第四章 结构力学课件(虚功原理和结构位移计算).pdf

主要内容4-1结构位移概念4-2刚体体系虚功原理及其应用4-3变形体结构位移计算一般公式4-4荷载作用下的位移计算及举例4-5图乘法46温度作用时的位移计算4-7互等定理 48小结4辂狗假秒挑念 1、工程结构在荷载作用、温度变化、材料收缩和支座移 动等因素下：结构的形状一般会发生变化-变形（或形变）结构的截面位置会发生变化-位移（线位移或角位移）2、结构位移计算的目的（1）验证结构的刚度/fO、（2）为超静定结构的内力分析打下基础.G（3）为研究结构动力计算和稳定分析的打基础在结构的制作、架设、养护等过程中，往 往需预先知道结构的变形情况，以便采取 相应的措施（如图），以消除位移的影响3、位移产生的原因 注珀荷载作用小f 一 一（1）、结构-内力应变_变形结构上各点位置发生变化-（2）、结构_非荷载作用_,位移温度改变、支座移动、材料涨缩、制造误差虽不一定产生应力和应变，但却使结构产生位移。4、结构位移变形（deformation）结构在外部因素作用下，产生尺寸形状的改变；由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生位移。1）、线位移水平线位移：AH铅直线位移：AV2）、角位移：e3）、位移有“相对位移”q上述各种位移统称为“广义位移”。与广义位移相对应的力称为“广义力”。在梁和桁架中，垂直方向位移称为挠度(deflection)在刚架中，结点水平方向位移称为侧移在超静定刚架中，荷载作用下,结点不仅有角位移，同时有侧 移现象。如图示ZZZZ ZZ7ZV 4）、各种位移举例绝对位移(Absolute displacement)相对位移Relative displacementcD=c1-d一般而言，位移有其产生的原因和所在结构部位和方向。位移用A表小.第一角标：位移的地点和方向 双角标表示第二角标：产生该位移的原因Zj一一由于作用于/点确定方向的力Pj所引起的，点在某 确定方向的位移柔度6(Flexibility)一 单位力所引起的位移与一一直接柔度 与008Z/-间接柔度乐1 07=05、计算位移的有关假定1）、结构材料服从“虎克定律”,即应力、应变成线形关系。2）、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。3）、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。4）、当杆件同时承受轴力与横向力作用时，不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。P，A_5_ p-满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。6、计算结构位移的方法，几何法1单位荷载法4-2刚体体系成功原理及其成用、基本概念1、功（Work）：T=dT=P COS（Pds）ds s s或：7=Jpds2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。当静力加载时，即:P由0增力口至P,由0增加至实功的计算式为：T=-PA 23、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。4、虚功对应的两种状态及应满足的条件：(1)虚力状态：为求真实位移而虚设的力状态，应满足 静力平衡条件.(2)虚位移状态：为求真实力而虚设的位移状态，应满足 变形协调条。(3)、虚力原理：研究虚设的平衡力系在实际位移上的 功，以计算结构的未知位移(如挠度、转角等).(4)、虚位移原理：研究实际的平衡力系在虚设位移上的功,以计算结构的未知力(如支座反力等).二、刚体虚功原理理论力学质点、质点系虚功原理刚体虚功原理：刚体平衡的充要条件是作用于刚体上 的外力在刚体的任何虚位移上所作的虚功总和为零。即：河卜可1、虚力原理(Virtual force theory)以图(a)示静定梁为例说明虚力原理已知：支座A移动位 移求A 解：因位移状态给定 故用虚力原理 虚设一单位力，如图(b)示 由平衡条件知：bJH-9-7A 二-由虚功方程:A工 瓦知力与已知力之间的几何方a_一图(a)-房b/x 1+q x-0)即图(b)/b/二 G 一a应用虚力原理求未知位移的关键是沿拟求位移A方向虚设单 位荷载，并利用平衡条件求与已知位移J对应的支反力耳 这种解法称为单位荷载法。特点：利用静力平衡，通过虚功方程来解几何问题。适用范围：刚体体系的位移计算，变形体体系的位移计算问题。2、支座位移时静定结构的位移计算虚设单位荷载的目的使虚功方程中正好包含拟求位移对应的力即：单位荷载所作的虚功在数值上正好等于拟求的位移。例1:如图示梁在支座A有竖向位移Ca，拟求C点的竖向位移Ac；杆CD的转角口.解:(1)在C点加一竖向P=1,图(b)示：(2)在C D杆上一力偶M=1,图(C)示:列虚功方程：(nJcxl+Cj x =0I 3JBxl+c,x-=0I 2/J所得位移为正，表明解得：Ac=ca 3P=：CA 2/与单位荷载方向一致小结：支座A有给定位移V时静定结构的位移计算步骤1.沿拟求位移A方向虚设相应的单位荷载，求出单位 荷载下的支座反力兄得到虚设的平衡力系。2.令虚设力在实际位移上作虚功，写出虚功方程+=03.求拟求位移为：，=-FrkCk例2：已知B截面处有相对转角仇拟求A点的竖向位移A。例题3三较刚架，支座B发生如图所示的位移,a=5cm,b=3cm,，=6m/=5m。求由此而引起的左支座处杆端截面的转角。a。(图1)(图2)解：思路:沿拟求位移方向上加单位力（图2）,求出支座 反力后依求位移公式计算位移：=(_ 1X 0.03)+(-x 0.05)=O.OlraJ.(J)其次：将微段变形集中化，即ds-0B截面发生集中的相对位移心、d、最后：应用刚体虚功原理，得虚设单位力在截面B处引 起的弯矩、剪力、轴力dA=M dO dt+N d入或 dA=(Mk+Qy+Ns)ds局部变形的位,移计算公式 变形体辂构便专奸第一被公式、公式 dA=M k+Qy+N 8)ds支座 位移：A=dA=Mk+Fn +Fq%)ds/=f(Md0+FNdu+/dt)_ Z=S J(Vk+瓦+埒九%_ Z其中M,耳、Fq限k虚拟单位力下的弯距、轴力、剪力和反力K、70、。人实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应 变、平均剪切应变和支座位移分析,见图(a)虚拟力引起的内力为Nk.Mk.0K求、KP1.、kp=+、Nd4+、Qyds-Rc严/s+E 杰+E JLds Rc此即为由虚功原理得到的计算结构位移的一般公式（称单位载荷法）它可以计算结构的：线位移、角位移、结构绝对、相对位移。虚拟状态中的单位力为所计算位移相应的广义力。二、变形体位移计算的步骤:1、沿拟求位移A方向虚设相应的单位荷载2、确定单位荷载下的结构内力而、N 0和支反方h3、利用公式计算拟求位移A注：1、A是广义位移2、应用单位荷载法每次只能求得一个位移3、虚拟单位力的指向可任意假定，求出结果为正表明 实际位移方向与虚拟单位力的方向一致，否则相反三、几种类型的虚拟状态求线位移：沿拟求位移方向上施加相应的单位力。求转角、相对转角：沿拟求位移方向上施加相应的单位力矩。1）若求结构上C点的竖向位移，可在该点沿所求位移方 向加一单位力，如图示2）若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力偶。3）若要求结构上两点（A、B）沿其连线的相对位移，可在 该两点沿其连线加上两个方向相反的单位力。4）若求梁或刚架上两个截面的相对角位移，可在两个 截面上加两个方向相反的单位力偶。看索作用下的假34t算及率例一、荷载作用下内力和变形的关系储 y(p7c位移状态EAGAPM尸M p N np，F 0尸以 k二Y oA=S JFnsds+Z FQyods+Z|Af/c(dsrMMp J EIds+EEAds+EFA NPA=ZMM+zf Fn Fnp J EAds+E式中M,Fn，F是实际荷载引起的内力 仄）-以拉力为拉Fq.Fqp-以使微段顺时针转动为正M,Mp-两者使杆件同侧纤维受拉时时其乘积取正二、各类结构的位移公式1）梁和刚架MMPds=z2）桁架 A=Z 与丛工dsJ EAp 1VT1VI p R F3）桁梁混合结构A=Z f上空匕ds+Z f N NP dsJ EI J EA4）拱MMPds+Ef Fn FnpJ EAdsA=Z三、位移计算举例例题1试求图示刚架A点的竖向位移Aav。各杆材料 相同，截面抗弯模量为ELxiB（图D（图2）解：（1）在A点加一单位力，建立坐标系如（图2）示，写出 弯矩表达式AB 段：Mk=-X1BC 段：Mk=-I（2）荷载作用下（图1）的弯矩表达式AB段：而这2BC 段：MP=-2（3）将以上弯矩表达式代入求位移公式1（-等）.1+f 5（-0（一9）而2=（，）例2,计算图示刚架C端的水平位移和角位移知日为常数。O)_q,IIIGgA 7777解：在载荷作用下,刚架的心图如图所示,状态IB睽 Mp=-qx2 21A国主 Mp -b)v1求C点的水平位移，可在C点加一单位力得状态11,除图状态IIBC Mk=0AB柱 Mk=x代入位移公式，得：v2求C点的角位移，可在C点加一单位弯矩,如图示.其计算方法与(1)相同 例2.计算桁架结点C的竖向位移,设各杆EA都相同。a利用体系整体平衡关系,支座反力VA=VB=Pvb利用结点法，取A点分析由A点的Y方向平衡得:叱+痣。=0：.YAD=-vA=-p利用三角形关系d _ Bo y2d NADNad一 d XAn同理一一二、J2d Nad=6yad=CP（压力）Y AD=PA点X方向平衡得：Nac=Xad=0.Nac=P（拉力）vd取D点分析D点X方向平衡二 NDE=XAD=-P（压力）p显然DC杆的杆力为零。等(2+收)=6.83 鲁(J)A为正值表示，c处的位移与虚拟力的方向相同。例题3试求图示桁架C点的竖向位移Acv。各杆材料相同，截面抗拉压模量为EA=2xlO6KN/m2解(1)在C点加一单位力，作桁架内力图,如图(b)示.(2)作出荷载作用下的桁架内力图，如图(a)示.例题3试求图示半径为R的圆弧形曲梁B点的竖向 位移Abv。梁的抗弯刚度EI为常数。解(1)在B点加一单位力，写出单位力作用下的弯矩表达式Mk=RsinOA(2)写出单位力作用下的弯矩表达式Mp=PRsinO(3)将而K、Mp代入求位移公式一面PR37tp(R sin 0)(PR sin 0)(RdO)g,2 Z1J/J 7lPR3 I-y sin 6d0=-()1 4EI练习题：试求图示连续梁C点的竖向位移Acv和A截 面的转角以，截面抗弯模量为EI。Ml3EI试求所示悬臂梁在A端的竖向位移 解：1）虚设单位荷载如图（b）2）求内力表达式实际荷载 M p=-J_ qx 22虚设单位荷载才=-X3）求位移讨论：|当弟的高跨比hjl是1/10时，则须/品=1.。7%当奖的高跨比hll增大为1/2时，则为1瓯增大为1/4 F r(4)求所示桁架顶点C的竖向位移o解:2）求Fnp3）求 Aca、FnFnp LAr=Z-=1.66cmEA(5)求B点的竖向位移。q11 Hi-Mp=；qx?M=x AmFnp=-qxsin 0 珠=_sinFqp 二 qxcos 0 Fq=cos 8x=Rsin 6 y=R(1 cos 0)dsrA MPML EI:22=RdeA n2qR 23EAAg 二kqR23GA 4-5a乘法 Method of graph multification 一、图乘法得引入A二MpEI积分可通过而、/两图相乘的方法求得.二、图乘法适用条件及公式推导1、适用条件1）、杆件为等截面直杆。2）、EI为常数。3）.M.Mp图形中至少有一个为直线图形。2、公式推导y 八 mp（x）=/也C Mpdx=卷 XjJaMpdx=tgaxMdx Wgaf逊1 1=3=面3吨此即位图乘法的公式转化为积分问题、求内力图的面积、形心、和竖标的问题结论：在满足前述条件下，积分式/=喑/之值EjI等于某一图形面积8乘以该面积形心所对应的另一直线图 形的纵距y。,再除以EI。3、使用乘法时应注意的问题1）、适用条件必须满足，缺一不可。a）杆件是等截面直杆，即EI=常数b）两内力图中至少有一个是直线c）纵距y只能从直线图中取得.2）、正负号规则：面积3与标距y在杆件同侧，乘积为正；否则为负。4、几种常见图形的面积和形心位置3、当杆件为变截面时亦应分段计算而图跖图11A=可必功+总二2)2EI】EI24、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧取正号;异侧取负号。A 叫JoA=1%Jo5、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别 取自两图形6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘而图的图八小h（必+%）+?5+川1*2c d、bl,c 2d、|1 I z-c /7、(-1)H-(I-)=一(2qc+2cd+ad+be)Eli 2 3 3 2 3 3 J EI 6耘图M图使用乘法时应注意的问题小结：1、y。必须取自直线图形；2、当M为折线图形时，必须分段计算；3、当杆件为变截面时亦应分段计算；4、图乘有正负之分；5、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任 意分别取自两图形；6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法 分别图乘；7、三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须 牢记。例2图示为一悬臂梁,中点C的挠度A.在A点作用集中荷载Fp。试求解：1）作,图2）作祈图3）求4ILLWo X-X-2 2 27o=b4由。EI5FP/348 Ef例3试求下列图示刚架结点B的水平位移Abh为矩形bh,惯性矩相等。解：1）作外图2）作图3）求1 qL2wz=x-x L1 2 21 qL2w.=x-x L2 22 qL2 w.=x-x L3 3 8L w.V.abh=Z 二 BH EIo各杆截面只考虑弯曲变形的影响。例题试求左图所示刚架C点的竖向位移Acv和转角 各杆材料相同，截面抗弯模量为：E/=L5 x 1。5皿V.一M图西图解：(1)绘Mp图(2)求C点的竖向位移，在C处加一单位力，绘 M图A cMiMp,1 r.6x300./2x6,.2/.6.z,.nn.z,.7A2=ds=Ffl()x(-)-(-x6x45)x(-)+(6x300)x(6)J=空空=0.0924加(1)6-5温淳作用时的彼专什第、由于温度改变引起的位移静定结构温度改变并不引起内力，变形和位移 是材料自由膨胀、收缩的结果。上边缘温度上升八 下边缘温度上升G。沿杆截面厚度为线性分布，轴线温度。上下温差V轴线温度：z上下边缘的温差：ta线膨胀系数伸长应变：e=atQ.dO a（t,-t、）ds at 曲率：k=二=ds hds h由位移计算公式:Kds、kp=jWda+X 扇e=Z jWoods+E而咻 dssds若 h沿每一杆件的全长为常数，则:4=Eat。Nds+fa%、而ds式中：to以温度升高为正，弯矩M和温差引起的弯矩为同一方向时，其乘积取正，反之取负。例：试求右图，a所示刚架C点的水平位移Ac o 已知刚架各杆外侧温度无变化，内侧温度上 升10。C,刚架各杆的截面相同且与形心轴对杆件由于温度改变而发生的弯曲变形，该变形与由于而所产生的弯曲变形方向相同（如图虚线所示）,A,=zat。Nds+a%而dsc=+aX5x2a+aX与Xa2=10aa(+*)式中h为截面高度。所得结果为正值，表示C点位移与单位力方向相同。4-7量等定理应用条件：线性小变形体系1、功的互等定理功的互等定理：在任一线形变形体系中第一状态外力在第二状态位移上所作的功等于第二状态 外力在第一状态位移上所作的功，即W12=w2l如果作用在体系上的力是单位力，则在第一个单位力方向上,由于第二个单位力所引起的位移等于第二个单位力方向上，由于第一个单位力所引起的位移。3、反力互等定理反力影响系数2%=rji112如果结构支座发生的是单位位移，则支座1由于支座2的 单位位移所引起的反力142等于支座2由于支座1的单位位 移所引起的反力r21。4、位移、反力互等定理（自学）6-g小转要求1 熟练写出位移计算一般公式及其各符号含义，并理解公 式推导过程2 熟练掌握静定结构位移计算方法。积分法二*X（应用条件、计算步骤、注意事项）图乘法 刚架、梁、桁架和组合结构的位移计算3 互等定理4、习题一、判断题1）计算组合结构的位移时可以只考虑弯曲变形的影响，即。（）A=（MMP/EI）ds2）静定结构的内力计算，可不考虑变形 条件。（）3）静定结构在温度变化、支座移动等影响下，不仅产生变形,同时产生内力。（）4）静定结构在荷载作用下，产生的位移大小与该结构的各杆 EI的相对值有关。（）5)求图示结构/点竖向位移可用图乘法。（）夕6）静定结构，在支座移动作用下，有位移、有内力产生。（）二、选择题1)求图示梁较。左 虚拟状态应取(侧截面的转角时，其)I M=1A I-cr B-CL./,/，夕M=1 A/=lC D I2112等 互 移 位的构为 结纲 示小 菜f的 3方0 冈力度;或一/度量度早 长无长力 A B c D态 状 态 状11-J 21251V4）图示梁A点的竖向位移为（向下为 正）：A.尸厂/（24/）；B.P I3/（16/）.C.5尸尸/（96/）;D 5P13/（48E/）。（）IP2EI EI|A,1/2 A 2,一 T 一r三、填空题1)结构位移计算的两个主要目的是_和2)应用图乘法求杆件结构的位移时，各图乘的杆 段必须满足如下三个条件：(a)_；(b)_(c)_o3)结构位移计算的理论基础是_原理4)图示桁架仅上弦各杆温度增高C,材 料的线膨胀系数为a,则4点的水平位花为：-O L4dM(kN.m)N(kn)M图(1)作1-1截面，研究其右半部：Zy=0(2)作2-2截面，研究其右半部：工=。EM.(3)研究结点C：SF=0 N”=-圆(压)作3-3截面，研究其左半部：y=oNz=P（拉）7V3=0可4=闻（拉）N、=2/（拉）1 Ea 料 a-3P/4(1)研究结点A:SF=0*(2)作1-1截面，研究其右半部：(3)研究结点C:x=0 N?二(4)研究结点G：豕=0 T 3P 4=p（ii）14p（拉）4 rEm=o=必。（拉）=p（fe）2=;（拉）专章秸束Thank you!