多元函数微分学解题技巧.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,多元函数微分学,一、,重极限、连续、偏导数、全微分,（概念，理论）,二、偏导数与全微分的计算,四、应用,（极值、切线、切平面）,三、方向导数和梯度,.,一、重极限、连续、偏导数、全微分,（概念，理论）,是以“任意方式”,1,重极限,题型一：求极限,常用方法：,1,）四则运算法则及复合函数运算法则；,2,）等价无穷小代换；,3,）利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量,.,4,）夹逼定理；,.,例,1.,求,0,例,4,.(,江苏,2000,竞赛,),A.,等于,1,；,B.,等于,0,；,C.,等于,-1,；,D.,不存在,D,例,2.,求,0,例,3.,求,=e,练习 求,=0,.,题型二：,证明重极限不存在,常用方法：,沿不同路径极限不同（如：沿过点,的直线）；,2),沿某一路径极限不存在,.,例,5,判断函数,在,点的连续性,.,练习,证明重极限不存在,2.,连续,.,3.,偏导数,例,6,练习：,几何意义,.,例,7.,则在下列,A.,B.,C.,D.,C,条件中能保证,.,4.,全微分,1),定义,:,若,2),判定,:,必要条件,:,与,都存在,;,充分条件,:,和,在,连续,;,是否为零,?,ii,）,用定义判定可微性：,3),计算：,.,5.,连续、偏导存在和可微的关系,题型三 讨论连续性、可导性、可微性,例,8.,C,.,D,例,9,A.,极限存在但不连续,B.,连续但偏导数不存在,C.,偏导存在但不可微,D.,可微,例,10,.,例,11,练习,.,设,其中,在点,的邻域内连续,问,1),应满足什么条件才能使,和,都存在,?,2),在上述条件下,在,(0,0),点是否可微,?,（可微）,练习,2,.,二 偏导数与全微分的计算,根据结构图，“分线相加，连线相乘”,“分路偏导，单路全导”,对抽象或半抽象函数，注意,1.,复合函数求导,2.,全微分形式不变性,.,3.,隐函数求导法,方法,:,（,b,）两边求偏导,（,c,）利用微分形式不变性,:,(1),（,a,）公式,:,(2),方法：两边求偏导；,利用全微分形式不变性,.,例,12,设,求,和,.,题型一 求一阶偏导数与全微分,设,且当,时,则,例,13.,例,14,.(,江苏,06,竞赛,),.,练习：,已知,是某一函数的全微分,则,取值分别为（）,B,练习：,例,15.,D,.,题型二 复合函数的偏导数与高阶偏导数,练习,.,(07,数一,),练习,.,练习,.,.,设,具有二阶连续偏导数,且满足,又,求,例,16,例,17.,注：偏导数的坐标变换,-,看作复合函数求偏导数或全导,.,2,：,例,18,.(,江苏,08,竞赛,),练习,1,：,3,：,.,题型三 隐函数的偏导数与全微分,例,19.,A.,只能确定一个具有连续偏导数的隐函数,B.,可确定两个具有连续偏导数的隐函数,C.,可确定两个具有连续偏导数的隐函数,D.,可确定两个具有连续偏导数的隐函数,D,例,20.,.,例,21.,练习,.,例,22,(99,数一,).,.,题型四 已知偏导数，求函数,.,例,23,例,24.,例,25.,.,练习：,例,26.,.,三、方向导数和梯度,1.,方向导数,1),定义,:,可微,则,2),计算,:,若,2.,梯度,计算,.,A),不连续,;B),偏导数存在,;,C),沿任一方向的方向导数不存在,;,D),沿任一方向的方向导数均存在,;,在,点,(0,0),处,例,27,函数,(),D,D,(),例,28,设,则,A),f,(,x,y,),在,(0,0),点,连续,;,为任一方向,的方向余弦,.,B),其中,C),在,点沿,轴负方向的方向导数为,.,D),.,练习,.,练习：,例,29,练习：,.,四、多元函数微分学的应用,1.,曲面的切平面与法线,2.,曲线的切线与法平面,法向量,:,2),曲面,1),曲面,2),曲线,切向量,:,法向量,:,其中,1),曲线,切向量,:,.,练习：,题型一 建立曲面的切平面和法线方程,例,30.,例,31.,.,练习,练习,题型二 建立空间曲线的切线和法平面方程,练习,求曲线,在点,处的切线方程和法平面方程,.,练习,(03,数一,),.,3.,极值与最值,1).,无条件极值,；,定义,:,极大,极小,必要条件,充分条件,2).,条件极值与拉格朗日乘数法,3).,最大最小值,极值点 驻点,.,题型一 求无条件极值,例,32,求由方程,所确定函数,的极值,.,1),在点,处,极大值,2),在点,处,极小值,解,2,配方,解,1,：驻点,.,例,33.,D,注：,通过变形（如取对数,去根号）,把复杂函数转化为简单函数是极值问题的常用技巧。,例,34.,例,35,.,例,36,B,例,37,解法,1:,保号性 解法,2:,排除法 解法,3,：特殊函数,D,.,练习,（,03,数一）,A,.,题型三 求最大最小值,题型二 求条件极值,练习,求函数,在条件,下的极值,.,解法,2:,化为无条件极值,.,解法,1:,拉格朗日乘数法,极小值,8,0,练习,.,B,例,38.,A.,最大最小值点都在,D,的内部,;,B.,最大最小值点都在,D,的边界上,;,C.,最大值点在,D,的内部,最小值点在,D,的边界上,;,D.,最小值点在,D,的内部,最大值点在,D,的边界上,;,例,39,.,练习：,例,40.,例,41,：,提示：,.,例,42.,（,5,-5),(-5,5),.,