据题意得，
（20﹣3x）（8﹣2x）=56
解得：x=2或x=（不合题意，舍去）．
答：人行道宽为2米．

11．如图，要运用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米围栏围成总面积为400平方米三个大小相似矩形羊圈，求羊圈边长AB，BC各为多少米？

【答案】羊圈边长AB，BC分别是20米、20米.
【解析】
试题分析：设AB长度为x米，则BC长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形面积公式列出方程．
试题解析：设AB长度为x米，则BC长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400，
解得 x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20
考点：一元二次方程应用．

12．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：
（1）若要每天利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？
（2）为了回馈广大游客，同步也为了提高这种文化衫认知度，商店决定在“五一”节当日开展促销活动，若销售单价在（1）中最低销售价基础上再减少m%，则日销售量可以在150件基础上增长m件，成果当日销售额达到5670元；要使销售量尽量大，求出m值．
【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．
【解析】
试题分析：（1）根据利润公式列出方程，再求解即可；
（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．
试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，
150（x﹣20）=2250，
解得x=35，
答：销售单价至少为35元；
（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，
150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，
m﹣m2=12，
60m﹣3m2=192，
m2﹣20m+64=0，
m1=4，m2=16，
∵要使销售量尽量大，
∴m=16．
【考点】一元二次方程应用；一元一次不等式应用．

13．为了让学生亲身感受合肥都市变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费原则：（1）假如人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）假如超过30人，则每超过1人，人均旅游费用减少2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参与了研学游活动？
【答案】共有35名同学参与了研学游活动．
【解析】
试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参与人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上减少人数×2）×参与人数=3150，得到有关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．
试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参与研学游活动学生数超过30人．
设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：
x[100﹣2（x﹣30）]=3150，
整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，
当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．
当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．
答：该班共有35名同学参与了研学旅游活动．
考点：一元二次方程应用．

14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s速度移动，两点同步出发．
(1)问几秒后，△PBQ面积为8cm²？
(2)出发几秒后，线段PQ长为4cm ?
(3)△PBQ面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请阐明理由．

【答案】(1) 2或4秒;(2) 4 cm；(3)见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意，可设P、Q通过t秒，使△PBQ面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积计算公式，S△PBQ=BP×BQ，列出体现式，解答出即可；
（2）设通过x秒后线段PQ长为4cm，依题意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，运用勾股定理列方程求解；
（3）将△PBQ面积表达出来，根据△=b2-4ac来判断．
【详解】
(1)设P，Q通过t秒时，△PBQ面积为8 cm2，
则PB＝6－t，BQ＝2t，
∵∠B＝90°，
∴ (6－t)× 2t＝8，
解得t1＝2，t2＝4，
∴当P，Q通过2或4秒时，△PBQ面积为8 cm2；
(2)设x秒后，PQ＝4 cm，
由题意，得(6－x)2＋4x2＝32，
解得x1＝，x2＝2，
故通过秒或2秒后，线段PQ长为4 cm；
(3)设通过y秒，△PBQ面积等于10 cm2，
S△PBQ＝×(6－y)× 2y＝10，
即y2－6y＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝36－4× 10＝－4＜ 0，
∴△PBQ面积不会等于10 cm2.
【点睛】
本题考察了一元二次方程应用，纯熟掌握一元二次方程应用是本题解题关键.

15．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪颖你可以发现：
当a＞0，b＞0时：
∵（）2=a﹣2+b≥0
∴a+b≥2，当且仅当a=b时取等号．
请运用上述结论处理如下问题：
（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+最小值为　 　．当x＜0时，x+最大值为　 　；
（2）若y=，（x＞﹣1），求y最小值；
（3）如图，四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD面积分别为4和9，求四边形ABCD面积最小值．

【答案】（1）2；﹣2．（2）y最小值为9；（3）四边形ABCD面积最小值为25．
【解析】
【分析】
（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；当x＜0时，﹣x＞0，0，则也可以按公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算；
（2）将y分子变形，分别除以分母，展开，将含x项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，由三角形面积公式可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x式子表达出S△AOD，再表达出四边形面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
【详解】
（1）当x＞0时，x22；
当x＜0时，﹣x＞0，0．
∵﹣x22，∴则x（﹣x）≤﹣2，∴当x＞0时，x最小值为 2．当x＜0时，x最大值为﹣2．
故答案为：2，﹣2．
（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴y=（x+1）5≥25=4+5=9，∴y最小值为9．
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，∴x：9=4：S△AOD，∴S△AOD，∴四边形ABCD面积=4+9+x13+225．
当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积最小值为25．
【点睛】
本题考察了配措施在最值问题中应用．对不能直接应用公式，需要对变形才可以应用．