利用定积分求简单几何体的体积83367.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,利用定积分求简单几何体的体积,1,.,（一）、复习：,（,1）、求曲边梯形面积的方法是什么？,(2)、定积分的几何意义是什么？,（3）、微积分基本定理是什么？,（二）新课探析,问题：,求,函数,，,x=a,x=b围成的平面图形,绕,轴旋转一周所得到的几何体的体积,。,2,.,设由曲线,y,f,(,x,)，直线,x,a,，,x,b,与,x,轴围成的平面图形(如图甲,绕,x,轴旋转一周,所得旋转体的体积为,V,.,思考：,1,简单几何体的体积计算,3,.,在区间,a,，,b,内插入,n,1个分点，使,a,x,0,x,1,x,2,x,n,1,x,n,1，把曲线,y,f,(,x,)，,a,x,b,分割成,n,个垂直于,x,轴的“小长条”，如图甲所示设第,i,个“小长条”的宽是,x,i,x,i,x,i,1,，,i,1,2，,n,.这个“小长条”绕,x,轴旋转一周就得到一个厚度是,x,i,的小圆片，如图乙所示当,x,i,很小时，第,i,个小圆片近似于底面半径,y,i,f,(,x,i,)的小圆柱，因此第,i,个小圆台体积,V,i,近似为,V,i,f,2,(,x,i,),x,i,.,该几何体的体积,V,等于所有小圆柱的体积和,V,f,2,(,x,1,),x,1,f,2,(,x,2,),x,2,f,2,(,x,i,),x,i,f,2,(,x,n,),x,n,这个问题是积分问题，则有,4,.,(1)找准母线的表达式及被旋转的平面图形，它的,边界曲线,直接决定了被积函数,(2)分清,端点,(3)确定几何体的构造,(4)利用定积分进行体积表示,2利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于,3一个以,y,轴为中心轴的旋转体,的体积,y,o,x,5,.,例1、,求由曲线,所围成的图形绕,轴旋转所得旋转体的体积。,例题研究,x,y,o,x=,1,6,.,变式练习1、,求曲线,，直线,，,与,轴围成的平面图形绕,轴旋转一周所得旋,转,体的体积。,答案：,例2、,如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。,7,.,分析：,解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴截面按下图位置放置，并建立坐标系。则A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线方程，“冰激凌”可看成是由抛物线弧OB和线段AB绕X轴旋转一周形成的。,解：,将其轴截面按下图位置放,置，并建立如图的坐标系。则,，,，设抛物线弧OA所在的抛物线方程为：,，,8,.,代入,求得：,抛物线方程为：,（,）,设直线AB的方程为：,，代入,求得：,直线AB的方程为：,所求“冰激凌”的体积为：,9,.,变式引申:,某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分绕其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A,A是双曲线的顶点，C,C是冷却塔上口直径的两个端点，B,B 是下底直径的两个端点，已知AA=14m,CC=18m,BB=22m,塔高20m.,(1)建立坐标系，并写出该曲线方程,(2)求冷却塔的容积（精确到10m,3,塔壁厚度不计，,取3.,14,）,10,.,课堂小结,：,1.,求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求,绕x轴旋转的,旋转体体积步骤如下：,1,）,先求出,2,）,代入公式,P89-90,、,例题4，5,3一个以,y,轴为中心轴的旋转体,的体积,y,o,x,11,.,