三角形全等的证明专题培训课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三角形全等的证明,互相重合的顶点叫做,。,互相重合的角叫做,。,互相重合的边叫做,。,其中,2,.,叫做全等三角形。,1.能够重合的两个图形叫做,。,全等形,4.全等三角形的,和,相等,对应边,对应角,对应顶点,复习提问,能够重合的两个三角形,3,.“全等”用符号“”来表示，,读作“,”,对应边,对应角,5.书写全等式时要求把对应字母放在对应,的位置上,全等于,全等三角形的判定（一）,SAS（边角边定理),画ABC,使AB=3cm，AC=4cm。,画法：,2.在射线AM上截取AB=3cm,3.在射线AN上截取AC=4cm,这样画出来的三角形与同桌所画的三角形进行比较，它们互相重合吗？,若再加一个条件，使A=45，画出ABC,1.画MAN=45,4.连接BC,则ABC就是所求的三角形,把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？,画一画,再任意画一个,ABC和DEF，使AB=DE,AC=DF,A=D,把画好的,ABC和DEF比较，它们全等吗？,A,B,C,D,E,F,ABCDEF,由前边的作图比较过程，我们可以得出什么结论？,用符号语言表达为：,在ABC与DEF中,AB=DE,A=D,AC=DF,ABCDEF（SAS）,A,B,C,D,E,F,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。,简写成“边角边”或,“,SAS,”,图 1,已知：如图1，AC=AD，CAB=DAB,求证：ACBADB,AC=AD（已知）,CAB=DAB（已知）,AB=AB（公共边）,ACBADB（SAS）,例1,证明：在ACB和ADB中,例 题 讲 解,A,B,C,D,图2,已知：如图,2,，,AD,BC,，,AD=CB,求证：ADCCBA,分析,：,观察图形，结合已知条件，知，,AD=CB，AC=CA，但没有给出两组对应边的夹角（1，2）相等。,所以，应设法先证明1=2，才能使全等条件充足。,AD=CB（已知）,1=2（已知）,AC=CA（公共边）,ADCCBA（SAS）,例2,证明：ADBC,1=2（两直线平行，内错角相等）,在DAC和BCA中,D,C,1,A,B,2,B,B,2,D,C,1,A,动 态 演 示,图3,已知：如图3，ADBC，AD=CB，AE=CF,求证：AFDCEB,证明：ADBC（已知）,A=C（两直线平行，内错角相等）,又 AE=CF,AE+EF=CF+EF（等式性质）,即AF=CE,在AFD 和CEB 中,AD=CB（已知）,A=C（已证）,AF=CE（已证）,AFDCEB（SAS,）,若求证D=B，如何证明？,分析,：,本题已知中的前两个条件，与例2相同，但是没有另一组夹边对应相等的条件，不难发现图3是由图2平移而得。利用AE=CF，可得：AF=CE,变式训练,1,问,：,A,D,B,E,F,C,B,2,D,C,1,A,动 态 演 示,练习,：已知：如图4，点A、B、C、D在同一条直线上，AC=DB，AE=DF，EAAD，BCAC，垂足分别为A、D,图4,求证：（,1,）,EAB,FDC,、,（2）DF=AE,B,E,C,D,F,A,解 题 小 结：,解题思路,1、根据“边角边（SAS）”条件，可证明两个三角形全等；,2、再由“全等”作为过渡的条件，得到对应边等或对应角等；,1,2,图5,变式训练,2 已知：如图5：AB=AC，AD=AE，1=2,求证：ABDACE,证明：1=2（已知）,1+BAE=2+BAE（等式性质）,即 CAE=BAD,在,CAE,和,BAD,中,AC=AB（已知）,CAE=BAD（已证）,AE=AD,ABDACE（SAS）,分析,：,两组对应夹边已知，缺少,对应夹角相等的条件。,由BAE 是两个三角形的,公共部分，可得：CAE=BAD。,变式训练,2：,拓 展,（1）求证：E=D,（2）若ACE绕点A逆时针旋转，使1=90,0,时，直线EC，,BD的位置关系如何？给出证明。,当EAD 为平角时呢？,图5,D,B,A,E,C,M,F,已知：如图5：AB=AC，AD=AE，1=2,1,2,解 题 小 结：,解题思路,1、根据“边角边（SAS）”条件，可证明两个三角形全等；,2、再由“全等”作为过渡的条件，得到对应边等或对应角等；,3、由“边”等，再根据等式性质得到其它线段相等；由“角”等，再证明两直线平行、两直线垂直或延伸的外角和等变换。,1在证明三角形全等时，要善于观察图形，运用已学知识挖出隐含条件。,总结概括，知识拓宽,2明确全等三角形“边角边”公理的运用方法。,全等三角形的判定（二）,ASA（角边角定理）,创设情景,实例引入,一张教学用的三角形硬纸板不小心,被撕坏了，如图，你能制作一张与原来,同样大小的新教具？能恢复原来三角形,的原貌吗？,怎么办？可以帮帮我吗？,C,B,E,A,D,先任意画出一个ABC，,再画一个A,/,B,/,C,/,，使A,/,B,/,=AB，,A,/,=A，B,/,=B。把画好,的A,/,B,/,C,/,剪下，放到ABC上，,它们全等吗？,探究1:,已知：任意 ABC，画一个 A,/,B,/,C,/,，,使A,/,B,/,AB，A,/,=A,，,B,/,=B,：,画法：,2、在 A,/,B,/,的同旁画DA,/,B,/,=A,，EB,/,A,/,=B，A,/,D，B,/,E交于点C,/,。,1、,画,A,/,B,/,AB；,A,/,B,/,C,/,就是所要画的三角形。,问：通过实验可以发现什么事实？,引入新课,：,作图：已知：ABC，(让同学们自己画）再画一个三角形A,/,B,/,C,/,使B,/,C,/,=BC,B,/,=B,C,/,=C.,1、画线段A,/,B,/,=AB,2、在A,/,B,/,的同旁，分别以A,/,、B,/,为顶点画,D A,/,B,/,=A,E B,/,A,/,=B,A,/,D、B,/,E交于点C,/,得 A,/,B,/,C,/,现在同学们把我们所画的两个三角形重合在一起，你发现了什么？,完全重合,角边角公理：,有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写为“ASA”),讲解新课：,例1、已知：如图，DAB=CAB，C=D,求证：AC=AD,证明：,DAB=CAB，C=D,ABD=ACD(三角形内角和定理）,在ACB和ADB中,DAB=CAB,AB=AB （共用边）,ABD=ACD,ACBADB（ASA),AC=AD,讲解新课:,例2、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD交于O点，AB=AC，B=C.求证：BD=CE,证明：在ABE和ACD中,A=A,AB=AC,B=C,ABEACD（ASA),AD=AE,AB=AC,BD=CE,讲解新课,如图，要证明ACE BDF,根据给定的条件和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上。,（,1）ACBD，CE=DF，,(SAS),(2)AC=BD，ACBD,(ASA),(3)CE=DF，(ASA),(4)C=D，(ASA),C,B,A,E,F,D,AC=BD,A=B,C=D,AC=BD,A=B,AEC=BFD,课堂练习,1、如右图：已知，ABE=CBD,BCE=DBA,EC=AD,求证：AB=BE,BC=DB,2、如右图：已知，AD,EF,BC交于O，且AO=OD，BO=OC，EO=OF,求证：AEBDFC,变式练习：,全等三角形的判定（三）,AAS（角角边定理）,定理的引入:,如图在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF，ABC与DEF全等吗？,A,B,C,D,E,F,证明：A+B+C=180,D+E+F=180,又A=D B=E,C=F,C=F,BC=EF,B=E,ABCDEF (ASA),A,B,C,D,E,F,如图所示，,ABCDEF,那么,角角边定理得证。,三角形的判定定理三,在两个三角形中，如果有二个角和任意一条边相等，那么这两个三角形全等。,A=D,B=E,BC=EF,ABCDEF (AAS),例题讲解：,例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于,点O，AD=AE，B=C。,求证：BD=CE,证明：在ADC和AEB中,A=A（公共角）,AD=AE（已知）,C=B（已知）,ACDABE（AAS）,AB=AC（全等三角形的对应边相等）,又 AD=AE（已知）,BD=CE,巩固练习,如图，1=2，D=C,求证：AC=AD,证明：在_和_中,_ （）,_ （）,_（公共边）,_ _（）,_（全等三角形对应边相等,）,1,2,ABD,ABC,1=2,D=C,AB=AB,ABD,ABC,AC=AD,已知,已知,AAS,全等三角形的判定（四）,SSS（边边边定理）,定理的引入:,A,B,C,D,已知：AC=DE AB=DF BC=FE,求证：ABC DFE,E,思考,F,定理的引入:,A,B,C,D,已知：AC=DC AB=DB,求证：ABC DBC,证明：连接AD，AC=DC CAD=CDA,同理，BAD=BDA,BAC=BDC,AC=DC,A=D,AB=DB,ABC DBC（SAS）,A,C,D,B,如图所示，ABCDBC，那么边边边定理得证。,在两个三角形中，如果有三条边相等，那么这两个三角形全等。,三角形的判定定理四,AC=DC,AB=DB,BC=BC,ABC DBC（SSS）,例1：如图，已知AB=CD，BC=DA。,说出下列判断成立的理由：,（1）ABCCDA,（2）B=D,A,B,C,D,解,（1）,在ABC和CDA中,AB=CD（已知）,BC=DA（已知）,AC=CA（公共边）,ABCCDA（SSS）,（2）ABCCDA,B=D（全等三角形的对应角相等）,练习1 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，ABDE，ACDF，BECF。求证：AD。,证明：BECF（已知）,即 BCEF,在ABC和DEF中,ABDE（已知）,ACBF（已知）,BCEF（已证）,ABCDEF（SSS）,AD(全等三角形对应角相等）,F,A,B,E,C,D,小结：欲证角相等，转化为证三角形全等。,BE+EC=CF+EC,例2，如图，已知ABCD，ADCB，求证：BD,证明：,连结AC,ABCD（已知）,ACAC（公共边）,BCAD（已知）,ABC CDA（SSS）,BD（全等三角形对应角相等）,A,B,C,D,在ABC和 ADC中,问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？,在原有条件下，还能推出什么结论？,答：ABCADC，ABCD，ADBC,A,B,C,D,小结：四边形问题转化为三角形问题解决。,对应相等的元素,两边一角,两角一边,三角,三边,两边及其夹角,两边及其中一边的对角,两角及其夹边,两角及其中一角的对边,三角形是否全等,一定,（SAS）,不一定,一定,(ASA),一定,(AAS),不一定,一定,(SSS),归纳：二个三角形全等的判定方法,五、综合练习题,全等三角形的应用,：,利用全等三角形证明线段（或角）相等,例1：如图，直线AC、BD交于点O，OA=OC OB=OD 直线EF过点O且分别交AB、CD于E、F,求证：OE=OF,在AOB和COD中,OB=OD,AOB=COD,OA=OC,AOBCOD （SAS）,B=D （全等三角形的对应角相等）,在BOE和DOF中,B=D,OB=OD,BOE=COF,BOEDOF （ASA）,OE=OF （全等三角形的对应边相等）,证明,AB,=,DC,AC,=,DB,BC,=,CB,证明,：,在ABC和DCB中,如图：,AB,=,DC,，,AC,=,DB,求证：,ABO=DCO,ABCDCB,（SSS）,A=D (全等三角形的对应角相等),在AOB和DOC中,A=D,AOB=DOC,AB=CD,AOBDOC,（AAS）,ABO=DCO（全等三角形的对应角相等）,巩固练习：,如图：ACBC ADBD，AD=BC CEAB DFAB，垂足分别为E、F，求证：CE=DF,分析：,由已知可推出ABCBAD,要证CE=DF，需证ACEADF，所缺条件可由ABCBAD推出,二：利用全等三角形证明线的垂直关系,证明：,例：如图：BF是RtABC的角平分线，ACB=90，CD是高，BF与CD交于点E，EGAC交AB于G,求证：FGAB,BF平分ABC,12,CDAB,3+ABC=90,又ACB90,A+ABC=90,3A,又EGAC,A4,34,在BEG与BEC中,12,34,BEBE,BEGBEC,（AAS）,BG=BC （全等三角形的对应边相等）,在BFG与BFC中,BG=BC,12,BF=BF,BFGBFC （SAS）,FGB=FCB=90,FGAB,巩固练习：,如图：ABC中，AD平分BAC，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F，AD、EF交于点H,求证：ADEF,三、利用全等三角形证明线段的和差问题,例：在RtABC中，AB=AC，BAC=90，过点A的任意直线AN，BDAN于D，CEAN于E,求证：DE=BDCE,证明：,BAC=90,1290,BDAN,2390,13,又CEAN,ADBAEC90,在ADB和ACE中,13,ADBACE,ABAC,ADBACE,（AAS）,ADCE BDAE （全等三角形的对应边相等）,DEAEAD,DEBDCE,祝同学们学习进步！,同学们再见,