微分形式的基本方程解析.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Fluid Mechanics and Machinery,*,B3,微分形式的基本方程,建立流体运动基本方程,引言,连续性方程,连续介质力学基本运动平衡方程,纳维斯托克斯方程,本章讨论流体运动所涉及相关的变化规律。,线性本构方程,静力平衡方程,1,B3.1.1,流体运动的连续性原理,根据质量守恒定律，不可压缩流体流进,控制体的质量应等于流出控制体的质量，,称其为流体运动的连续性原理。,由哈维发现的人体血液循环理论是流体,连续性原理的例证：,动脉系统,毛细管系统,静脉系统,心脏,控制体,-,流体流过的,固定,边界,包含的体积,控制面,-,固定,边界,构成的面,欧拉观点,2,B3.1.2,微分形式的连续性方程,微分形式的流体连续性方程化为,对长方形控制体元，在单位体积内三个坐标方向净流出的质流量应等于密度的减少率,上式表明：一点邻域内流体体积的相对膨胀率等于流体密,度的相对减少率。,方程的限制条件：同种流体。,对不可压缩流体，相对膨胀率处处为零：,3,连续性方程,质量守恒定律,在流体力学中的具体形式。,y,x,z,O,dx,dy,dz,dt,时间内，流进控制体的流体质量为,流出的流体质量为,dt,时间,x,轴向流出的净质量：,4,同理：,y,轴向的净流出量：,z,轴向的净流出量：,六面体的净流出量：,连续性方程,据质量守恒定律，,dt,时间内,流出控制体的总净流质量应,等于控制体内由于密度变化而减少的质量,，即：,微分形式的,连续性方程,5,连续性方程,质量守恒方程,体积的相对膨胀率对于速度的散度,！,6,连续性方程,密度的质点导数,连续性方程,流体体积的相对膨胀率等于,流体密度的相对减少率,7,连续性方程,连续性方程,定常、可压缩,柱坐标系,不可压缩,=const,8,例已知,x,方向的速度分布，试求,y,方向的速度分布,不可压二维连续性方程,连续性方程,点涡流动,9,a,u,v,例已知,a,点的速度,u=10.38m/s,x,方向的速度梯度,试求,a,点上方,5mm,处,y,方向的速度,v,10,流场中的分布力,表面力,切向应力,重力场：,重力势：,法向应力,p,体积力,单位质量力,重力、惯性力,单位体积力,电磁力,B3.2,作用在流体微元上的力,11,质量力,作用在流体的每个,质点,（微团）上,并与流体质量成正比的力称为质量力。,A,点附近取微团,dm,，,dV,，,dF,dm,，称,极限 为作用在,A,点的单位质量力。,12,均质 力：,f,，,X,，,Y,，,Z,的单位为,m/s,2,非均质 力：,特别地：重力场中,X,0,，,Y,0,，,Z,g,f,在三个坐标轴上的分量用（,X,，,Y,，,Z,）表示,!,13,表面力,表面力分布在流体面上，是一种接触力。定义表面力的,面积密度,，即单位面积上流体所承受的表面力为,应力,。,正应力,/,压强,切应力,14,满足上式的质量力为,有势质量力,重力场与有势力,特别地：重力场中,X,0,，,Y,0,，,Z,g,；重力势函数,W,15,流体,静力学,流体,静力学研究流体的,平衡规律,，由平衡条件求,静压,强分布,，并求,静水总压力,。,静止是相对于坐标系而言的，不论相对于惯性系（,静,止,）或非惯性系（,相对平衡,）静止的情况，流体质点,之间肯定,没有相对运动,，这意味着粘性将不起作用，,所以流体静力学的讨论,不须区分,流体是实际流体或理,想流体。,16,流体静压强及其特性,流体静压强,流体处于静止或相对静止时的压强。,静,压强定义,属于应力定义,其它单位：,kPa,，,MPa,，,bar,（巴）等。,1bar,10,5,Pa=0.1,MPa,17,方向性,静压强的方向垂直于作用面并指向流体内部！,原,因,:,（,1,）静止流体不能承受剪切力，即 ，,故,p,垂直于受压面；,（,2,）,因流体几乎不能承受拉力，故,p,指向受压面。,静压强的两个特性,18,作用于静止流体同一点压强的大小各向相等，,与作用面的方位无关！,各向等值性,表面力,合力,：,质量力,合力,：,x,z,y,O,A,B,C,P,x,P,y,P,z,P,n,dx,dy,dz,dA,x,dA,y,dA,z,x,方向平衡,19,是外法线方向,压力的合力,P,p=const,20,流体或固体中任一点的应力,应力,/,压强,DA,第,1,个下标作用面方向,第,2,个下标力的方向,B3.2.3,流体应力场,21,任一,点,的应力,作用力与反作用力,x,z,y,O,B,C,dx,dy,dz,A,V,是比,A,高一阶的小量,应力转换关系,22,应力转换关系,剪应力互等,第,2,个下标力的方向,力矩平衡,23,作用于静止流体同一点压强的大小各向相等，,与作用面的方位无关！,剪应力等于零,24,B3.2,作用在流体微元上的力,B3.2.3,流体应力场,1.,一点的表面应力矩阵（适用于固体或流体）,该矩阵是对称矩阵，只有,6,个分量是独立的。,2.,应力矩阵的常用表达式（适用于流体）,在运动粘性流体中压强,压强项,偏应力项,25,B3.3,微分形式的动量方程,牛顿第二定律用于,单位体积流体元，,并运用质点导数公式，可得,体积力,表面力梯度,质量密度,加速度,26,如果,V,是比,A,高一阶的小量,体积微元,质量力合力,面积微元,面力合力,微元,的平衡,则微元,的平衡化为：,质量力,表面力,质量力如何与面力平衡,?,27,一点的表面应力矩阵,表面上的应力,方向上的应力,剪应力互等,28,长方体六个面上,x,方向上的应力,dx,dz,dy,dy,dx,dz,x,y,z,29,粘性流体运动微分方程式,x,方向表面力的合力,流体微元,X,向表面力,30,粘性流体运动微分方程式,连续介质力学基本运动平衡方程,体积力,应力梯度或散度,加速度,应力分量散度,无粘,31,粘性流体运动微分方程式,质量力,表面力散度,质量密度,加速度,以应力表示的流体运动微分方程,体积力,32,粘性流体运动微分方程式,速度梯度矩阵,对称,反对称,由于应力矩阵是对称的,应力矩阵只依赖对称的变形率矩阵,33,应力矩阵分解为,在运动粘性流体中压强,偏应力矩阵,变形率矩阵,34,粘性流体运动微分方程式,理想,或,静止,流体中：,实际,（,粘性,）流体中：可,互不相等,，但,定义某点的压强为：,p,与该点平面上的法应力,（,附加法向应力）,有一定的偏差,-,35,z,y,z,是主应力坐标系,36,B3.4,纳维斯托克斯方程,对均质不可压缩（常数）牛顿流体,(,常数），,N,S,方程为,矢量式,质量密度 加速度体积力压差力粘性力,37,牛顿粘性定律,牛顿粘性定律的逻辑推广,应力与应变率的关系,/,本构关系,假设应力与应变率的关系是线性的本构关系,不可压流体的本构关系,38,斯托克斯假设应力与应变率的关系如下,线性的本构关系,可压流体的本构关系,39,粘滞系数不变,40,粘滞系数不变,粘性流体的运动微分方程,纳维斯托克斯方程,拉普拉斯算子,41,粘性流体的运,动微分方程,（,N,-,S,方程）,连续介质力学平衡方程,线性的本构关系,粘滞系数不变,纳维斯托克斯方程,不可压缩流体,质量密度,加速度 体积力压差力粘性力,42,欧拉运动方程,对,理想流体,，,N,-,S,方程可简化为欧拉方程：,纳维斯托克斯方程,连续性方程,p,u,z,u,x,u,y,补充一个状态方程,=f,（,p,）,5,个未知数，,5,个方程,不可压,=const,，,4,个未知数，,4,个方程,43,流动问题的初始条件和边界条件,1,初始条件,时,恒定流时无初始条件！,B3.5,边界条件与初始条件,44,常见边界条件,(1),固体壁面,粘性流体不滑移条件,v=v,固,流体法向速度连续,v,n,=,v,n,固,(2),外流无穷远条件,:,v=v,，,p,=,p,(3),内流出入口条件,:,v,=,v,in(out),，,p,=,p,in(out),(4),自由面条件,:,(5),两种粘性流体交界面：速度、压强、切应力连续,理想流体,实际流体,B3.5,边界条件与初始条件,45,流体平衡微分方程,（欧拉平衡微分方程）,物理意义：,流体处于,平衡,状态时，,单位质量,流体所受的,表面力梯度,与,体积力,彼此,相等,。,静止流体平衡微分方程,体积力,压力梯度,46,B3.6.1,静止重力流体中的压强分布,在重力场中,由,N,S,方程可得,说明：在静止重力流体中，铅垂方向的压强梯度是由单位体积,流体的重力决定的，,积分上式可得,积分常数,c,由边界条件决定。,47,或者写为：,压强全微分,平衡方程全微分形式,压强梯度,积分,48,重力场中,X,0,，,Y,0,，,Z,g,；,压力能,+,重力势能,=,常数,p,0,为自由面上的压强,(1),在垂直方向，压强与淹深成线性关系,(2),水平方向压强保持常数,均质静止液体中压强分布特征：,重力势函数,W,静止流体液体压强公式,49,50,数学温习：等位面,标量场,(x,y,z,t),其值相等的点构成的,的面，为等位面,梯度的方向与等位面的法线重合,(x,y,z,t)=,常数,梯度的方向即等位面的法线方向,梯度的方向是函数,变化最快的方向,等压面,51,等压面,流体中各点,压强相等,的面（,平面,或,曲面,）,2,等压面与质量力正交。,两个特点：,1,等压面即等势面（等压面与等势面重合）,当质量力只有重力时等压面为水平面。,可判断等压面的形状,p,(x,y,z,t)=,常数,质量力的方向是压力梯度的方向,52,静止液体中的等压面,推论：,自由液面,为水平面也为等压面；,分界面,为水平面也为等压面；,压强的大小与容器的形状无关；,存在多种液体时，满足,静止,、,同种,、,连续,三个条件,的,水平面,是等压面。,即等压面为,水平面,。,N=W,k,53,地面反作用力,N,与容器底部作用力,pA,的差别,N=W,刚体受力简图,液柱受力简图,N,0,=pAW,?,A,h,空气压强,p,0,的合力为零,任意常矢量的封闭积分为零,54,帕斯卡原理,压强等值传递,式中,h,AB,为,A,、,B,两点的水深差。,若在,A,点增加一个压强值,p,A,，,A,点的压强变为,于是，,B,点的压强则应为,上式说明，静止液体中任意点的压强增值将等值地传递到,对于液体中任意,A,、,B,两点，有,各点。,55,帕斯卡原理,压强等值传递规律,应用：水压机，,液压传动,平衡液体中，边界上的压强将,等值,地传,递到液体内的一切点上；即当,p,0,增大或减小,时，液体内任意点的压强也相应地增大或减,小同样数值。即：,帕斯卡（,Pascal,）,(1623-1662),法国,数学家,物理学家,A,1,A,2,F,R,p,p,56,帕斯卡原理,4,两拔千斤,A,1,A,2,F,p,p,小活塞面积,A,1,=2cm,2,大活塞面积,A,2,=0.4m,2,小活塞上加力,2.5N,大活塞上得到的总压力,57,流体静力学基本方程的意义,几何意义,（水力学意义）,物理意义,z,位置高度,（位置水头）,单位,重量,流体具有的位能,压强高度,（压强水头）,单位重量流体具有的压能,测压管水面到基准面的高度,（测压管水头）,单位重量流体具有的总势能,58,单位质量流体机械能守恒式,重力势能,总势能,水头形式,常用形式,位置水头,总水头,（测压管水头）,限制条件,:,（,1,）均质，（,2,）重力，（,3,）连通的同种流体。,压强势能,压强水头,59,物理意义：,仅受重力作用处于静止状态的流体中，任意点对同一基准面的单位势能为一常数，即各点测压管水头相等，位头增高，压头减小。,在均质（,g,=,常数）、连续、静止的液体中，水平面,（,z,1,=,z,2,=,常数）必然是等压面（,p,1,=,p,2,=,常数）。,60,压强分布图,根据静力学基本方程 绘制静水压强大小；,静水压强垂直于受压平面且为压应力。其绘制规则为：,按一定比例尺，用一定长度的线段代表静水压强的大小；,用箭头标出静水压强的方向，并与该处受压面垂直。,A,B,C,g(h,左,-,h,右,),61,压强分布图,1,h,1,+,2,(h-h,1,),1,h,1,+,2,(h,2,-h,1,),+,3,(h-h,2,),1,h,1,h,1,h,2,h,1,1,2,3,1,h,1,+,2,(h,2,-h,1,),h,3,62,绝对压强,（,absolute pressure),以无气体分,子存在的完全,真空为基准起算的压强值，用符,号,p,abs,表示,相对压强,（,gage pressure),以当地大气压为,基准起,算的压强值，用符号,p,表示。若设当地,大气压强为,p,a,，则绝对压强与相对压强间有关系,压强的度量与测压仪表,度量压强的两种基准,工程中使用的一种测量压强的仪器,压力表。由于该表,以大气压作为,0,点，故该表所测的压强值为相对压强。,相对压强又称表压强。,63,普通工程设备都处于大气压强作用下，采用相对压强往往使,计算简化。如开口容器中液面下某点的压强计算可简化为,压强的度量与测压仪表,空气压强,p,a,的合力为零,64,真空压强,或,真空压强又可表示为相对压强的负值，故又称负压。,真空（,vaccum),绝对压强小于当地大气压的状态,。,真空压强,p,v,绝对压强小于大气压强的,绝对值,压强的度量与测压仪表,真空高度,真空度,?,65,压强关系图,当地,大气压,相对压强,真空压强或真空度,?,压强的度量与测压仪表,完全真空,p,状态一,状态二,p,abs1,p,1,p,abs2,p,v,p,a,绝对 压强,真空压强,？术语,真空度,在不同的意义上使用？,66,当某点的绝对压强小于大气压，即处于真空状态时，真空值的大小也可用液柱高度即真空度表示出来，如图所示。,h,v,由于密闭水箱内为真空，水槽,为开口通大气，于是水槽中的,水在玻璃管两端压强差的作用,下上升了,h,v,的高度。,或,h,v,称为真空高度，简称真空度,。,p,abs,p,a,压强的度量与测压仪表,67,压强的度量与测压仪表,压强的度量单位,应力单位,国际单位制：帕（,Pa,），千帕（,kPa,或,10,3,Pa,），,兆帕（,MPa,或,10,6,Pa,）；,大气压的表示,标准大气压（,atm,）：,1 atm,相当于,101325 Pa,；,工程大气压（,at,）,：,1 at,相当于,98000 Pa,液柱高,水柱高：,1,标准大气压可维持,10.33 mH,2,O,高，,1,工程大气压可维持,10 mH,2,O,高；,水银柱：,1,标准大气压可维持,760 mmHg,高，,1,工程大气压可维持,736 mmHg,高,。,1bar,10,5,Pa=0.1,MPa,68,压强的度量与测压仪表,水柱高：,1,标准大气压可维持,10.33 mH,2,O,高,1,工程大气压可维持,10 mH,2,O,高,水银柱：,1,标准大气压可维持,760 mmHg,高,1,标准大气压相当于,工程大气压,30m,高的建筑供水大约需要,0.4Mpa,的绝对压力,20m,高的建筑供水大约需要,2Bar,的相对压力,69,压强的度量与测压仪表,液柱式测压计,测压管是以,液柱高度,为表征测量点压强的连通管，一端接于测点，另一端开口通大气的竖直玻璃管。,优点,：结构简单,缺点,：只能测量较小的压强，不适合测真空。,h,p,A,1,工程大气压可维持,10 mH,2,O,高,测出测点的相对压强，,即,70,连通器内的等压面,因为,再由,所以,等压面的条件：连通的相同液体的水平面,由水静力学基本方程：,得,因为,液柱式测压计,在连通器内做两条水平线,MN,与,M,1,N,1,，最低点为,d,。,m,M,1,N,1,M,N,d,h,1,h,2,71,由于,MN,为等压面，求得水箱液面压强,过,M,、,N,两点取,水平等压面,，,根据水静力学基本方程，得,压强的度量与测压仪表,m,p,0,h,h,m,M,N,U,型管测压计,在,U,型管内装入分界面清晰的工作液体，常用水银。,U,型管测压计用于测定管道或容器中某点流体压强，通常被测点压强较大，并可测真空度。,72,压强的度量与测压仪表,U,型管测压计,73,K,称为微压计常数。一般,K,0.2,、,0.3,、,0.4,、,0.6,、,0.8,压强的度量与测压仪表,微压计用于测定微小压强（或压差），一般用于测定气体压强。,倾斜式微压计,74,用真空计,B,测得封闭水箱液面上的真空度为,0.98 kPa,，,若敞口油箱的液面低于水箱液面,水银压差计的,读数 ，求油的容重。,压强的度量与测压仪表,练习,75,练习,一封闭容器内盛水，水面压强为 ，当容器自由下,落时，求水中压强分布规律。,76,B3.6.3,运动流场中的压强分布,压强系数,为参考压强，,为参考速度。,1.,惯性力对压强分布的影响,2.,粘性力对压强分布的影响,77,B3.6.3,运动流场中的压强分布,汽车与飞机绕流：,复杂物面的压强分布,78,建立流体运动基本方程,连续性方程,连续介质力学基本运动平衡方程,纳维斯托克斯方程,本章讨论流体运动所涉及相关的变化规律。,线性本构方程,静力平衡方程,79,流体或固体中任一点的应力,应力,/,压强,DA,B3.2.3,流体应力场,应力转换关系,80,斯托克斯假设应力与应变率的关系如下,线性的本构关系,可压流体的本构关系,81,重力作用下的流体静压强,1,流体静力学基本方程,作用在流体上的质量力只有重力；,均匀的不可压缩流体。,重力场中：,适用于重力场中,同种,、,连续,、,静止,的,均质,流体。,82,压强随淹没深度按线性规律增加！,静止液体内任意点的静水压强有两部分组成：一部分是自由面上的气体压强,p,0,，另一部分相当于,单位面积,上高度为,h,的液柱重量。,83,作业：,BP3.1.1-2 BP3.1.2-2 BP3.1.4 BP3.2.2 BP3.6.1 BP3.6.4 BP3.6.10,84,