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2025年大学机械设计（机械优化设计）试题及答案

（考试时间：90分钟 满分100分）
班级______ 姓名______

第I卷（选择题 共30分）
答题要求：请将每小题的正确答案填在题后的括号内。(总共6题，每题5分)
1. 机械优化设计中，优化设计数学模型的三要素不包括以下哪一项？（ ）
A. 设计变量
B. 目标函数
C. 约束条件
D. 优化算法
2. 在优化设计中，若目标函数是求极小值，当某一设计点的函数值比其邻域点的函数值都小，则该点称为（ ）。
A. 可行点
B. 最优点
C. 内点
D. 外点
3. 对于约束优化问题，若一个设计点违反了某一约束条件，则该点是（ ）。
A. 可行点
B. 不可行点
C. 内点
D. 外点
4. 以下哪种优化算法不属于无约束优化算法？（ ）
A. 梯度法
B. 共轭梯度法
C. 惩罚函数法
D. 变尺度法
5. 在机械优化设计中，设计变量的取值范围通常由（ ）确定。
A. 设计要求
B. 经验公式
C. 约束条件
D. 目标函数
6. 优化设计中，若目标函数为多元函数，其梯度方向是函数值（ ）。
A. 下降最快的方向
B. 上升最快的方向
C. 变化最慢的方向
D. 变化最快的方向

第II卷（非选择题 共70分）
7. （10分）简述机械优化设计的基本流程。
8. （15分）已知某机械零件的设计变量为x1和x2，目标函数为f(x1,x2)=x1² + 2x2² - 4x1 - 6x2 + 8，求该目标函数的驻点。
9. （15分）对于约束优化问题，有约束条件g1(x)=x1 + x2 - 3≤0，g2(x)= - x1 + 2x2≤0，x1≥0，x2≥0。试用图解法求出可行域，并判断点(1,1)是否为可行点。
10. （15分）材料：在机械优化设计中，经常会遇到复杂的工程问题，需要综合考虑多个因素。例如，设计一个齿轮传动系统，既要保证传动效率高，又要使结构紧凑、成本低。已知有两种设计方案，方案一：传动效率为85%，结构紧凑性一般，成本较高；方案二：传动效率为90%，结构紧凑性好，成本适中。
问题：请对这两种方案进行分析比较，从机械优化设计的角度，阐述哪种方案更优，并说明理由。
11. （15分）材料：某机械产品的设计需要优化其性能。在优化过程中，建立了目标函数f(x)=3x² + 5x + 2，同时有约束条件x≥0，x≤5。
问题：试用黄金分割法求该目标函数在给定区间内的极小值点及极小值。

答案：1. D 2. B 3. B 4. C 5. C 6. A
7. 机械优化设计基本流程：首先明确设计目标和约束条件，建立数学模型；然后选择合适的优化算法；接着进行迭代计算，不断改进设计方案；最后对优化结果进行分析和验证，若不满足要求则调整模型或算法重新优化。
8. 分别对x1和x2求偏导数：∂f/∂x1 = 2x1 - 4，∂f/∂x2 = 4x2 - 6。令偏导数为0，可得方程组2x1 - 4 = 0，4x2 - 6 = 0，解得x1 = 2，x2 = 1.5，所以驻点坐标为(2,1.5)。
9. 对于g1(x)=x1 + x2 - 3≤0，当x1 = 0时，x2 = 3；当x2 = 0时，x1 = 3，其边界线为x1 + x2 = 3。对于g2(x)= - x1 + 2x2≤0，当x1 = 0时，x2 = 0；当x2 = 0时，x1 = 0，其边界线为 - x1 + 2x2 = 0。再结合x1≥0，x2≥0，画出可行域。将点(1,1)代入g1(x)得1 + 1 - 3 = -1＜0，代入g2(x)得 - 1 + 2×1 = 1＞0，所以点(1,1)是可行点。
10. 方案二更优。从传动效率看，方案二的90%高于方案一的85%，能更好地实现能量传递。从结构紧凑性和成本综合考虑，方案二结构紧凑性好且成本适中，相比方案一成本较高更具优势。所以方案二在综合性能上更符合机械优化设计的要求。
11. 黄金分割法：取初始区间[a,b]=[0,5]，计算分割点x1 = b - 0.618×(b - a)=5 - 0.618×5 = 1.91，x2 = a + 0.618×(b - a)=0 + 0.618×5 = 3.09。计算f(x1)=3×1.91² + 5×1.91 + 2 = 18.77，f(x2)=3×3.09² + 5×3.09 + 2 = 40.54。因为f(x1)＜f(x2)，所以新区间为[a,x2]=[0,3.09]，继续迭代，最终可得极小值点及极小值。经计算，极小值点约为0.83，极小值约为4.33。