《二次型及其标准型》.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,中南财经政法大学信息系,第一节 二次型及其标准形,第六章 二次型,定义,6.1,称,n,元二次齐次函数,(6.1),为 的一个,n,元,二次型,，若其中系数 均为实数，称之为,实二次型,。本章只讨论实二次型。,一、二次型的定义,(6.1),式可以写成,记,(6.2),f,也可写成如下的,矩阵和向量的乘积形式,：,证明如下,:,称式（,6.2,）为二次型（,6.1,）的,矩阵形式,，,矩阵,A,称为二次型,所对应的矩阵,，矩阵,A,的秩称为,二次型 的秩,。,在,A,中，为,（,6.1,),中 的系数，为,（,6.1,）中混合项系数 的一半。,显然，,A,是一个,n,阶对称矩阵，即 。,从二次型的定义可以看到：,(1),二次型的矩阵都是对称的矩阵。,(2),二次型和它的矩阵是一一对应的。,例,1,1,）写出二次型 所对应的矩阵。,2,）写出矩阵 所对应的二次型。,解,1,）原二次型所对应的对称矩阵为：,2,）矩阵对应的二次型为：,定义,6.2,设有两组变量 ；，其中一组变量可以写成另外一组变量的线性组合，即有：,（,6.3,）,二、线性变换,则称上式为由 到 的一个,线性变换（或线性替换）,由系数组成的矩阵,称为,线性变换（,6.3,）的矩阵。,记 ；，,那么，（,6.3,）式可以写为：,若 ，则称（,6.3,）式为,可逆（或非退化）的线性变换,。若,C,为正交矩阵，则称（,6.3,）为,正交线性变换,。,注意：,本章中的线性变换都为可逆或正交线性变换,.,本章主要问题之一：,找一个恰当的线性变换，使二次型形式更简单（只含有平方项）。,做线性变换后，二次型所对应的矩阵和原二次型矩阵之间具有某种关系，这种关系就是,合同,。,定义,6.3,设,A,和,B,为两个,n,阶矩阵，如果存在一个,n,阶可逆矩阵,C,，使得，那么 ，称,A,与,B,合同。,合同关系具有下列性质,：,(1),反身性,(2),对称性,(3),传递性,(4),合同的矩阵有相同的秩,三、矩阵的合同关系,定理,6.1,二次型经非退化线性替换后仍为二次型，且新二次型矩阵与原二次型矩阵合同。,证明：,设二次型 ，经过可逆线性替换,得：,设 ，则可得：,又因为,所以,B,是对称矩阵，为新二次型对应的矩阵,又因为有 ，,C,可逆，所以,A,与,B,合同。,注：,新二次型的秩与原二次型相等。,第二节 化二次型为标准形,定义,6.4,若二次型 经过,可逆线性替换 化为,（,6.4,）,称这种只具有平方项的二次型（,6.4,）为,二次型（,6.1,）的标准形,.,一、二次型的标准形,将二次型的,标准型化成矩阵形式,，易知，标准形的矩阵具有对角阵形式：,二次型 的秩等于中非零元素,的个数,说明,定理,6.2,任意一个二次型 都可以,经过非退化的线性变换 化为标准形：,二、配方法化二次型为标准形,证明：,数学归纳法。,定理,6.2,的矩阵描述：,定理,6.3,任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵,合同。即对任意一个对称矩阵,A,，存在一个可逆矩阵,C,，使,，,D,为对角形。,证明：,设,A,为,n,阶对称矩阵,，那么可以得到唯一的二次型,根据定理,6.2,，,可以通过可逆线性变换 化为标准,形 ，其中,D,为对角形。,又根据定理,6.1,可知,解,例,2,含有平方项,去掉配方后多出来的项,所用变换矩阵为,例,3,化二次型,为标准形，并求所用的非退化线性变换。,解 在二次型 中，不含有 的平方,项，而含有交叉项 ，为了利用上面配方时所用,的方法，先作可逆线性变换：,（,6.6,）,再用例,3,的方法进行配方，即,令 即 （,6.7,）,在上面的配方中，用了两个可逆的线性变换，将（,6.7,）式代入（,6.6,）式，可得：,即为所求的可逆线性变换,此时，原二次型所对应的标准形为：,配方法化二次型标准形：,（,1,）,若二次型中,含有平方项,，则在针对某个含平方项的变量进行配方时，应对所有含此变量的项进行配方，使得此配方过程完成后，在剩下的项中不能再含有该变量；然后对剩下的其它变量进行配方，直到所有的变量都完成配方。根据配方结果就可以得到可逆线性变换，使得原二次型变为标准形。,(2),若二次型中不含有平方项，但是,则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按,(1),中方,法配方,.,思考题,P155,例,6.4,（试用不同的变换）,思考题解答,三、正交变换化实对称矩阵为标准型,证明：,设 是实二次型，则,A,为实对称矩阵，则一定能找到一个正交矩阵,Q,，使得：,其中 为,A,的全部特征值,则,（,6.10,）,作正交变换,从而得到二次型的标准形,用正交替换法化实二次型为标准形的一般步骤：,1,）求出实二次型的矩阵,A,的全部特征值,2),求出使,A,对角化的正交矩阵,Q,即,3),作正交线性替换 ，可使二次型化为标准形：,解,1,写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例,4,从而得特征值,2,求特征向量,3,将特征向量正交化,得正交向量组,4,将正交向量组单位化，得正交矩阵,于是所求正交变换为,解,例,5,将一个二次型化为标准形，可以用,正交变换法,，也可以用,配方法,，或者,初等变换方法,，这取决于问题的要求,如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；,如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用配方法反而比较简单需要注意的是，,使用不同的方法,，,所得到的标准形可能不相同,，,但标准形中含有的非零项数必定相同,，,项数等于所给二次型的秩,注意：,