广东湛江市大成中学2025-2026学年高一数学第一学期期末调研试题含解析.doc

广东湛江市大成中学2025-2026学年高一数学第一学期期末调研试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，则化为（ ）
A. B.
C.m D.1
2．（ ）
A.1 B.0
C.-1 D.
3．已知函数，若，，互不相等，且，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4．已知角的终边过点，则（）
A. B.
C. D.
5． “，”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C 充要条件 D.既不充分也不必要条件
6． “”是 “”的（ ）
A.充分必要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
7．已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数m的值是（）
A或2 B.2
C. D.1
8．若定义域为R的函数满足，且，，有，则的解集为（　　）
A. B.
C. D.
9．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）

A. B.
C. D.
10．古希腊数学家阿基米德最为满意的一个数学发现是“圆柱容球”，即在球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的.已知体积为的圆柱的轴截面为正方形.则该圆柱内切球的表面积为（）
A B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设奇函数对任意的，，有，且，则的解集___________.
12．已知扇形的半径为4，圆心角为，则扇形的面积为___________.
13．正方体中，分别是，的中点，则直线与所成角的余弦值是_______.
14．如图，在直四棱柱中，当底面ABCD满足条件___________时，有.（只需填写一种正确条件即可）

15．已知圆心为（1,1），经过点（4,5），则圆标准方程为_____________________.
16．已知函数，则下列命题正确的是______填上你认为正确的所有命题的序号
①函数单调递增区间是；
②函数的图象关于点对称；
③函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是；
④若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，.
（1）求函数的定义域；
（2）求不等式的解集.
18．心理学家通过研究学生的学习行为发现；学生的接受能力与老师引入概念和描述问题所用的时间相关，教学开始时，学生的兴趣激增，学生的兴趣保持一段较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力, x表示讲授概念的时间(单位:min)，可有以下的关系:
（1）开讲后第5min与开讲后第20min比较,学生的接受能力何时更强一些?
（2）开讲后多少min学生的接受能力最强?能维持多少时间?
（3）若一个新数学概念需要55以上（包括55）的接受能力以及13min时间,那么老师能否在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个概念?
19．某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：
上市时间天

市场价元

（1）根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系并说明理由：①；②；③；④；
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.
20．已知函数是上的奇函数
（1）求；
（2）用定义法讨论在上的单调性；
（3）若在上恒成立,求的取值范围
21．已知，其中为奇函数，为偶函数.
（1）求与的解析式；
（2）判断函数在其定义域上的单调性（不需证明）；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】把根式化为分数指数幂进行运算
【详解】，.
故选：C
2、A
【解析】
用诱导公式化简计算．
【详解】因为，
所以，
所以原式.
故选：A.
【点睛】本题考查诱导公式，考查特殊角的三角函数值．属于基础题．
3、A
【解析】画出图像，利用正弦函数的对称性求出，再结合的范围即可求解.
【详解】
不妨设，画出的图像，即与有3个交点，由图像可知，关于对称，即，令，解得，所以，故，.
故选：A.
4、A
【解析】根据三角函数的定义计算可得；
【详解】解：因为角终边过点，所以；
故选：A
5、A
【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】∵ “，”可推出“”，
“”不能推出“，”，例如，时，，
∴ “，”是“”充分不必要条件.
故选：A
6、B
【解析】由等价于，或，再根据充分、必要条件的概念，即可得到结果.
【详解】因为，所以，或，
所以“”是 “”的充分而不必要条件.
故选:B.
7、C
【解析】由函数是幂函数可得，解得或2，再讨论单调性即可得出.
【详解】是幂函数，，解得或2，
当时，在上是减函数，符合题意，
当时，在上是增函数，不符合题意，
.
故选：C.
8、A
【解析】根据已知条件易得关于直线x＝2对称且在上递减，再应用单调性、对称性求解不等式即可.
【详解】由题设知：关于直线x＝2对称且在上单调递减
由，得：，
所以，解得
故选：A
9、A
【解析】根据的图象求得，求得，再根据，求得，求得的值，即可求解.
【详解】根据函数的图象，可得，可得，
所以，
又由，可得，即，
解得，
因为，所以.
故选：A.
10、A
【解析】由题目给出的条件可知，圆柱内切球的表面积圆柱表面积的，通过圆柱的体积求出圆柱底面圆半径和高，进而得出表面积，再计算内切球的表面积.
【详解】设圆柱底面圆半径为，则圆柱高为，圆柱体积，解得，又圆柱内切球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，
所以内切球的表面积是圆柱表面积的，圆柱表面积为，所以内切球的表面积为.
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】可根据函数的单调性和奇偶性，结合和，分析出的正负情况，求解.
【详解】对任意，，有
故在上为减函数，由奇函数的对称性可知在上为减函数
，则
则，
，

，；
，；
，；
，.
故解集为：
故答案为：
【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性
12、
【解析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积
【详解】根据扇形的弧长公式可得，
根据扇形的面积公式可得
故答案为：
13、
【解析】结合异面直线所成角的找法，找出角，构造三角形，计算余弦值，即可
【详解】
连接，而，所以直线与所成角即为，设正方体边长为1，则，所以余弦值为
【点睛】考查了异面直线所成角的计算方法，关键得出直线与所成角即为，难度中等
14、(答案不唯一)
【解析】直四棱柱，是在上底面的投影，当时，可得，当然底面ABCD满足的条件也就能写出来了.
【详解】根据直四棱柱可得：∥，且，所以四边形是矩形，所以∥，同理可证：∥，当时，可得：，且底面，而底面，所以，而，从而平面，因为平面，所以，所以当满足题意.
故答案为：.
15、
【解析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程
【详解】设圆的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=R2，
由圆经过点（4,5）得R2=25，从而所求方程为（x-1）2+（y-1）2=25，
故答案为（x-1）2+（y-1）2=25
【点睛】本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径
16、①③④
【解析】先利用辅助角公式化简，再根据函数，结合三角函数的性质及图形，对各选项依次判断即可
【详解】①，令，所以，因为，所以令，则，所以单调增区间是，故正确；
②因为，所以不是对称中心，故错误；
③的图象向左平移个单位长度后得到，且是偶函数，所以，所以且，
所以时，，故正确；
④函数

，故错误；
⑤因为，作出在上的图象如图所示：
与有且仅有三个交点：

所以，又因为时，且关于对称，所以，所以，故正确；
故选:①③⑤

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）答案见解析
【解析】（1）根据对数的真数大于零可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域；
（2）将所求不等式变形为，分、两种情况讨论，利用对数函数的单调性结合函数的定义域可求得原不等式的解集.
【小问1详解】
解：，
则有，解得，故函数的定义域为.
【小问2详解】
解：当时，函数在上为增函数，
由，可得，
所以，解得，此时不等式的解集为；
当时，函数在上为减函数，
由，可得，
所以，解得，此时不等式的解集为.
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
18、（1）开讲后第5min比开讲后第20min，学生接受能力强一些.；（2）6min; （3）详见解析.
【解析】第一步已知自变量值求函数值，比较后给出答案；第二步是二次函数求最值问题；第三步
试题解析：（1）， ，则 开讲后第5min比开讲后第20min，学生的接受能力更强一些.]
（2）当时，， 当时，开讲后10min（包括10分钟）学生的接受能力最强，能维持6 min.
（3）由
当时，，得；
当时，，得
持续时间
答：老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个概念.
考点：1.求函数值；2.配方法求二次函数的最值；3.分段函数解不等式.
19、（1）②；（2）上市天，最低价元
【解析】（1）根据所给的四个函数的单调性，结合表中数据所表示的变化特征进行选择即可；
（2）根据表中数据代入所选函数的解析式，用待定系数法求出解析式，最后利用函数的单调性求出纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.
【详解】（1）通过表中数据所知纪念章的市场价与上市时间的变化先是递减而后递增，而已知所给的函数中除了②以外，其他函数要么是单调递增，要么是单调递减，要么是常值函数，所以选择②；
（2）由（1）可知选择的函数解析式为：.
函数图象经过点，代入解析式中得：
，
显然当时，函数有最小值，最小值为26.
所以该纪念章时的上市20天时市场价最低，最低的价格26元.
【点睛】本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了函数的单调性的判断，考查了二次函数的单调性及最值，考查了数学运算能力.
20、（1）；（2） 是上的增函数；（3）.
【解析】（1）利用奇函数的定义直接求解即可；
（2）用函数的单调性的定义，结合指数函数的单调性直接求解即可；
（3）利用函数的奇函数的性质、单调性原问题可以转化为在上恒成立，利用换元法，再转化为一元二次不等式恒成立问题，分类讨论，最后求出的取值范围.
【详解】（1）函数是上的奇函数

即
即
解得；
（2）由（1）知

设,则
故,,
故
即
是上的增函数
（3）是上的奇函数,是上的增函数
在上恒成立
等价于
等价于在上恒成立
即在上恒成立“*”
令
则“*”式等价于对时恒成立“**”
①当,即时“**”为对时恒成立
②当,即时,“**”对时恒成立
须或
解得
综上,的取值范围是
【点睛】本题考查了奇函数的定义，考查了函数单调性的定义，考查了指数函数的单调性的应用，考查了不等式恒成立问题，考查了换元法，考查了数学运算能力.
21、（1），；（2）函数在其定义域上为减函数；（3）.
【解析】（1）由与可建立有关、的方程组，可得解出与的解析式；
（2）化简函数解析式，根据函数的解析式可直接判断函数的单调性；
（3）将所求不等式变形为，根据函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）由于函数为奇函数，为偶函数，
，，
即，
所以，，解得，.
由，可得，
所以，，；
（2）函数的定义域为，，
所以，函数在其定义域上为减函数；
（3）由于函数为定义域上的奇函数，且为减函数，
由，可得，
由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：
（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；
（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；
（3）求解关于自变量的不等式，从而求解出不等式的解集.